Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из теории музыкального набора )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пример Z-отношения на двух наборах основного тона, которые можно анализировать или выводить из Z17, [1] с интервалами между классами основного тона, помеченными для облегчения сравнения между двумя наборами и их общим вектором интервалов, 212320
Набор 3-1 имеет три возможных поворота / переворачивания, нормальной формой которых является наименьший пирог или наиболее компактная форма.

Теория музыкального набора предоставляет концепции для классификации музыкальных объектов и описания их отношений. Говард Хэнсон первым разработал многие концепции для анализа тональной музыки. [2] Другие теоретики, такие как Аллен Форте , развили теорию анализа атональной музыки [3], опираясь на теорию двенадцати тонов Милтона Бэббита . Концепции теории музыкальных множеств очень общие и могут применяться к тональным и атональным стилям в любой системе настройки одинаковой темперации , а в некоторой степени и в более общем плане.

Один из разделов теории музыкальных множеств имеет дело с коллекциями ( наборами и перестановками ) высот и классов высоты звука ( теория множеств классов высоты тона ), которые могут быть упорядочены или неупорядочены и могут быть связаны музыкальными операциями, такими как транспозиция , мелодическая инверсия и дополнение . Некоторые теоретики применяют методы теории музыкальных множеств и для анализа ритма .

Математическая теория множеств против теории музыкальных множеств [ править ]

Хотя часто считается, что теория музыкальных множеств включает применение математической теории множеств к музыке, между методами и терминологией этих двух методов существует множество различий. Например, музыканты используют термины транспозиция и инверсия, тогда как математики используют перевод и отражение . Кроме того, там, где теория музыкальных множеств относится к упорядоченным множествам, математика обычно относится к кортежам или последовательностям (хотя математика действительно говорит об упорядоченных наборах , и хотя можно увидеть, что они включают в некотором смысле музыкальный вид, они гораздо более сложны).

Более того, теория музыкальных множеств более тесно связана с теорией групп и комбинаторикой, чем с математической теорией множеств, которая занимается такими вопросами, как, например, различные размеры бесконечно больших множеств. В комбинаторике неупорядоченное подмножество n объектов, например классы основного тона , называется комбинацией , а упорядоченное подмножество - перестановкой . Теорию музыкальных множеств лучше всего рассматривать как область, которая не столько связана с математической теорией множеств, сколько приложение комбинаторики к теории музыки со своим собственным словарем. Основная связь с математической теорией множеств - это использование словаря теории множеств, чтобы говорить о конечных множествах.

Установить и установить типы [ править ]

Основная статья: Сет (музыка)

Фундаментальным понятием теории музыкальных множеств является (музыкальный) набор, который представляет собой неупорядоченный набор классов высоты звука. [4] Точнее, набор питч-класса - это числовое представление, состоящее из различных целых чисел (т. Е. Без дубликатов). [5] Элементы набора могут проявляться в музыке как одновременные аккорды, последовательные тоны (как в мелодии) или и то, и другое. [ необходима цитата ] Условные обозначения варьируются от автора к автору, но наборы обычно заключаются в фигурные скобки: {}, [6] или квадратные скобки: []. [5]

Некоторые теоретики используют угловые скобки ⟨⟩ для обозначения упорядоченных последовательностей [7], в то время как другие различают упорядоченные множества, разделяя числа пробелами. [8] Таким образом , можно было бы фиксировать неупорядоченный набор классов основного тона 0, 1 и 2 ( что соответствует в данном случае C, C ♯ и D) , как {0,1,2}. Упорядоченная последовательность CC ♯ -D будет обозначена как ⟨0,1,2⟩ или (0,1,2). Хотя в этом примере C считается нулевым, это не всегда так. Например, произведение (тональное или атональное) с четким центром высоты тона F может быть наиболее полезно проанализировано с F, установленным на ноль (в этом случае {0,1,2} будет представлять F, F ♯ и G. (Для использование чисел для обозначения нот, см. класс высоты тона .)

Хотя набор теоретики обычно рассматривают наборы равных уравновешенные классов основного тона, можно рассматривать множество смол, неравный-закаленные классов тангажа, [ править ] ритмичные начала, или «бить классы». [9] [10]

Двухэлементные наборы называются диадами , трехэлементные наборы трихордами (иногда «триадами», хотя это легко спутать с традиционным значением слова « триада» ). Множества высших мощностей называются тетрахордами (или тетрадами), пентахордами (или пентадами), гексахордами (или гексадами), гептахордами (гептадами или, иногда, смешанными латинскими и греческими корнями, «септахордами» - например, Ран), [11] октахордами ( октады), неахорды (нонады), декахорды (декады), ундекахорды и, наконец, додекахорды .

Основные операции [ править ]

Основная статья: Трансформация (музыка)
Инверсия питч-класса: 234te, отраженное около 0, становится t9821

Основные операции, которые могут выполняться над набором, - это транспонирование и инверсия . Наборы, связанные транспонированием или инверсией, называются связанными транспозиционно или инверсионно связанными и принадлежат к одному и тому же классу наборов . Поскольку транспозиция и инверсия являются изометриями пространства питч-класса, они сохраняют интервальную структуру множества, даже если они не сохраняют музыкальный характер (то есть физическую реальность) элементов множества. [ необходима цитата ]Это можно считать центральным постулатом теории музыкальных множеств. На практике теоретико-множественный музыкальный анализ часто заключается в выявлении неочевидных транспозиционных или инверсионных отношений между наборами, встречающимися в пьесе.

Некоторые авторы рассматривают также операции дополнения и умножения . Дополнением к множеству X является набор, состоящий из всех классов основного тона, не содержащихся в X. [12] Произведение двух классов основного тона является произведением их номеров классов основного тона по модулю 12. Поскольку дополнение и умножение не являются изометриями питча- классовое пространство, они не обязательно сохраняют музыкальный характер преобразуемых объектов. Другие авторы, такие как Аллен Форте, подчеркивали Z-отношение , которое возникает между двумя наборами, которые имеют одно и то же общее содержание интервала или вектор интервала, но не являются транспозиционно или инверсионно эквивалентными. [13]Другое название этой связи, использованное Хэнсоном [14], - «изомерная». [15]

Операции с упорядоченными последовательностями классов высоты тона также включают транспонирование и инверсию, а также ретроградное движение и вращение . При ретроградации упорядоченной последовательности порядок ее элементов меняется на обратный. Вращение упорядоченной последовательности эквивалентно циклической перестановке .

Транспонирование и инверсия можно представить как элементарные арифметические операции. Если x - число, представляющее класс высоты тона, его перестановка на n полутонов записывается как T n  =  x  +  n  mod 12. Инверсия соответствует отражению вокруг некоторой фиксированной точки в пространстве классов высоты тона . Если x является классом высоты тона, инверсия с порядковым номером n записывается как I n  =  n  -  x  mod 12.

Отношение эквивалентности [ править ]

См. Также: Класс эквивалентности (музыка)

«Чтобы отношение в множестве S было отношением эквивалентности [в алгебре ], оно должно удовлетворять трем условиям: оно должно быть рефлексивным ..., симметричным ... и транзитивным ...». [16] «Действительно, неформальное понятие эквивалентности всегда было частью теории и анализа музыки. Теория компьютерных множеств, однако, придерживалась формальных определений эквивалентности». [17]

Классы транспозиционных и инверсионных множеств [ править ]

Говорят, что два транспозиционно связанных множества принадлежат одному и тому же классу транспозиционных множеств (T n ). Говорят, что два набора, связанные транспонированием или инверсией, принадлежат к одному и тому же классу транспозиционных / инверсионных множеств (инверсия обозначается как T n I или I n ). Наборы, принадлежащие к одному классу транспозиционных наборов, очень похожи по звучанию; в то время как множества, принадлежащие к одному и тому же классу транспозиционных / инверсионных множеств, имеют довольно похожее звучание. По этой причине теоретики музыки часто считают классы множеств основными объектами музыкального интереса.

Существует два основных соглашения об именах классов равномерного набора. Одна, известная как число Форте , происходит от Аллена Форте, чья «Структура атональной музыки» (1973) - одна из первых работ по теории музыкальных множеств. Компания Forte предоставила каждому классу набора номер вида c - d , где c указывает мощность набора, а d - порядковый номер. [18] Таким образом, хроматический трикорд {0, 1, 2} принадлежит к классу набора 3-1, что указывает на то, что это первый класс набора из трех нот в списке Forte. [19] Увеличенный трихорд {0, 4, 8} получает метку 3-12, которая оказывается последним трихордом в списке Forte.

Основные критические замечания по номенклатуре Forte: (1) метки Forte произвольны и трудны для запоминания, и на практике часто проще просто перечислить элемент установленного класса; (2) Система Forte предполагает одинаковый темперамент и не может быть легко расширена за счет включения диатонических наборов, наборов высоты тона (в отличие от наборов класса высоты звука), мультимножеств или наборов в других системах настройки; (3) Исходная система Форте считает, что инверсионно связанные множества принадлежат к одному и тому же классу множеств. Это означает, что, например, мажорное трезвучие и минорное трезвучие считаются одним и тем же набором.

Западная тональная музыка на протяжении веков считала мажор и минор, а также инверсии аккордов существенно разными. Они действительно создают совершенно разные физические объекты. Игнорирование физической реальности звука - очевидное ограничение атональной теории. Тем не менее, было высказано мнение, что теория не была создана для заполнения вакуума, в котором существующие теории неадекватно объясняли тональную музыку. Скорее, теория Форте используется для объяснения атональной музыки, когда композитор изобрел систему, в которой проводится различие между {0, 4, 7} (называемым «мажорным» в тональной теории) и его инверсией {0, 8, 5} (называемой 'минор' в тональной теории) может не иметь значения.

Вторая система обозначений устанавливает метки в терминах их нормальной формы , которая зависит от концепции нормального порядка . Чтобы расположить набор в обычном порядке, закажите его по возрастающей шкале в пространстве класса высоты тона, которое охватывает меньше октавы. Затем переставляйте его циклически, пока его первая и последняя ноты не будут как можно ближе друг к другу. В случае завязки минимизируйте расстояние между первой и предпоследней нотой. (В случае совпадения здесь минимизируйте расстояние между первой и предпоследней заметкой и т. Д.) Таким образом, {0, 7, 4} в нормальном порядке это {0, 4, 7}, а {0, 2, 10} в обычном порядке - это {10, 0, 2}. Чтобы привести набор в нормальную форму, сначала разместите его в обычном порядке, а затем транспонируйте его так, чтобы его первый класс высоты звука был 0. [20]Математики и компьютерные ученые чаще всего упорядочивают комбинации, используя алфавитный порядок, двоичный (по основанию два) порядок или кодирование Грея , каждое из которых приводит к различным, но логическим нормальным формам. [ необходима цитата ]

Поскольку транспозиционно связанные множества имеют одну и ту же нормальную форму, нормальные формы могут использоваться для обозначения классов множеств T n .

Чтобы определить класс набора T n / I n :

  • Определите класс набора T n .
  • Инвертируйте набор и найдите класс набора T n инверсии .
  • Сравните эти две нормальные формы, чтобы увидеть, какая из них наиболее «упакована слева».

Результирующий набор помечает класс набора T n / I n начального набора .

Симметрия [ править ]

Количество различных операций в системе, отображающих набор в себя, является степенью симметрии набора . [21] Степень симметрии «определяет количество операций, которые сохраняют неупорядоченные компьютерные наборы раздела; она сообщает степень, в которой наборы классов высоты тона этого раздела отображаются друг в друга (или на них) при транспонировании или инверсии». [22] Каждый набор имеет по крайней мере одну симметрию, поскольку он отображается на себя при выполнении операции тождества T 0 . [23] Транспозиционно симметричные множества отображаются сами на себя для T n, где n не равно 0 (mod 12). Инверсионно-симметричные множества отображаются на себя при T n I. Для любого данного T n/ T n I типа все множества имеют одинаковую степень симметрии. Количество различных наборов в типе равно 24 (общее количество операций, транспонирования и инверсии для n = от 0 до 11), разделенное на степень симметрии типа T n / T n I.

Транспозиционно симметричные наборы либо равномерно делят октаву, либо могут быть записаны как объединение наборов одинакового размера, которые сами делят октаву равномерно. Инверсионно-симметричные хорды инвариантны относительно отражений в пространстве высотных классов. Это означает, что аккорды можно упорядочивать циклически, так что последовательность интервалов между последовательными нотами одинакова при чтении вперед или назад. Например, при циклическом упорядочивании (0, 1, 2, 7) интервал между первой и второй нотами равен 1, интервал между второй и третьей нотами равен 1, интервал между третьей и четвертой нотами равен 5, а интервал между четвертой и первой нотой равен 5. [24]

Та же самая последовательность получается, если начать с третьего элемента ряда и двигаться назад: интервал между третьим элементом ряда и вторым равен 1; интервал между вторым элементом ряда и первым равен 1; интервал между первым элементом ряда и четвертым - 5; и интервал между последним элементом ряда и третьим элементом равен 5. Таким образом, между T 0 и T 2 I обнаруживается симметрия , и в классе эквивалентности T n / T n I имеется 12 наборов . [24]

См. Также [ править ]

  • Идентичность (музыка)
  • Интервал высоты тона
  • Тоннец
  • Трансформационная теория

Ссылки [ править ]

  1. ^ Schuijer 2008 , 99.
  2. ^ Хэнсон 1960 .
  3. ↑ Forte 1973 .
  4. Перейти ↑ Rahn 1980 , 27.
  5. ^ а б Форте 1973 , 3.
  6. ↑ Ран 1980 , 28.
  7. Перейти ↑ Rahn 1980 , 21, 134.
  8. Перейти ↑ Forte 1973 , 60–61.
  9. Перейти ↑ Warburton 1988 , 148.
  10. Перейти ↑ Cohn 1992 , 149.
  11. ↑ Ран 1980 , 140.
  12. Перейти ↑ Forte 1973 , 73–74.
  13. Перейти ↑ Forte 1973 , 21.
  14. Перейти ↑ Hanson 1960 , 22.
  15. ^ Коэн 2004 , 33.
  16. ^ Schuijer 2008 , 29-30.
  17. ^ Schuijer 2008 , 85.
  18. Перейти ↑ Forte 1973 , 12.
  19. ^ Forte 1973 , 179-181.
  20. ^ Рана 1980 , 33-38.
  21. ↑ Ран 1980 , 90.
  22. ^ Alegant 2001 , 5.
  23. ↑ Ран 1980 , 91.
  24. ^ а б Ран 1980 , 148.

Источники

  • Элегантный, Брайан. 2001. «Перекрестные перегородки как гармония и голосовое лидерство в двенадцатитоновой музыке». Теория музыки Спектр 23, вып. 1 (Весна): 1–40.
  • Коэн, Аллен Лоуренс. 2004. Говард Хэнсон в теории и практике . Вклады в изучение музыки и танцев 66. Вестпорт, Коннектикут и Лондон: Praeger. ISBN  0-313-32135-3 .
  • Кон, Ричард. 1992. "Транспозиционная комбинация наборов бит-класса в музыке Стива Райха с фазовым сдвигом". Перспективы новой музыки 30, вып. 2 (Лето): 146–177.
  • Форте, Аллен . 1973. Структура атональной музыки . Нью-Хейвен и Лондон: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-01610-7 (ткань) ISBN 0-300-02120-8 (PBK).  
  • Хэнсон, Ховард . 1960. Гармонические материалы современной музыки: ресурсы темперированной шкалы . Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts, Inc.
  • Ран, Джон. 1980. Основы атональной теории . Нью-Йорк: Schirmer Books; Лондон и Торонто: Prentice Hall International. ISBN 0-02-873160-3 . 
  • Schuijer, Michiel. 2008. Анализируя атональную музыку: теория множеств питч-класса и ее контексты . ISBN 978-1-58046-270-9 . 
  • Уорбертон, Дэн. 1988. "Рабочая терминология для минимальной музыки". Intégral 2: 135–159.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Картер, Эллиотт . 2002. Книга Гармонии , отредактированная Николасом Хопкинсом и Джоном Ф. Линком. Нью-Йорк: Карл Фишер. ISBN 0-8258-4594-7 . 
  • Левин, Дэвид . 1993. Музыкальная форма и трансформация: четыре аналитических эссе . Нью-Хейвен: издательство Йельского университета. ISBN 0-300-05686-9 . Перепечатано с предисловием Эдварда Голлина, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2007. ISBN 978-0-19-531712-1 .  
  • Левин, Дэвид. 1987. Обобщенные музыкальные интервалы и преобразования . Нью-Хейвен: издательство Йельского университета. ISBN 0-300-03493-8 . Перепечатано, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2007. ISBN 978-0-19-531713-8 .  
  • Моррис, Роберт . 1987. Композиция с питч-классами: теория композиционного дизайна . Нью-Хейвен: издательство Йельского университета. ISBN 0-300-03684-1 . 
  • Перл, Джордж . 1996. Двенадцатитоновая тональность , второе издание, переработанное и дополненное. Беркли: Калифорнийский университет Press. ISBN 0-520-20142-6 . (Первое издание 1977 г., ISBN 0-520-03387-6 )  
  • Старр, Дэниел. 1978. «Множества, инвариантность и разбиения». Журнал теории музыки 22, вып. 1 (Весна): 1–42.
  • Страус, Джозеф Н. 2005. Введение в посттональную теорию , третье издание. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-189890-6 . 

Внешние ссылки [ править ]

  • Такер, Гэри (2001) «Краткое введение в анализ набора высоты тона» , Музыкальный факультет Университета Маунт Эллисон .
  • Ник Коллинз «Уникальность пространств питч-класса, минимальные базы и Z-партнеры» , Sonic Arts .
  • «Теория поля двадцатого века: некоторые полезные термины и методы» , форма и анализ: виртуальный учебник .
  • Соломон, Ларри (2005). " Учебник по теории множеств для музыки" , SolomonMusic.net .
  • Келли, Роберт Т (2001). «Введение в постфункциональный музыкальный анализ: терминология постфункциональной теории» , RobertKelleyPhd.com .
  • Келли, Роберт Т (2002). «Введение в постфункциональный музыкальный анализ: теория множеств, матрица и метод двенадцати тонов» .
  • "SetClass View (SCv)" , Flexatone.net . AthenaCL netTool для онлайн-анализа классов питча и справки.
  • Томлин, Джей. "Все о теории множеств" . JayTomlin.com .
  • "Java Set Theory Machine" или калькулятор
  • Кайзер, Ульрих. «Калькулятор набора высоты звука » , musikanalyse.net . (на немецком)
  • "Теория множества и восприятие питч -класса" , Ohio-State.edu .
  • «Программные инструменты для композиторов» , ComposerTools.com . Калькулятор наборов Javascript для ПК, калькуляторы отношений двух наборов и учебник по теории.
  • " PC Set Калькулятор ", MtA.Ca .