В музыке , высотный класс ( ПК или ПК ) представляет собой набор из всех смол , которые целый ряд октав друг от друга, например, высотный класс C состоит из Cs во всех октавах. «Класс высоты тона C означает все возможные до в любой октавной позиции». [1] Важный для теории музыкального набора класс высоты тона - это «все высоты звука, связанные друг с другом октавой, энгармонической эквивалентностью или обоими». [2] Таким образом, используя научную нотацию высоты звука, класс высоты тона «C» является установленным
- {C n : n - целое число } = {..., C −2 , C −1 , C 0 , C 1 , C 2 , C 3 ...}.
Хотя для этой последовательности нет формального верхнего или нижнего предела, человеческое ухо слышит лишь некоторые из этих звуков. Класс высоты звука важен, потому что человеческое восприятие высоты звука является периодическим : высота звука, принадлежащая одному классу высоты звука, воспринимается как имеющая аналогичное качество или цвет, свойство, называемое « октавной эквивалентностью ».
Психологи называют качество звука его «цветностью». [3] цветности является атрибутом смолы (в отличие от высоты тона ), так же , как цветовой тон является атрибутом цвета . Высотный класс представляет собой набор из всех смол , которые разделяют ту же цветность, как «совокупность всех белых вещей» является сбором всех белых объектов. [4]
Обратите внимание, что в стандартной западной равной темперации разные варианты написания могут относиться к одному и тому же звучащему объекту: все B ♯ 3 , C 4 и D 4 относятся к одной и той же высоте, следовательно, имеют одинаковую цветность и, следовательно, принадлежат к одному классу высоты звука; явление, называемое энгармонической эквивалентностью .
Целочисленная запись [ править ]
Чтобы избежать проблемы энгармонического написания, теоретики обычно представляют классы высоты тона, используя числа, начинающиеся с нуля, причем каждое последовательно большее целое число представляет класс высоты тона, который был бы на один полутон выше, чем предыдущий, если бы все они были реализованы как фактические высоты звука в одном и том же октава. Поскольку высота звука, связанная с октавой, принадлежит к тому же классу, при достижении октавы числа снова начинаются с нуля. Эта циклическая система называется модульной арифметикой, и, в обычном случае хроматических двенадцатитональных шкал, нумерация классов высоты тона рассматривается как «модуль 12» (обычно сокращенно обозначается как «модуль 12» в литературе по теории музыки), то есть , каждый двенадцатый член идентичен. Можно отобразить основную частоту основного тона f (измеренную в герцах) к действительному числу p с помощью уравнения:
Это создает линейное пространство высоты тона, в котором октавы имеют размер 12, полутоны (расстояние между соседними клавишами на клавиатуре фортепиано) имеют размер 1, а среднему C (C 4 ) присваивается номер 0 (таким образом, высота звука на фортепиано - 39 до +48). Действительно, отображение высоты звука на действительные числа, определенное таким образом, составляет основу стандарта настройки MIDI , который использует действительные числа от 0 до 127 для представления высоты звука от C -1 до G 9 (таким образом, средний C равен 60). Чтобы представить классы поля , нам необходимо идентифицировать или «склеить вместе» все высоты звука, принадлежащие одному классу поля, то есть все числа p ир + 12. В результате циклический фактор - группа , что музыканты называют класс пространство основного тона и математики называют R / 12 Z . Точки в этом пространстве могут быть помечены действительными числами в диапазоне 0 ≤ x <12. Эти числа представляют собой числовые альтернативы буквенным названиям элементарной теории музыки:
- 0 = C, 1 = C ♯ / D ♭ , 2 = D, 2,5 = D ( четверть тона диез), 3 = D ♯ / E ♭ ,
и так далее. В этой системе классы высоты тона, представленные целыми числами, являются классами равной темперации с двенадцатью тонами (при условии стандартного концерта A).
В музыке , целое обозначение является перевод классов основного тона и / или промежуточных классов в целые числа . [5] Таким образом, если C = 0, то C ♯ = 1 ... A ♯ = 10, B = 11, где «10» и «11» заменены на «t» и «e» в некоторых источниках, [5] A и B в других [6] (например, в двенадцатеричной системе счисления, в которой также используются «t» и «e» или A и B для «10» и «11»). Это позволяет наиболее экономично представить информацию о посттональных материалах.[5]
В целочисленной модели высоты тона все классы высоты тона и интервалы между классами высоты тона обозначаются числами от 0 до 11. Она не используется для нотной записи музыки для исполнения, но является обычным аналитическим и композиционным инструментом при работе с хроматической музыкой, включая двенадцать. тональная , серийная или иная атональная музыка.
Классы высоты тона могут быть обозначены таким образом путем присвоения номера 0 некоторой ноте и присвоения последовательных целых чисел последовательным полутонам ; поэтому, если 0 - натуральное число C, 1 - это C ♯ , 2 - это D ♮ и так далее до 11, которое является B ♮ . C выше это не 12, а снова 0 (12-12 = 0). Таким образом, арифметический модуль 12 используется для представления октавной эквивалентности . Одним из преимуществ этой системы является то, что она игнорирует "написание" нот (B ♯ , C ♮ и D все 0) в соответствии с их диатонической функциональностью .
Недостатки [ править ]
У целочисленной записи есть несколько недостатков. Во-первых, теоретики традиционно использовали одни и те же целые числа для обозначения элементов различных систем настройки. Таким образом, числа 0, 1, 2, ... 5 используются для обозначения классов высоты тона в 6-тональной равной темперации. Это означает, что значение данного целого числа изменяется в зависимости от основной системы настройки: «1» может относиться к C ♯ в 12-тональной равной темперации, но D в 6-тональной равной темперации.
Кроме того, одинаковые числа используются для обозначения шагов и интервалов . Например, число 4 служит как меткой для класса шага E (если C = 0), так и как метка для расстояния между классами шага D и F ♯ . (Примерно таким же образом термин «10 градусов» может обозначать как температуру, так и расстояние между двумя температурами.) Только одна из этих маркировок чувствительна к (произвольному) выбору класса шага 0. Например, если кто-то делает другой выбор относительно того, какой класс шага помечен 0, тогда класс шага E больше не будет помечен как «4». Однако расстояние между D и F ♯ все равно будет присвоен номер 4. И это, и проблема в параграфе непосредственно выше можно рассматривать как недостатки (хотя математически элемент «4» не следует путать с функцией «+4»).
Другие способы обозначения классов питча [ править ]
| Питч- класс | Тональные аналоги | Сольфеджио |
|---|---|---|
| 0 | C (также B ♯ , D ) | делать |
| 1 | C ♯ , D ♭ (также B ) | |
| 2 | D (также C , E ) | повторно |
| 3 | D ♯ , E ♭ (также F ) | |
| 4 | E (также D , F ♭ ) | ми |
| 5 | F (также E ♯ , G ) | фа |
| 6 | F ♯ , G ♭ (также E ) | |
| 7 | G (также F , A ) | соль |
| 8 | G ♯ , A ♭ | |
| 9 | A (также G , B ) | ля |
| 10, т или А | A ♯ , B ♭ (также C ) | |
| 11, д или б | B (также A , C ♭ ) | ти |
Описанная выше система достаточно гибкая, чтобы описать любой класс высоты звука в любой системе настройки: например, можно использовать числа {0, 2.4, 4.8, 7.2, 9.6} для обозначения пятитональной шкалы, которая равномерно делит октаву. Однако в некоторых случаях удобно использовать альтернативные системы маркировки. Например, используя интонацию , мы можем выразить высоту звука положительными рациональными числами.п/q, выражается ссылкой на 1 (часто пишется "1/1"), который представляет фиксированный шаг. Если a и b - два положительных рациональных числа, они принадлежат к одному и тому же классу шага тогда и только тогда, когда
для некоторого целого n . Следовательно, мы можем представить классы высоты тона в этой системе, используя соотношенияп/qгде ни p, ни q не делятся на 2, то есть как отношения нечетных целых чисел. В качестве альтернативы, мы можем представить только классы высоты тона интонации путем сокращения до октавы, 1 ≤ п/q <2.
Также очень часто классы высоты тона обозначаются ссылкой на какой-то масштаб . Например, можно обозначить классы высоты тона равной темперации из n тонов, используя целые числа от 0 до n - 1. Во многом таким же образом можно обозначить классы высоты звука до мажорной гаммы, C – D – E – F– G – A – B, используя числа от 0 до 6. Эта система имеет два преимущества перед системой непрерывной маркировки, описанной выше. Во-первых, он устраняет любые предположения о том, что есть что-то естественное в двенадцатикратном делении октавы. Во-вторых, он избегает вселенных класса основного тона с громоздкими десятичными расширениями, если рассматривать их относительно 12; например, в непрерывной системе, питч-классы 19 одинаковых темпераментов помечены как 0,63158 ..., 1,26316 ... и т. д. Обозначение этих классов основного тона {0, 1, 2, 3 ..., 18} упрощает арифметику, используемую при манипуляциях с наборами классов основного тона.
Недостатком системы, основанной на гамме, является то, что она присваивает бесконечное количество разных имен аккордам, которые звучат одинаково. Например, в двенадцатитонной равной темперации трезвучие до мажор обозначается {0, 4, 7}. В 24-тональной равной темперации эта же триада обозначается {0, 8, 14}. Более того, система, основанная на гамме, кажется, предполагает, что разные системы настройки используют шаги одного размера («1»), но имеют октавы разного размера («12» в 12-тональной равной темперации, «19» в 19-тональной одинаковый темперамент и т. д.), тогда как на самом деле верно обратное: разные системы настройки делят одну и ту же октаву на шаги разного размера.
В общем, часто бывает более полезно использовать традиционную целочисленную систему, когда кто-то работает с одним темпераментом; когда сравнивают аккорды в разных темпераментах, непрерывная система может быть более полезной.
См. Также [ править ]
- Квартира (музыка)
- Sharp (музыка)
- Округлость шага
- Интервал подачи
- Тональный ряд ( Список )
Источники [ править ]
- ^ Арнольд Уиттолл , Кембридж Введение в сериализм (НьюЙорк: Cambridge University Press, 2008): 276. ISBN 978-0-521-68200-8 (ПБК).
- ^ Дон Майкл Рэндел, изд. (2003). «Теория множеств», Гарвардский музыкальный словарь , с.776. Гарвард. ISBN 9780674011632 .
- ^ Tymoczko, Дмитрий (2011). Геометрия музыки: гармония и контрапункт в расширенной общей практике , с.30. Оксфордские исследования в теории музыки. ISBN 9780199714353 .
- ^ Мюллер, Мейнард (2007). Информационный поиск музыки и движения , стр. 60. ISBN 9783540740483 . «Класс высоты тона определяется как набор всех высот, имеющих одну и ту же цветность».
- ^ a b c Whittall (2008), стр.273.
- ^ Роберт Д. Моррис, "Обобщение вращающихся массивов", Журнал теории музыки 32, вып. 1 (весна 1988 г.): 75–132, цитирование на 83.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Пурвинс, Хендрик (2005). « Профили классов высоты звука: круговорот относительной высоты звука и тональности - эксперименты, модели, компьютерный анализ музыки и перспективы ». Кандидат наук. Тезис. Берлин: Технический университет Берлина .
- Ран, Джон (1980). Основная атональная теория . Нью-Йорк: Лонгман; Лондон и Торонто: Prentice Hall International. ISBN 0-02-873160-3 . Перепечатано в 1987 году, Нью-Йорк: Schirmer Books; Лондон: Кольер Макмиллан.
- Schuijer, Michiel (2008). Анализируя атональную музыку: теория множеств питч-класса и ее контексты . Истмен изучает музыку 60. Рочестер, штат Нью-Йорк: Университет Рочестера Press. ISBN 978-1-58046-270-9 .
