Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Сравнение некоторых одинаковых темпераментов. [1] График охватывает одну октаву по горизонтали (откройте изображение, чтобы просмотреть всю ширину), и каждый заштрихованный прямоугольник соответствует ширине одного шага шкалы. Отношения только интервалов разделены в строках их простыми пределами .
12-тоновая хроматическая гамма с одинаковой темперацией до до, одна полная октава восходящая, отмеченная только диезом. Играйте по возрастанию и убыванию ( помощь · информация )Об этом звуке 

Равно темперамент является темперация или настройки системы , которая приблизительно равен только интервалы деления октавы (или другого интервала) на равные шаги. Это означает, что соотношение частот любой смежной пары нот одинаково, что дает одинаковый воспринимаемый размер шага, поскольку высота звука воспринимается примерно как логарифм частоты. [2]

В классической музыке и западной музыке в целом наиболее распространенной системой настройки с 18-го века была двенадцатитонная равная темперация (также известная как 12 равных темпераментов , 12-TET или 12-ET ; неофициально сокращенно до двенадцати равных ), которая делит октаву на 12 частей, все из которых равны в логарифмическом масштабе с соотношением, равным корню 12-й степени из 2 ( 12 √ 2 ≈ 1,05946). Это в результате наименьший интервал, 1 / 12 ширина октаву, называется полутон или полшага. В западных странахтермин « равный темперамент» без оговорок обычно означает 12-TET.

В наше время 12-TET обычно настраивается относительно стандартной высоты тона 440 Гц, называемой A440 , что означает, что одна нота, A , настроена на 440 герц, а все остальные ноты определяются как несколько полутонов, кроме нее, либо выше. или ниже по частоте . Стандартный тон не всегда составлял 440 Гц. Он изменился и в целом увеличился за последние несколько сотен лет. [3]

Другие одинаковые темпераменты по-разному делят октаву. Например, некоторая музыка была написана в 19-TET и 31-TET , в то время как арабская тональная система использует 24-TET.

Вместо разделения октавы одинаковый темперамент может также разделить другой интервал, как, например, версия шкалы Болена – Пирса с равным темпом , которая делит правильный интервал октавы и квинты (соотношение 3: 1), называемый " tritave »или« псевдооктаву »в этой системе на 13 равных частей.

Для систем настройки, которые делят октаву поровну, но не являются приближениями только интервалов, можно использовать термин равное деление октавы или EDO .

Струнные ансамбли без ладов , которые могут регулировать настройку всех нот, кроме открытых струн , и вокальные группы, у которых нет ограничений механической настройки, иногда используют настройку, намного более близкую к простой интонации по акустическим причинам. Другие инструменты, такие как духовые , клавишные и ладовые инструменты, часто имеют примерно одинаковую темперацию, а технические ограничения не позволяют точно настроить. [4] Некоторые духовые инструменты, которые могут легко и спонтанно изменять свой тон, в первую очередь тромбоны , используют настройку, аналогичную настройке струнных ансамблей и вокальных групп.

Сравнение одинаковых темпераментов между 10-TET и 60-TET на каждом основном интервале малых основных пределов (красный: 3/2, зеленый: 5/4, синий: 7/4, желтый: 11/8, голубой: 13 / 8). Каждый цветной график показывает, сколько ошибок происходит (в центах) в ближайшем приближении соответствующего точного интервала (черная линия в центре). Две черные кривые, окружающие график с обеих сторон, представляют максимально возможную ошибку, а серые кривые внутри них указывают на ее половину.

Общие свойства [ править ]

При одинаковом темпераменте расстояние между двумя соседними ступенями шкалы равно интервалу . Поскольку воспринимаемая идентичность интервала зависит от его соотношения , эта шкала с четными шагами представляет собой геометрическую последовательность умножений. ( Арифметическая последовательность интервалов не будет звучать равномерно и не позволит транспонировать на разные клавиши.) В частности, наименьший интервал в равномерно темперированной шкале - это соотношение:

где коэффициент r делит коэффициент p (обычно октаву , равную 2: 1) на n равных частей. ( См. Ниже Двенадцатитоновый равный темперамент . )

Шкалы часто измеряются в центах , которые делят октаву на 1200 равных интервалов (каждый называется центом). Эта логарифмическая шкала упрощает сравнение различных систем настройки, чем сравнение соотношений, и широко используется в этномузыкологии . Основной шаг в центах для любой одинаковой темперации можно найти, взяв ширину p выше в центах (обычно октаву, которая составляет 1200 центов в ширину), называемую ниже w , и разделив ее на n частей:

В музыкальном анализе материалу, принадлежащему к одинаковому темпераменту, часто дается целочисленное обозначение , то есть для представления каждой высоты звука используется одно целое число. Это упрощает и обобщает обсуждение материала высоты тона в темперации таким же образом, как логарифм умножения сводит его к сложению. Кроме того, применяя модульную арифметику, где модуль - это количество делений октавы (обычно 12), эти целые числа могут быть уменьшены до классов высоты тона , что устраняет различие (или подтверждает сходство) между высотой звука с одним и тем же именем, например c равно 0 независимо от октавного регистра. MIDI стандарт кодирования использует целочисленные обозначения нот.

Общие формулы для равномерного интервала [ править ]

Двенадцатитоновый равный темперамент [ править ]

Основная статья: 12 одинаковых темпераментов

12-тональная равномерная темперация, которая делит октаву на двенадцать равных интервалов, является наиболее распространенной музыкальной системой, используемой сегодня, особенно в западной музыке.

История [ править ]

Двумя фигурами, которым часто приписывают достижение точного расчета одинакового темперамента, являются Чжу Зайю (также романизированный как Чу-Цайю. Китайский:朱 載 堉) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. По словам Фрица А. Каттнера, критика теории, [5] известно, что «Chu-Tsaiyu представил высокоточный, простой и гениальный метод арифметического вычисления моноаккордов равной темперации в 1584 году» и что «Саймон Стевин предложил математическое определение равной темперации плюс несколько меньшее. точное вычисление соответствующих числовых значений в 1585 году или позже ». Развитие происходило независимо. [6]

Кеннет Робинсон приписывает изобретение равного темперамента Чжу Зайю [7] и приводит текстовые цитаты в качестве доказательства. [8] Цитируется Чжу Зайюй, который сказал, что в тексте, датируемом 1584 годом: «Я основал новую систему. Я устанавливаю одну ногу как число, из которого должны быть извлечены другие, и, используя пропорции, я извлекаю их. Все вместе. нужно найти точные цифры для пайперов за двенадцать операций ». [8] Куттнер не согласен с этим и замечанием , что его требование «не может считаться правильным без существенных оговорок.» [5] Каттнер предполагает, что ни Чжу Зайю, ни Саймон Стевин не достигли одинакового темперамента и что ни один из них не должен рассматриваться как изобретатель. [9]

Китай [ править ]

Трубки равного темперамента Чжу Зайюй

В то время как Китай ранее придумал приближения для 12-TET, Чжу Зайюй был первым человеком, который математически решил двенадцатитоновую равную темперацию [10], которую он описал в своей книге « Слияние музыки и календаря» 律 暦 融通в 1580 году и « Полном сборнике текстов». Музыка и высота звука ( Yuelü quan shu樂 律 全書) в 1584 году. [11] Расширенный отчет также дал Джозеф Нидхэм. [12] Чжу получил свой результат математически, разделив длину колонны и трубы последовательно на 12 √ 2 ≈ 1.059463, а длину трубы на 24 √ 2 , [13] Таким образом, после двенадцати делений (октавы) длина делится на коэффициент 2.

Чжу Зайюй создал несколько инструментов, настроенных на его систему, в том числе бамбуковые трубки. [14]

Европа [ править ]

Одними из первых европейцев, выступавших за равный темперамент, были лютнисты Винченцо Галилей , Джакомо Горзанис и Франческо Спиначино , все они писали на него музыку. [15] [16] [17] [18]

Саймон Стевин был первым, кто разработал 12-TET, основанный на корне двенадцатой степени из двух , который он описал в Van De Spiegheling der singconst (около 1605 г.), опубликованном посмертно почти три века спустя в 1884 году [19].

В течение нескольких столетий Европа использовала множество систем настройки, включая 12 одинаковых темпераментов, а также означало один темперамент и хороший темперамент , каждую из которых можно рассматривать как приближение к предыдущему. Щипковые музыканты (лютнисты и гитаристы) обычно предпочитали равный темперамент [20], в то время как другие были более разобщенными. [21] В конце концов, победил двенадцатитоновый равный темперамент. Это позволило развиваться и процветать новым стилям симметричной тональности и политональности , атональной музыке, такой как написанная с использованием техники двенадцати тонов или сериализма , и джазу (по крайней мере, его фортепианной составляющей).

Математика [ править ]

Одна октава 12-тет на монохорде

В двенадцатитонной одинаковой темперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутона , то есть соотношение частот интервала между двумя соседними нотами, составляет корень двенадцатой степени из двух :

Это эквивалентно:

Этот интервал делится на 100 центов .

Расчет абсолютных частот [ править ]

См. Также: Частоты клавиш фортепиано

Чтобы найти частоту P n ноты в 12-TET, можно использовать следующее определение:

В этой формуле P n обозначает высоту тона или частоту (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. Р относится к частоте опорного поля. п и см номеров , присвоенных желаемая высоту и опорное поле, соответственно. Эти два числа взяты из списка последовательных целых чисел, присвоенных последовательным полутонам. Например, A 4 (эталонная высота тона) - это 49-я клавиша от левого края фортепиано (настроенная на 440 Гц ), а C 4 ( средний C ) и F # 4 - это 40-я и 46-я клавиши соответственно. Эти числа можно использовать, чтобы найти частоту C4 и F # 4  :

Сравнение с интонацией [ править ]

Интервалы 12-TET точно по интонации приблизительно соответствуют некоторым интервалам . [22] Пятые и четвертые почти неотличимо близки к точным интервалам, а третьи и шестые находятся дальше.

В следующей таблице размеры различных интервалов справедливости сравниваются с их аналогами с равным темпом, указанными как в соотношении, так и в центах .

ИмяТочное значение в 12-TETДесятичное значение в 12-TETЦентовПросто интонационный интервалЦенты в интонацииРазница
Унисон ( К )2 0 / 12 = 1101 / 1 = 100
Незначительная секунда ( C ♯ / D ♭ )2 1 / 12 = 12 √ 21,05946310016 / 15 = 1,06666 ...111,73-11,73
Большая секунда ( D )2 2 / 12 = 6 √ 21,1224622009 / 8 = 1,125203,91-3,91
Малая третья ( D ♯ / E ♭ )2 3 / 12 = 4 √ 21,1892073006 / 5 = 1,2315,64-15,64
Большая третья ( E )2 4 / 12 = 3 √ 21,2599214005 / 4 = 1,25386,31+13,69
Идеальный четвертый ( F )2 5 / 12 = 12 √ 321,334845004 / +3 = 1,33333 ...498,04+1,96
Тритон ( F ♯ / G ♭ )2 6 / 12 = √ 21,4142146007 / 5 = 1,4 10 / 7 = 1,42857 ...
582,51
617,49		+17,49
-17,49
Идеальная пятая ( G )2 7 / 12 = 12 √ 1281,4983077003 / 2 = 1,5701,96-1,96
Незначительный шестой ( G ♯ / A ♭ )2 8 / 12 = 3 √ 41,5874018008 / 5 = 1,6813,69-13,69
Шестой майор ( А )2 9 / 12 = 4 √ 81,6817939005 / +3 = 1,66666 ...884,36+15,64
Минор седьмой ( A ♯ / B ♭ )2 10 / 12 = 6 √ 321,781797100016 / +9 = 1,77777 ...996,09+3,91
Большой седьмой ( B )2 11 / 12 = 12 √ 20481.887749110015 / 8 = 1,8751088,27+11,73
Октава ( C )- 12 / 12 = 2212002 / 1 = 21200.000

Семитоновое равное деление пятого [ править ]

Скрипки, альты и виолончели настроены в идеальных квинтах (G - D - A - E для скрипок и C - G - D - A для альтов и виолончелей), что говорит о том, что их полутоновое соотношение немного выше, чем в обычный двенадцатитоновый равный темперамент. Поскольку идеальный пятый в 3: 2 связи с его базовым тоном, и этот интервал покрывается в 7 шагов, каждый тон в соотношении 7 √ 3 / 2 к следующему (100.28 центов), которая обеспечивает для идеального квинта с соотношением 3: 2, но немного расширенная октава с соотношением ≈ 517: 258 или ≈ 2,00388: 1, а не обычное соотношение 2: 1, потому что двенадцать идеальных квинт не равны семи октавам. [23] Однако во время реальной игры скрипач выбирает высоту звука на слух, и только четыре непрерывных высоты звука струн гарантированно демонстрируют это соотношение 3: 2.

Другие равные темпераменты [ править ]

См. Также: Sonido 13

5 и 7 тоновые темпераменты в этномузыкологии [ править ]

Приближение 7-тет

Пяти- и семитоновый одинаковый темперамент ( 5-TET Play ( справка · информация ) и 7-TET Play ( справка · информация ) ) с 240 шагами Play ( справка · информация ) и 171 Play ( справка · информация ) соответственно. общий.    

5-TET и 7-TET обозначают конечные точки допустимого диапазона настройки синтонической темперации , как показано на рисунке 1 .

  • В 5-TET темперированная идеальная квинта имеет ширину 720 центов (в верхней части континуума настройки) и отмечает конечную точку на континууме настройки, в которой ширина второстепенной секунды сокращается до ширины 0 центов.
  • В 7-TET темперированная идеальная квинта имеет ширину 686 центов (в нижней части континуума настройки) и отмечает конечную точку в континууме настройки, в которой малая секунда расширяется до такой же ширины, что и большая секунда (по 171 цент каждая ).

5-тональная ровная темперация [ править ]

Индонезийские гамеланы настроены на 5-ТЕТ согласно Кунсту (1949), но согласно Худу (1966) и МакФи (1966) их настройка широко варьируется, и, согласно Тензеру (2000), они содержат растянутые октавы . Сейчас общепризнано, что из двух основных систем настройки в музыке гамелана, слендро и пелог , только слендро несколько напоминает пятитональный равный темперамент, в то время как пелог очень неравен; однако Surjodiningrat et al. (1972) проанализировал пелог как семизначную подмножество девятитональной равной темперации ( игра с шагом 133 цента ( помощь · информация ) ). 

7-тональная ровная темперация [ править ]

Тайский ксилофон измеряется Мортоном (1974) «варьировался только плюс или минус 5 центов,» с 7-ТЕТ. По словам Мортона, «тайские инструменты с фиксированной высотой звука настроены на эквидистантную систему из семи высот на октаву ... Однако, как и в западной традиционной музыке, все высоты звуковой системы не используются в одном режиме (часто называемом« scale '); в тайской системе пять из семи используются в основных тонах в любом режиме, таким образом устанавливая образец неравноудаленных интервалов для режима ". [24] Играть ( помощь · информация ) 

Шкала южноамериканских индейцев из доинструментальной культуры, измеренная Бойлсом (1969), характеризовалась семитональной равной темперацией на 175 центов, которая слегка растягивает октаву, как в инструментальной музыке гамелана.

В китайской музыке традиционно используется 7-TET. [25] [26]

Различные равные темпераменты [ править ]

Система обозначений Исли Блэквуда для 16 одинаковых темпераментов: интервалы обозначены так же, как и те, к которым они приближаются, и существует меньше энгармонических эквивалентов. [27] Играть ( помощь · информация ) 
Сравнение одинаковых темпераментов от 9 до 25 (по Sethares (2005), с. 58). [1]

24 EDO , четверть тональная шкала(или 24-TET), была популярной микротональной настройкой в ​​20-м веке, вероятно, потому что она представляла собой удобную точку доступа для композиторов, использующих стандартную высоту звука и нотацию западных 12 EDO, которые также интересовались микротональностью. Поскольку 24 EDO содержат все высоты звука 12 EDO, а также новые высоты на полпути между каждой смежной парой из 12 шагов EDO, они могут использовать дополнительные цвета без потери какой-либо тактики, доступной в 12-тональной гармонии. Тот факт, что 24 кратно 12, также позволил легко достичь 24 EDO инструментально, используя два традиционных инструмента 12 EDO, специально настроенных на четверть тона, например, два фортепиано, что также позволяло каждому исполнителю (или одному исполнителю играть на другом фортепиано каждой рукой), чтобы прочитать знакомые 12-тональные обозначения.Различные композиторы, в том числе Чарльз Айвз, экспериментировали с музыкой для четвертьтонных фортепиано. 24 EDO очень хорошо аппроксимирует 11-ю гармонику, в отличие от 12 EDO.

Известно 19 ОКБ, а некоторые инструменты настроены в 19 ОКБ. Он имеет немного более плоскую идеальную пятую часть (694 цента), но ее основная шестая часть находится менее чем в одном центе от основной шестой части интонации (884 цента). Его второстепенная треть также составляет менее цента от интонации. Его идеальная четверть (503 цента) всего на 5 центов выше интонации и на 3 цента с точностью до 12 тет.

23 EDO - это самый крупный EDO, который не может приблизить 3-ю, 5-ю, 7-ю и 11-ю гармоники (3: 2, 5: 4, 7: 4, 11: 8) в пределах 20 центов, что делает его привлекательным для микротоналистов, ищущих необычный микротональный звук. гармоничная территория.

27 EDO - это наименьший EDO, который однозначно представляет все интервалы, содержащие первые восемь гармоник. Он смягчает семельную запятую, но не синтоническую .

29 EDO - это наименьшее количество равных делений октавы, при котором получается идеальная квинта лучше, чем 12 EDO. Его основная треть примерно такая же неточная, как 12-TET; однако он настроен ровно на 14 центов, а не на 14 центов. Он также настраивает 7-ю, 11-ю и 13-ю гармоники примерно на одинаковую величину. Это означает, что такие интервалы, как 7: 5, 11: 7, 13:11 и т. Д., Очень хорошо сочетаются в 29-TET.

31 EDO защищали Христиан Гюйгенс и Адриан Фоккер . 31 EDO имеет немного менее точную пятую часть, чем 12 EDO, но обеспечивает почти только мажорные трети и обеспечивает приличное совпадение для гармоник, по крайней мере, до 13, из которых седьмая гармоника особенно точна.

34 EDO дает несколько меньшие суммарные комбинированные ошибки приближения к 5-предельным отношениям 3: 2, 5: 4, 6: 5 и их инверсии, чем 31 EDO, хотя приближение 5: 4 хуже. 34 EDO не приближает коэффициенты, включающие простое число 7. Он содержит тритон с концентрацией 600 центов, так как это EDO с четным номером.

41 EDO - второе наименьшее количество равных подразделений, которое дает лучшую идеальную пятую часть, чем 12 EDO. Его основная треть точнее, чем 12 EDO и 29 EDO, что составляет около 6 центов. Это не означает один, поэтому он различает 10: 9 и 9: 8, в отличие от 31edo. Он более точен в 13-м лимите, чем 31edo.

46 EDO обеспечивает слегка резкие мажорные трети и идеальные квинты, придавая трезвучиям характерный яркий звук. Гармоники до 11 аппроксимируются с точностью до 5 центов, при этом 10: 9 и 9: 5 составляют одну пятую цента от чистого. Поскольку это не система с одинарным значением, она различает 10: 9 и 9: 8.

53 EDO лучше при аппроксимации традиционных только созвучия , чем 12, 19 или 31 EDO, но имел только случайное использование. Его чрезвычайно хорошие идеальные квинты делают его взаимозаменяемым с расширенной пифагорейской настройкой , но он также приспосабливается к раскольническому темпераменту и иногда используется в теории турецкой музыки . Однако это не соответствует требованиям темпераментов среднего человека, которые делают хорошие трети легко доступными через цикл квинт. В 53 EDO очень согласные трети могли бы быть достигнуты вместо этого с помощью пифагорейской уменьшенной четверти (CF ♭ ), поскольку это пример схизматического темперамента , как и 41 EDO.

72 EDO хорошо аппроксимирует многие интонационные интервалы, даже в пределах 7 и 11, таких как 7: 4, 9: 7, 11: 5, 11: 6 и 11: 7. 72 EDO преподавали, писали и исполняли на практике Джо Манери и его ученики (чьи атональные наклонности обычно избегают любых ссылок на просто интонациюкак бы то ни было). Его можно рассматривать как расширение 12 EDO, потому что 72 кратно 12. 72 EDO имеет наименьший интервал, который в шесть раз меньше, чем наименьший интервал 12 EDO, и, следовательно, содержит шесть копий 12 EDO, начинающихся с разных шагов. Он также содержит три копии 24 ОКБ и две копии 36 ОКБ, которые сами по себе кратны 12 ОКБ. 72 EDO также подвергался критике за его избыточность, сохраняя плохие аппроксимации, содержащиеся в 12 EDO, несмотря на то, что они не требовались для каких-либо нижних пределов только интонации (например, 5-предел).

96 EDO аппроксимирует все интервалы с точностью до 6,25 цента, что едва различимо. Будучи восьмикратным числом, кратным 12, его можно полностью использовать как обычный 12 EDO. Его пропагандировали несколько композиторов, особенно Хулиан Каррильо с 1924 по 1940-е годы. [28]

Другие равные подразделения октавы, которые нашли время от времени, включают 15 EDO , 17 EDO , 19 EDO и 22 EDO .

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 являются знаменателями из первых дробей из бревна 2 (3), так что 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 двенадцатых (и пятые), являясь в соответствующих равных темпераментах, равных целому числу октав, лучше приближения 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 всего лишь двенадцатые / пятые, чем для любых одинаковых темпераментов с меньшим количеством тонов. [29] [30]

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200 ... (последовательность A060528 в OEIS ) - это последовательность делений октавы, которая обеспечивает все лучшее и лучшее приближение к идеальной квинте. Связанные последовательности содержат деления, аппроксимирующие другие интервалы. [31]

Это приложение: [1] вычисляет частоты, приблизительные центы и значения изменения высоты тона MIDI для любых систем с равным делением октавы. Обратите внимание, что «скругленный» и «напольный» производят одинаковое значение изменения высоты тона MIDI.

Равные темпераменты неоктавных интервалов [ править ]

Уравновешенная версия шкалы Болена-Пирса состоит из соотношения 3: 1, 1902 цента, условно идеальная квинта плюс октава (то есть идеальная двенадцатая), называемая в этой теории тритавой ( play ( help · info ) ) и разделить на тринадцать равных частей. Это обеспечивает очень близкое соответствие с справедливо настроенными отношениями, состоящими только из нечетных чисел. Каждый шаг стоит 146,3 цента ( игра ( помощь · информация ) ) или 13 √ 3 .  

Венди Карлос создала три необычных одинаковых темперамента после тщательного изучения свойств возможных темпераментов с шагом от 30 до 120 центов. Они назывались альфа , бета и гамма . Их можно рассматривать как равные части идеальной пятой части. Каждый из них дает очень хорошее приближение нескольких интервалов. [32] Их размер шага:

  • альфа : 9 √ +3 / +2 (78,0 центов) Play ( помощь · информация ) 
  • бета : 11 √ +3 / +2 (63,8 центов) Play ( помощь · информация ) 
  • гамма : 20 √ +3 / 2 (35,1 центов) Play ( помощь · информация ) 

Альфа и Бета можно услышать в заглавном треке ее альбома 1986 года Beauty in the Beast .

Пропорции между полутоном и целым тоном [ править ]

В этом разделе полутон и весь тон могут не иметь своих обычных значений 12-EDO, поскольку в нем обсуждается, как они могут быть смягчены разными способами, чем их простые версии, для создания желаемых отношений. Пусть количество шагов в полутоне будет s , а количество шагов в тоне будет t .

Существует ровно одно семейство одинаковых темпераментов, которое фиксирует полутон для любой правильной части целого тона, сохраняя при этом ноты в правильном порядке (что означает, например, что C, D, E, F и F ♯ идут по возрастанию. порядок, если они сохраняют свои обычные отношения с C). Таким образом, фиксация q как правильной дроби в отношении qt = s также определяет уникальное семейство из одного равного темперамента и его кратных, которые соответствуют этому отношению.

Например, если к является целым числом, 12 K -EDO множества Q = 1 / 2 , и 19 к -EDO множества д = 1 / 3 . Наименьшие кратные в этих семействах (например, 12 и 19 выше) обладают дополнительным свойством не иметь нот вне круга квинт . (В общем случае это неверно; в 24-EDO полу-диезы и полу-диезы не входят в круг квинт, начиная с C.) Крайний случай - 5 k -EDO, где q = 0 и полутон становится унисоном, а 7 k -EDO, где q = 1, а полутон и тон - это один и тот же интервал.

Как только кто-то знает, сколько шагов полутона и тона в этой одинаковой темперации, он может найти количество шагов в октаве. Равная темперация, отвечающая указанным выше свойствам (включая отсутствие нот вне круга квинт), делит октаву на 7 шагов t - 2 с , а идеальная квинта - на 4 шага t - s . Если есть ноты вне круга квинт, затем нужно умножить эти результаты на n , которое представляет собой количество неперекрывающихся кругов квинт, необходимых для создания всех нот (например, две в 24-EDO, шесть в 72-EDO). (Нужно взять небольшой полутон для этой цели: 19-EDO имеет два полутона, один из которых 1 / 3тон и другое существо 2 / 3 ) .

Самым маленьким из этих семейств является 12 k- EDO, и, в частности, 12-EDO - это наименьший равный темперамент, обладающий вышеуказанными свойствами. Кроме того, он также делает полутон ровно половиной целого тона, что является наиболее простым соотношением. Это некоторые из причин, по которым 12-EDO стал наиболее часто используемым равным темпераментом. (Другая причина в том, что 12-EDO - это наименьший равный темперамент, близкий к 5-предельной гармонии, следующим по наименьшему значению является 19-EDO.)

Каждый выбор фракции д для результатов отношений в точности одного равного темперамент семьи, но обратное неверно: 47-EDO имеет два различных полутона, где один 1 / 7 тон , а другой 8 / 9 , которые являются не дополняет друг от друга , как и в 19-EDO ( 1 / 3 и 2 / 3 ). Выбор каждого полутона приводит к разному выбору идеальной квинты.

Связанные системы настройки [ править ]

Регулярные диатонические строи [ править ]

Рисунок 1: Континуум регулярных диатонических строев , который включает в себя множество известных "равных темпераментов" (Milne 2007). [33]

Диатоническая настройка в двенадцать равных может быть обобщена на любую обычную диатоническую настройку, делящую октаву как последовательность шагов TTSTTTS (или ее вращение), при этом все Т и все S одинакового размера, а S меньше, чем T. В двенадцати равных S является полутоном и составляет ровно половину размера тона T. Когда S уменьшаются до нуля, результатом становится TTTTT или пятитональная равная темперация.По мере увеличения полутонов в конечном итоге все шаги становятся одинаковыми. размер, и в результате получается семь тонов равного темперамента. Эти две конечные точки не входят в обычные диатонические настройки.

Ноты в обычном диатоническом строе соединены вместе циклом из семи темперированных квинт. Двенадцатитоновая система аналогичным образом обобщает последовательность CDCDDCDCDCDD (или ее вращение) хроматических и диатонических полутонов, соединенных вместе в цикле из двенадцати пятых. В этом случае семь равных получается в пределе, поскольку размер C стремится к нулю, и пять равных - это предел, поскольку D стремится к нулю, в то время как двенадцать равных, конечно же, в случае C = D.

Некоторые из промежуточных размеров тонов и полутонов также могут быть созданы в системах одинаковой темперации. Например, если диатонический полутон вдвое превышает размер хроматического полутона, то есть D = 2 * C, результат будет равен девятнадцати, с одним шагом для хроматического полутона, двумя шагами для диатонического полутона и тремя шагами для тона и общим числом. шагов 5 * T + 2 * S = 15 + 4 = 19 шагов. Получающаяся в результате двенадцатитоновая система очень близка к исторически важной 1/3 запятой, означающей один.

Если хроматический полутон составляет две трети диатонического полутона, то есть C = (2/3) * D, результат равен тридцатью одному, с двумя шагами для хроматического полутона, тремя шагами для диатонического полутона и пять шагов для тона, где 5 * T + 2 * S = 25 + 6 = 31 шаг. Получающаяся в результате двенадцатитоновая система близко приближается к исторически важной 1/4 запятой, означающей один.

См. Также [ править ]

  • Просто интонация
  • Музыкальная акустика (физика музыки)
  • Музыка и математика
  • Микротюнер
  • Микротональная музыка
  • Настройка фортепиано
  • Список подразумеваемых интервалов
  • Диатонический и хроматический
  • Электронный тюнер
  • Музыкальный тюнинг

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

  1. ^ a b Sethares сравнивает несколько одинаковых темпераментов на графике с осями, перевернутыми относительно осей в первом сравнении одинаковых темпераментов, и идентичными осями во втором. (рис. 4.6, стр. 58)
  2. ↑ О'Доннелл, Майкл. «Перцептивные основы звука» . Проверено 11 марта 2017 .
  3. ^ История музыкального тона в Европе p493-511 Герман Гельмгольц, Александр Дж. Эллис О ощущениях тона , Dover Publications, Inc., Нью-Йорк
  4. ^ Varieschi, Г., и Гувер, C. (2010). Интонация и компенсация струнных инструментов. Американский журнал физики, 78 (47), 47-55. https://doi.org/10.1119/1.3226563
  5. ^ a b Фриц А. Каттнер. п. 163.
  6. ^ Фриц А. Каттнер. «Жизнь и творчество принца Чу Цай-Юя: переоценка его вклада в теорию равного темперамента», стр. 200, Ethnomusicology , Vol. 19, № 2 (май 1975 г.), стр. 163–206.
  7. ^ Кеннет Робинсон: критическое исследование вклада Чу Цай-юй в теорию равного темперамента в китайской музыке . (Sinologica Coloniensia, Bd. 9.) x, 136 стр. Висбаден: Franz Steiner Verlag GmbH, 1980. DM 36. p.vii «Чу-Цайю - первый разработчик математики« равного темперамента »в любой точке мира.
  8. ^ а б Робинсон, Кеннет Г. и Джозеф Нидхэм. 1962. «Физика и физическая техника». В «Наука и цивилизация в Китае», т. 4: «Физика и физические технологии», часть 1: «Физика», под редакцией Джозефа Нидхэма. Кембридж: Издательство университета. п. 221.
  9. ^ Фриц А. Каттнер. п. 200.
  10. ^ Джин Дж. Чо «Значение открытия музыкального равного темперамента в истории культуры», http://en.cnki.com.cn/Article_en/CJFDTOTAL-XHYY201002002.htm Архивировано 15 марта2012 г. на Wayback Машина
  11. ^ "Количественная оценка ритуала: политическая космология, изысканная музыка и точная математика в Китае семнадцатого века Роджер Харт Отделения истории и азиатских исследований, Техасский университет, Остин" . Uts.cc.utexas.edu. Архивировано из оригинала на 2012-03-05 . Проверено 20 марта 2012 .
  12. ^ Наука и цивилизация в Китае, Том IV: 1 (Физика), Джозеф Нидхэм, Cambridge University Press, 1962–2004, стр 220 и далее.
  13. ^ The Shorter Science & Civilization in China, Сокращение Колина Ронана оригинального текста Джозефа Нидхэма, стр. 385
  14. ^ Лау Хансон, Абакус и практическая математика, стр. 389 (на китайском劳 汉 生 《珠算 与 实用 数学》 389 页)
  15. ^ Галилей, В. (1584). Il Fronimo ... Dialogo sopra l'arte del bene intavolare. Г. Скотто : Венеция, сл. 80–89.
  16. ^ "Resound - Corruption of Music" . Philresound.co.uk. Архивировано из оригинала на 2012-03-24 . Проверено 20 марта 2012 .
  17. ^ Джакомо Горзанис, c. 1525 - ок. 1575 Intabolatura di liuto. Женева, 1982 г.
  18. ^ "Spinacino 1507a: Тематический указатель" . Аппалачский государственный университет. Архивировано из оригинала на 2011-07-25 . Проверено 14 июня 2012 .
  19. ^ "Van de Spiegheling der singconst, редактор Рудольф Раш, The Diapason Press" . Diapason.xentonic.org. 2009-06-30. Архивировано из оригинала на 2011-07-17 . Проверено 20 марта 2012 .
  20. ^ "Лютни, альты, темпераменты" ISBN Марка Линдли 978-0-521-28883-5 
  21. ↑ Андреас Веркмайстер: Музыкальный парадоксальный дискурс, 1707 г.
  22. ^ Партч, Гарри (1979). Генезис музыки (2-е изд.). Da Capo Press. п. 134 . ISBN 0-306-80106-X.
  23. ^ Кордье, Серж. «Le tempérament égal à quintes justes» (на французском языке). Association pour la Recherche et le Développement de la Musique . Проверено 2 июня 2010 .
  24. ^ Мортон, Дэвид (1980). "Музыка Таиланда", Музыка многих культур , стр.70. Мэй, Элизабет, изд. ISBN 0-520-04778-8 . 
  25. ^ 有关 "七 平均 律" 新 文献 著作 的 发现[Находки новой литературы о гепта - равном темпераменте] (на китайском языке). Архивировано из оригинала на 2007-10-27. «Гепта-ровный темперамент» в нашей народной музыке всегда был спорным вопросом.
  26. ^ 七 平均 律 "琐谈 - 兼 及 旧式 均 孔 曲笛 制作 与 转调"[аннотация к «Семерочной уравнительной системе» ] (на китайском языке). Архивировано из оригинала на 2007-09-30 . Проверено 25 июня 2007 . От флейты в течение двух тысяч лет производственного процесса и японской сякухати, оставшейся в производстве династий Суй и Тан, и фактического темперамента, идентификации людей, использующих так называемые «семь законов», по крайней мере, две тысячи лет истории; и решил, что эта система закона связана с законом флейты.
  27. ^ Майлз Ли Скиннер (2007). К четвертоновому синтаксису: анализ избранных произведений Блэквуда, Хабы, Айвса и Вышнеградского , с. 55. ISBN 9780542998478 . 
  28. ^ Monzo, Джо (2005). «Равновесие» . Энциклопедия теории микротональной музыки Tonalsoft . Джо Монцо . Проверено 26 февраля 2019 .
  29. ^ "665edo" . ксеногармоника (микротональная вики). Архивировано из оригинала на 2015-11-18 . Проверено 18 июня 2014 .
  30. ^ "подходящие дроби (log2 (3), 10)" . WolframAlpha . Проверено 18 июня 2014 .
  31. ^
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3 (последовательность A054540 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5 (последовательность A060525 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 7: 4 и 8: 7 (последовательность A060526 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 7: 4 и 8: 7, 16:11 и 11: 8 (последовательность A060527 в OEIS )
    • 4: 3 и 3: 2, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3, 7: 4 и 8: 7, 16:11 и 11: 8, 16:13 и 13: 8 (последовательность A060233 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3, 9: 8 и 16: 9, 10: 9 и 9: 5, 16:15 и 15: 8, 45: 32 и 64:45 (последовательность A061920 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3, 9: 8 и 16: 9, 10: 9 и 9: 5, 16:15 и 15: 8, 45: 32 и 64:45, 27:20 и 40:27, 32:27 и 27:16, 81:64 и 128: 81, 256: 243 и 243: 128 (последовательность A061921 в OEIS )
    • 5: 4 и 8: 5 (последовательность A061918 в OEIS )
    • 6: 5 и 5: 3 (последовательность A061919 в OEIS )
    • 6: 5 и 5: 3, 7: 5 и 10: 7, 7: 6 и 12: 7 (последовательность A060529 в OEIS )
    • 11: 8 и 16:11 (последовательность A061416 в OEIS )
  32. ^ Карлос, Венди. «Три асимметричных деления октавы» . wendycarlos.com . ООО «Серендип» . Проверено 1 сентября 2016 .
  33. ^ Милн, А., Sethares, WA и Пламондон, J., "Изоморфные Контроллеры и динамической настройки: Инвариантная Fingerings Поперек Tuning Continuum" Архивированные 2016-01-09 в Wayback Machine , Computer Music Journal , Winter 2007, Vol. 31, № 4, стр. 15-32.

Источники [ править ]

  • Чо, Джин Джинсионг. (2003). Открытие музыкального равного темперамента в Китае и Европе в шестнадцатом веке . Льюистон, Нью-Йорк: Эдвин Меллен Пресс .
  • Даффин, Росс В. Как равный темперамент разрушил гармонию (и почему вам это должно быть небезразлично) . WWNorton & Company, 2007.
  • Йоргенсен, Оуэн. Тюнинг . Michigan State University Press, 1991. ISBN 0-87013-290-3 
  • Сетхарес, Уильям А. (2005). Настройка, тембр, спектр, масштаб (2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-797-4.
  • Surjodiningrat, W., Sudarjana, PJ, and Susanto, A. (1972) Измерения тона выдающихся яванских гамеланов в Джокьякарте и Суракарте , Gadjah Mada University Press, Джокджакарта, 1972 г. Цитируется по https://web.archive.org/web/ 20050127000731 / http: //web.telia.com/~u57011259/pelog_main.htm . Проверено 19 мая 2006 года.
  • Стюарт, П. Дж. (2006) «От галактики к галактике: музыка сфер» [2]
  • Храмов, Михаил. «Аппроксимация 5-предельного только интонации. Компьютерное моделирование MIDI в отрицательных системах равных делений октавы», Труды Международной конференции SIGMAP-2008 [ постоянная мертвая ссылка ] , 26–29 июля 2008 г., Порту , стр. 181–184 , ISBN 978-989-8111-60-9 

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Ощущения тона - фундаментальная работа Германа фон Гельмгольца по акустике и восприятию звука. Особенно Приложение XX: Дополнения переводчика, страницы 430-556, (pdf страницы 451-577)]

Внешние ссылки [ править ]

  • Xenharmonic вики по EDO против равных темпераментов
  • Центр микротональной музыки Фонда Гюйгенса-Фоккера
  • А.Орландини: Музыкальная акустика
  • «Темперамент» из приложения к циклопедии мистера Чемберса (1753 г.)
  • Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900 гг . (2008) Латина, Il Levante Libreria Editrice
  • Фрактальная микротональная музыка , Джим Кукула .
  • Все существующие цитаты 18 века об И. С. Бахе и темпераменте
  • Доминик Экерсли: « Возвращение к Розетте: очень обычный темперамент Баха »
  • Хорошие темпераменты, основанные на определении Веркмайстера
  • Р AVORED С ARDINALITIES О Р С Калес от P Eter B ЦЭКБС