Теорема Менелая , названная в честь Менелая Александрийского , является утверждением о треугольниках в плоской геометрии . Дан треугольник ABC и трансверсальная линия, пересекающая BC , AC и AB в точках D , E и F соответственно, причем D , E и F отличны от A , B и C , тогда
или просто
В этом уравнении используются длины сегментов со знаком, другими словами, длина AB считается положительной или отрицательной в зависимости от того, находится ли A слева или справа от B в некоторой фиксированной ориентации линии. Например, AF / FB определяется как имеющее положительное значение, когда F находится между A и B, и отрицательное в противном случае.
Некоторые авторы по-разному организуют факторы и получают, казалось бы, иное соотношение [2]
но поскольку каждый из этих факторов является обратным по отношению к соответствующему фактору, указанному выше, соотношение считается таким же.
Обратное также верно: Если точки D , E и F выбраны в до н.э. , AC и AB соответственно , так что
Затем D , Е и F являются коллинеарны . Обратное часто включается в теорему.
Теорема очень похожа на теорему Чевы в том, что их уравнения различаются только знаком.
Доказательство
Стандартное доказательство выглядит следующим образом: [3]
Во-первых, знак левой части будет отрицательным, так как либо все три отношения отрицательны, случай, когда линия DEF не попадает в треугольник (нижняя диаграмма), либо одно отрицательное, а два других положительные, случай где DEF пересекает две стороны треугольника. (См . Аксиому Паша .)
Чтобы проверить величину, постройте перпендикуляры от A , B и C к линии DEF и пусть их длины равны a, b и c соответственно. Тогда аналогичными треугольниками следует, что | AF / FB | = | а / б |, | BD / DC | = | b / c |, и | CE / EA | = | с / с |. Так
Для более простой, если менее симметричным образом проверить величину, [4] рисовать CK параллельно AB , где DEF соответствует CK в K . Тогда аналогичными треугольниками
и результат следует из исключения CK из этих уравнений.
Обратное следует как следствие. [5] Пусть D , E и F заданы на прямых BC , AC и AB, так что уравнение выполняется. Пусть F ′ - точка, в которой DE пересекает AB . Тогда по теореме уравнение верно и для D , E и F ′. Сравнивая два,
Но не более одной точки может разрезать сегмент с заданным соотношением, поэтому F = F ′.
Доказательство с использованием гомотезий
В следующем доказательстве [6] используются только понятия аффинной геометрии , в частности гомотезии . Независимо от того или нет D , Е и F лежат на одной прямой, существует три homothecies с центрами Д , Е , Ж , которые соответственно отправить B в C , C к A , и к B . Тогда композиция из трех является элементом группы гомотезии-трансляций, фиксирующей B , так что это гомотетия с центром B , возможно, с отношением 1 (в этом случае это тождество). Эта композиция фиксирует прямую DE тогда и только тогда, когда F коллинеарна D и E (так как первые две гомотезии обязательно фиксируют DE , а третья делает это, только если F лежит на DE ). Следовательно, D , E и F коллинеарны тогда и только тогда, когда этот состав является тождественным, что означает, что величина произведения трех соотношений равна 1:
что эквивалентно данному уравнению.
История
Неясно, кто на самом деле открыл теорему; однако самая старая из сохранившихся экспозиций появляется в « Сфериках » Менелая. В этой книге плоская версия теоремы используется в качестве леммы для доказательства сферической версии теоремы. [7]
В Альмагест , Птолемей применяет теорему о ряде задач сферической астрономии. [8] Во время Золотого века ислама мусульманские ученые посвятили ряд работ, посвященных изучению теоремы Менелая, которую они назвали «предложением о секущих» ( шакл аль-катта ). Полный четырехугольник был назван «фигурой секущих» в их терминологии. [8] В работе Аль-Бируни « Ключи астрономии» перечислены некоторые из этих работ, которые могут быть отнесены к исследованиям как часть комментариев к Альмагесту Птолемея, а также к работам ан-Найризи и аль-Хазина, где каждая продемонстрировала частные случаи теоремы Менелая, которые привели к правилу синуса , [9] или работы, составленные в виде независимых трактатов, таких как:
- «Трактат о фигуре секущих» ( Risala fi shakl al-qatta ' ) Табита ибн Курры . [8]
- Хусам ад-Дин ас-Салар « Снятие покрова с тайн фигуры секущих» (Кашф аль-кина ан асрар аль-шакл аль-катта), также известная как «Книга о фигуре секантов» ( Китаб аль-шакл аль-катта ) или в Европе как «Трактат о полном четырехугольнике» . На утраченный трактат ссылались Ат-Туси и Насир ад-Дин ат-Туси . [8]
- Работа ас-Сиджи . [9]
- Тахзиб от Абу Наср ибн Ирак . [9]
- Рошди Рашед и Афанас Пападопулос, «Сферики Менелая: ранний перевод» и версия аль-Махани / аль-Харави (Критическое издание сферических структур Менелая из арабских рукописей, с историческими и математическими комментариями), Де Грюйтер, Серия: Scientia Graeco-Arabica , 21, 2017, 890 с. ISBN 978-3-11-057142-4
Рекомендации
- ^ Рассел, стр. 6 .
- ^ Джонсон, Роджер А. (2007) [1927], Advanced Euclidean Geometry , Dover, p. 147, ISBN 978-0-486-46237-0
- ^ Следует за Расселом
- ^ Следует Хопкинс, Джордж Ирвинг (1902). «Статья 983». Индуктивная плоская геометрия . DC Heath & Co.
- ^ Следует за Расселом с некоторым упрощением.
- ^ См. Michèle Audin, Géométrie, éditions BELIN, Париж, 1998: показания к упражнению 1.37, стр. 273
- ^ Смит, Д.Е. (1958). История математики . II . Courier Dover Publications. п. 607. ISBN 0-486-20430-8.
- ^ а б в г Рашед, Рошди (1996). Энциклопедия истории арабской науки . 2 . Лондон: Рутледж. п. 483. ISBN. 0-415-02063-8.
- ^ а б в Мусса, Али (2011). «Математические методы в Альмагесте Абу аль-Вафаха и определения Киблы». Арабские науки и философия . Издательство Кембриджского университета . 21 (1). DOI : 10.1017 / S095742391000007X .
- Рассел, Джон Уэлсли (1905). "Ch. 1 § 6" Менелая Теорема " ". Чистая геометрия . Кларендон Пресс.
Внешние ссылки
- Альтернативное доказательство теоремы Менелая от PlanetMath
- Менелай из Севы
- Сева и Менелай встречаются на дорогах
- Менелай и Сева в MathPages
- Демонстрация теоремы Менелая Джея Варендорфа. Демонстрационный проект Вольфрама .
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Менелая» . MathWorld .