Милнор К-теория

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Октябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , Милнор K-теория ^[1] является алгебраическим инвариант (обозначается для поля ) , определяемый Джон Милнором  ( 1970 ) как попытка изучить более высокую алгебраическую K-теорию в частном случае поле . Он надеялся , что это поможет осветить структуру алгебраической K-теорию и дать некоторое представление о его отношениях с другими частями математики, такие , как когомология Галуа и Гротендик-Виттой кольцо из квадратичных форм . До того, как была определена K-теория Милнора, существовали специальные определения для и${\ displaystyle K _ {*} (F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle K_ {1}}$${\ displaystyle K_ {2}}$. К счастью, можно показать, что K-теория Милнора является частью алгебраической K-теории, которую в общем случае проще всего вычислить. ^[2]

Определение [ править ]

Мотивация [ править ]

После определения группы Гротендика коммутативного кольца ожидалось, что должен существовать бесконечный набор инвариантов, называемых группами высшей K-теории , поскольку существует короткая точная последовательность${\ Displaystyle K (R)}$${\ displaystyle K_ {i} (R)}$

${\ Displaystyle К (р, я) \ к К (р) \ к К (р / я) \ к 0}$

который должен иметь продолжение длинной точной последовательностью. Обратите внимание, что группа слева является относительной K-теорией. Это привело к большому количеству исследований, и в качестве первого предположения о том, как будет выглядеть эта теория, Милнор дал определение полей. Его определение основано на двух расчетах того, как «должна» выглядеть высшая K-теория в градусах и . Тогда, если в более позднем обобщении алгебраической K-теории было дано, если бы образующие жили в степени и отношения в степени , то конструкции в степенях и дали бы структуру для остальной части кольца K-теории. Исходя из этого предположения, Милнор дал свое «специальное» определение. Оказывается алгебраическая K-теория${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle K _ {*} (R)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle K _ {*} (R)}$в общем случае имеет более сложную структуру, но для полей группы K-теории Милнора содержатся в общих алгебраических группах K-теории после тензорирования с , т . е . ^[3] Оказывается, естественное отображение не может быть инъективным для глобального поля ^{[3] стр. 96} .${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle K_ {п} ^ {M} (F) \ otimes \ mathbb {Q} \ substeq K_ {n} (F) \ otimes \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ lambda: K_ {4} ^ {M} (F) \ to K_ {4} (F)}$${\ displaystyle F}$

Определение [ править ]

Обратите внимание, что для полей группа Гротендика может быть легко вычислена, поскольку единственными конечно порожденными модулями являются конечномерные векторные пространства. Кроме того, определение Милнора высших K-групп зависит от канонического изоморфизма${\ Displaystyle К_ {0} (F) = \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle l \ двоеточие K_ {1} (F) \ to F ^ {*}}$

(группа единиц ) и наблюдение расчета K ₂ поля по Хайдею Мацумото , который дал простое представление${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle K_ {2} (F) = {\ frac {F ^ {*} \ otimes F ^ {*}} {\ {l (a) \ otimes l (1-a): a \ neq 0,1 \}}}}$

для двустороннего идеала, порожденного элементами , называемого отношениями Стейнберга . Милнор принял гипотезу, что это были единственные отношения, поэтому он дал следующее «специальное» определение K-теории Милнора как${\ Displaystyle l (а) \ otimes l (а-1)}$

${\ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) = {\ frac {K_ {1} (F) \ otimes \ cdots \ otimes K_ {1} (F)} {\ {l (a_ {1}) \ otimes \ cdots \ otimes l (a_ {n}): a_ {i} + a_ {i + 1} = 1 \}}}.}$

Прямая сумма этих групп изоморфна тензорной алгебре над целыми числами мультипликативной группы, выделенной двусторонним идеалом, порожденным:${\ Displaystyle K_ {1} (F) \ cong F ^ {*}}$

${\displaystyle \left\{l(a)\otimes l(1-a):0,1\neq a\in F\right\}}$

так

${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

показ его определения является прямым расширением соотношений Стейнберга.

Свойства [ править ]

Структура кольца [ править ]

Градуированный модуль представляет собой градуированно-коммутативное кольцо ^{[1] стр. 1-3} . ^[4] Если мы напишем${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$

${\displaystyle (l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))}$

в виде

${\displaystyle l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})}$

тогда для и у нас есть${\displaystyle \xi \in K_{i}^{M}(F)}$${\displaystyle \eta \in K_{j}^{M}(F)}$

${\displaystyle \xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .}$

Из доказательства этого свойства выпадают некоторые дополнительные свойства, например

${\displaystyle l(a)^{2}=l(a)l(-1)}$

за так . Также, если из ненулевых полей элементы равны , то${\displaystyle l(a)\in K_{1}(F)}$${\displaystyle l(a)l(-a)=0}$${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}}$${\displaystyle 0,1}$

${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0}$

Существует прямое арифметическое приложение: является суммой квадратов тогда и только тогда, когда каждое положительное измерение нильпотентно, что является мощным утверждением о структуре K-групп Милнора. В частности, для полей , с , все его Милнором K-групп нильпотентны. В обратном случае поле может быть вложено в реальное замкнутое поле, что дает полное упорядочение поля.${\displaystyle -1\in F}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(i)}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle F}$

Связь с высшими группами Чоу и высшей K-теорией Квиллена [ править ]

Одним из основных свойств, связывающих K-теорию Милнора с высшей алгебраической K-теорией, является тот факт, что существуют естественные изоморфизмы

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$

к высшим группам чау Блоха, который индуцирует морфизм градуированных колец

${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$

В этом можно убедиться, используя явный морфизм ^{[2], стр. 181}

${\displaystyle \phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)}$

где

${\displaystyle \phi (a)\phi (1-a)=0}$в для${\displaystyle {\text{CH}}^{2}(F,2)}$${\displaystyle a,1-a\in F^{*}}$

Эта карта предоставлена

${\displaystyle {\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}}$

для класса точки с . Главное свойство для проверки является то , что для и . Обратите внимание, что это отличается от того, что это элемент в . Также второе свойство подразумевает первое для . Эта проверка может быть сделано с помощью рациональной кривой , определяющей цикл в образ которого при граничном карте есть сумма для , показывая , что они отличаются друг от границы. Точно так же, если карта границ отправляет этот цикл , показывая, что они отличаются границей. Второе главное свойство, которое нужно показать, - это соотношения Стейнберга. С учетом этого и того факта, что высшие группы Чжоу имеют кольцевую структуру${\displaystyle [a]}$${\displaystyle [a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}}$${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$${\displaystyle [a]+[1/a]=0}$${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$${\displaystyle [a]+[b]=[ab]}$${\displaystyle [a]\cdot [b]}$${\displaystyle {\text{CH}}^{2}(F,2)}$${\displaystyle b=1/a}$${\displaystyle C^{1}(F,2)}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle [a]+[b]-[ab]}$${\displaystyle ab\neq 1}$${\displaystyle ab=1}$${\displaystyle [a]-[1/a]}$

${\displaystyle {\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)}$

мы получаем явную карту

${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$

Отображение карты в обратном направлении - это изоморфизм, это больше работы, но мы получаем изоморфизмы

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$

Затем мы можем связать высшие группы Чжоу с высшей алгебраической K-теорией, используя тот факт, что существуют изоморфизмы

${\displaystyle K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q} }$

давая связь с высшей алгебраической K-теорией Квиллена. Обратите внимание, что карты

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}$

от K-групп Милнора поля к K-группам Дэниела Квиллена , что , в общем , является изоморфизмом для больших n , но не для больших n . Для ненулевых элементов в F , то символ в означаешь изображение в тензорной алгебре. Каждый элемент K-теории Милнора можно записать в виде конечной суммы символов. Тот факт, что in for иногда называют соотношением Стейнберга .${\displaystyle n\leq 2}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$${\displaystyle \{a,1-a\}=0}$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$${\displaystyle a\in F\setminus \{0,1\}}$

Представление в мотивационных когомологиях [ править ]

В мотивных когомологиях , в частности в теории мотивных гомотопий , существует пучок, представляющий обобщение K-теории Милнора с коэффициентами в абелевой группе . Если мы обозначим, то определим пучок как пучок следующего предпучка ^{[5] pg 4}${\displaystyle K_{n,A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A}$${\displaystyle K_{n,A}}$

${\displaystyle K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)}$

Заметим, что секции этого предпучка являются эквивалентными классами циклов на с коэффициентами, в которых одинаково размерны и конечны над (что следует прямо из определения ). Можно показать, что существует слабая эквивалентность мотивационным пучкам Эйленберга-Маклейна (в зависимости от соглашения о градации).${\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle K(A,2n,n)}$

Примеры [ править ]

Конечные поля [ править ]

Для конечного поля , является циклической группой порядка (так как оно изоморфно ), поэтому градуированной коммутативности дает${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K_{1}^{M}(F)}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$

${\displaystyle l(a)\cdot l(b)=-l(b)\cdot l(a)}$

следовательно

${\displaystyle l(a)^{2}=-l(a)^{2}}$

Поскольку это конечная группа, это означает, что в ней должен быть порядок . Глядя дальше, всегда можно выразить как сумму квадратичных невычетов, то есть таких элементов , которые не равны , следовательно, показаны . Поскольку отношения Стейнберга порождают все отношения в кольце K-теории Милнора, мы имеем для .${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$${\displaystyle \leq 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a,b\in F}$${\displaystyle [a],[b]\in F/F^{\times 2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle a+b=1}$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)=0}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=0}$${\displaystyle n>2}$

Реальные числа [ править ]

Для поля действительных чисел группы K-теории Милнора легко вычисляются. В степени группа порождается${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots ,a_{n}>0\}}$

где дает группу порядка, а подгруппа, порожденная группой, делима. Подгруппа, созданная с помощью , не делится, потому что в противном случае ее можно было бы выразить как сумму квадратов. Кольцо K-теории Милнора важно при изучении теории мотивационной гомотопии, поскольку оно дает образующие для части мотивной алгебры Стинрода . ^[6] Остальные - это подъемы от классических операций Стинрода к мотивационным когомологиям.${\displaystyle (-1)^{n}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})}$${\displaystyle (-1)^{n}}$

Другие расчеты [ править ]

${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}$это несчетная однозначно делимая группа. ^[7] Кроме того , есть прямая сумма из циклической группы из порядка 2 и бесчисленной однозначно делимой группы; - прямая сумма мультипликативной группы и несчетной однозначно делимой группы; является прямой суммой циклической группы порядка 2 и циклических групп порядка для всех нечетных простых чисел . Для , . Полное доказательство находится в приложении к оригинальной статье Милнора. ^[1] Некоторые вычисления можно увидеть, посмотрев на карту, вызванную включением глобального поля в его завершение.${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle p-1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{v}}$, значит есть морфизм

${\displaystyle K_{2}^{M}(F)\to \bigoplus _{v}K_{2}^{M}(F_{v})/({\text{max. divis. subgr.}})}$

ядро которого конечно порождено. Кроме того, коядро изоморфно корням из единицы в .${\displaystyle F}$

Кроме того, для общего локального поля (например, конечного расширения ) K-группы Милнора делимы.${\displaystyle F}$${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$

K _* ^M (F (t)) [ править ]

Существует общая структурная теорема вычислений для поля, связанная с K-теорией Милнора и расширениями для ненулевых идеалов простых чисел . Это дается точной последовательностью${\displaystyle K_{n}^{M}(F(t))}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F[t]/(\pi )}$${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$

${\displaystyle 0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi )\to 0}$

где - морфизм, построенный из редукции к для дискретной оценки . Это следует из теоремы, существует только один гомоморфизм${\displaystyle \partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F[t]/(\pi )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\overline {F}}_{v}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \partial :K_{n}^{M}(F)\to K_{n-1}^{M}({\overline {F}})}$

которые для группы единиц, являющихся элементами, имеют оценку , имеющую естественный морфизм${\displaystyle U\subset F}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle U\to {\overline {F}}_{v}^{*}}$ где ${\displaystyle u\mapsto {\overline {u}}}$

у нас есть

${\displaystyle \partial (l(\pi )l(u_{2})\cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})}$

где основной элемент, значение и${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\text{Ord}}_{v}(\pi )=1}$

${\displaystyle \partial (l(u_{1})\cdots l(u_{n}))=0}$

Поскольку каждый ненулевой простой идеал дает оценку , мы получаем отображение на K-группах Милнора.${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$${\displaystyle v_{\pi }:F(t)\to F[t]/(\pi )}$${\displaystyle \partial _{\pi }}$

Приложения [ править ]

K-теория Милнора играет фундаментальную роль в теории полей высших классов , заменяя ее в одномерной теории поля классов .${\displaystyle K_{1}^{M}(F)=F^{\times }}$

K-теория Милнора вписывается в более широкий контекст мотивационных когомологий через изоморфизм

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\cong H^{n}(F,\mathbb {Z} (n))}$

K-теории Милнора поля с некоторой группой мотивных когомологий. ^[8] В этом смысле кажущееся специальным определение K-теории Милнора становится теоремой: определенные группы мотивационных когомологий поля могут быть явно вычислены с помощью генераторов и соотношений.

Гораздо более глубокий результат, гипотеза Блоха-Като (также называемая теоремой об изоморфизме норменного вычета), связывает K-теорию Милнора с когомологиями Галуа или этальными когомологиями :

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/r\cong H_{\mathrm {et} }^{n}(F,\mathbb {Z} /r(n)),}$

для любого натурального числа г обратит в поле F . Это предположение было доказано Владимиром Воеводским при участии Маркуса Роста и других. ^[9] Сюда входят теоремы Александра Меркурьева и Андрея Суслина, а также гипотеза Милнора как частные случаи (случаи, когда и , соответственно).${\displaystyle n=2}$${\displaystyle r=2}$

Наконец, существует связь между K-теорией Милнора и квадратичными формами . Для поля F на характеристике не 2, определить фундаментальный идеал I в кольце Витта квадратичных форм над F , чтобы ядро гомоморфизма заданной размерности квадратичной формы, по модулю 2. Милнором определен гомоморфизм:${\displaystyle W(F)\to \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle {\begin{cases}K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}\\\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle \end{cases}}}$

где обозначает класс n- кратной формы Пфистера . ^[10]${\displaystyle \langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$

Дмитрий Орлов, Александр Вишик и Воеводский доказали другое утверждение, называемое гипотезой Милнора, а именно, что этот гомоморфизм является изоморфизмом. ^[11]${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}}$

См. Также [ править ]

• Адзумая алгебра
• Теория мотивационной гомотопии

Ссылки [ править ]

• Элман, Ричард ; Карпенко, Никита; Меркурьев, Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4329-1, Руководство по ремонту  2427530
• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования в области высшей математики. 101 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-86103-9. Руководство по ремонту  2266528 . Zbl  1137.12001 .
• Мацца, Карло; Воеводский, Владимир ; Weibel, Charles (2006), Lectures in Motivic Cohomology , Clay Mathematical Monographs, 2 , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3847-1, Руководство по ремонту  2242284
• Милнор, Джон Уиллард (1970), с приложением Джона Тейта , «Алгебраическая K- теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat ... 9..318M , doi : 10.1007 / BF01425486 , ISSN  0020-9910 , MR  0260844 , S2CID  13549621 , Zbl  0199.55501
• Орлов Дмитрий; Вишик, Александр; Владимир Воеводский (2007), "Точная последовательность для с приложениями к квадратичным формам", Annals of Mathematics , 165 : 1–13, arXiv : math / 0101023 , doi : 10.4007 / annals.2007.165.1 , MR 2276765 , S2CID 9504456${\displaystyle K_{*}^{M}/2}$  
• Воеводский, Владимир (2011), "О мотивационных когомологиях с коэффициентами" Z / ℓ {\displaystyle \mathbb {Z} /\ell } , Анналы математики , 174 (1): 401–438, arXiv : 0805.4430 , doi : 10.4007 / annals.2011.174.1.11 , MR  2811603 , S2CID  15583705

Внешние ссылки [ править ]

• Некоторые аспекты функтора полей K 2 {\displaystyle K_{2}}
• О вычислении Тейтом K 2 ( Q ) {\displaystyle K_{2}(\mathbb {Q} )}