Разложение в бесконечный ряд тригонометрических функций Мин Анту . Мин Antu суд математик династии Цин сделал большую работу на бесконечном расширении серии из тригонометрических функций в своем шедевре Geyuan Mīlu Jiefa (быстрый метод рассечения круга и точного определения Ratio Круга) . Мин Анту построил геометрические модели, основанные на большой дуге окружности и n-м разрезе большой дуги. На рис. 1 AE - это главная хорда дуги ABCDE , а AB , BC , CD , DE - ее n-е равные отрезки. Если аккордAE = y , хорда AB = BC = CD = DE = x , задача заключалась в том, чтобы найти хорду y как разложение хорды x в бесконечный ряд . Он подробно изучил случаи n = 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 и 10000 в томах 3 и 4 Geyuan Milü Jiefa .
Рис. 3: Мин Анту независимо открыл каталонские числа.
Историческое прошлоеВ 1701 году в Китай прибыл французский миссионер-иезуит Пьер Жарту (1669-1720), который принес с собой три бесконечных ряда разложения тригонометрических функций Исаака Ньютона и Дж. Грегори: [1]
Эти бесконечные ряды вызвали большой интерес у китайских математиков, поскольку вычисление π с помощью этих «быстрых методов» включало только умножение, сложение или вычитание, что намного быстрее, чем классический π-алгоритм Лю Хуэя, который включает извлечение квадратных корней. Однако Жарту не привел с собой метод вывода этих бесконечных рядов. Мин Анту подозревал, что европейцы не хотят делиться своими секретами, и поэтому он был настроен над этим работать. Он работал с перерывами в течение тридцати лет и завершил рукопись под названием Geyuan Milü Jiefa . Он создал геометрические модели для получения тригонометрических бесконечных рядов и не только нашел метод для вывода трех вышеуказанных бесконечных рядов, но также открыл еще шесть бесконечных рядов. В процессе он открыл и применил каталонские числа .
Двухсегментный аккордРис.2: Геометрическая модель двухсегментной хорды Мин Анту
На рис. 2 представлена модель двухсегментного хорды Мин Анту. Дуга BCD - это часть окружности с единичным ( r = 1 ) радиусом. AD - главная хорда, дуга BCD делится пополам в точке C , нарисуйте прямые BC, CD, пусть BC = CD = x и пусть радиус AC = 1.
По всей видимости, [2]
Пусть EJ = EF, FK = FJ; продолжим BE прямо на L, и пусть EL = BE; сделайте BF = BE, поэтому F встроен в AE. Расширенный BF до M, пусть BF = MF; соедините LM, LM, по-видимому, проходит через точку C. Перевернутый треугольник BLM вдоль оси BM в треугольник BMN, такой что C совпадает с G, и точка L совпадает с точкой N. Инвертировать треугольник NGB вдоль оси BN в треугольник; очевидно, BI = BC.
BM делит CG пополам и пусть BM = BC; присоединиться к GM, CM; нарисуйте CO = CM для перехвата BM в точке O; сделать МП = МО; сделать NQ = NR, R - пересечение BN и AC. ∠EBC = 1/2 ∠CAE = 1/2 ∠EAB;∠EBM = ∠EAB; таким образом, мы получаем серию подобных треугольников: ABE, BEF, FJK, BLM, CMO, MOP, CGH и треугольник CMO = треугольник EFJ; [3]
- а именно
Так ,
а также
Поскольку воздушные змеи ABEC и BLIN похожи. [3]
- а также
- Позволять
Таким образом или же
- Способствовать: .
тогда
- Возведите вышеуказанное уравнение в квадрат с обеих сторон и разделите на 16: [4]
И так далее
- . [5]
Сложите следующие два уравнения, чтобы исключить Предметы:
- (после устранения пункт).
......................................
Коэффициенты расширения числителей: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132 ... (см. Нижнюю строку исходного рисунка Мин Анту на Рисунке II, читаемом справа налево) - каталонские числа ; Мин Анту открыл каталонское число. [6] [7]
Таким образом:
- [8] [9]
в котором это каталонский номер . Мин Анту был пионером в использовании рекурсионных соотношений в китайской математике [10]
заменен на
Наконец он получил [11]
На рисунке 1 угол BAE = α, угол BAC = 2α × x = BC = sinα × q = BL = 2BE = 4sin (α / 2) × BD = 2sin (2α) Получен Мин Анту.
- Это
- Т.е.
Трехсегментный аккордРис. 3. Геометрическая модель Мин Анту для трехсегментной хорды.
Как показано на рис. 3, BE - это целая хорда дуги, BC = CE = DE = an - три дуги равных частей. Радиусы AB = AC = AD = AE = 1. Проведите прямые BC, CD, DE, BD, EC; пусть BG = EH = BC, Bδ = Eα = BD, тогда треугольник Cαβ = Dδγ; а треугольник Cαβ подобен треугольнику BδD.
Как таковой:
- ,
В конце концов он получил
[12] [13]
Четырехсегментный аккордMing Antu 4-х сегментная модель аккорда
Позволять обозначает длину основной хорды, и пусть длина четырех равных отрезков хорды = x,
+ ......
. [14]
- Значение тригонометрии:
. [14]
Пятисегментный аккордMing Antu 5-сегментная модель аккорда
- это
- [15]。
Десятисегментный аккордСхема аккордов Ming Antu из 10 сегментов
С этого момента Мин Анту перестал строить геометрическую модель, он выполнил свои вычисления чисто алгебраическим манипулированием бесконечными рядами.
Очевидно, десять сегментов можно рассматривать как составные 5 сегментов, каждый из которых, в свою очередь, состоит из двух подсегментов.
,
Он вычислил третью и пятую степень бесконечного ряда. в приведенном выше уравнении и получили:
+ ...... [16] [17]
Стот сегментный аккордСхема аккордов сегмента Ming Antu 100
Факсимиле расчета 100-сегментного аккорда Мин Анту
Хорда дуги из ста сегментов может рассматриваться как составная часть из 10 сегментов и 10 подсегментов, таким образом в , после манипуляций с бесконечными сериями он получил:
[17] [18]
Тысяч сегментный аккорд
...... [17] [19]
Аккорд из десяти тысяч сегментов............ [12]
Когда количество сегментов приближается к бесконечностиПолучив бесконечную серию для n = 2, 3, 5, 10, 100, 1000 и 10000 сегментов, Мин Анту перешел к рассмотрению случая, когда n стремится к бесконечности.
y100, y1000 и y10000 можно переписать как:
..........
..............
..................
Он отметил, что, когда n приближается к бесконечности, знаменатели 24,000000240000002400, 24,000002400000218400 × 80 приближаются к 24 и 24 × 80 соответственно, а когда n -> бесконечность, na (100a, 1000a, 1000a) становится длиной дуги; следовательно [20]
.....
Затем Мин Анту выполнил реверсию бесконечного ряда и выразил дугу в терминах ее хорды.
- [20]
............
Рекомендации- ^ Он Shaodong, «Ключевая проблема в исследовании бесконечных рядов», в династии Цин, Исследования по истории естественных наук об 6 No3 1989 С. 205-214
- ^ Ли Янь «Избранные статьи по истории китайской математики», книга III, «Ли Янь Цянь Баокун, сборник истории науки», том 7, 300
- ^ а б Дж. Луо с96
- ^ Ло Jianjin p100
- ^ Ло P106
- ^ Дж. Ло, "Мин Анту и его расширение в степенной ряд" Mathematical Journal 34, том 1, стр. 65-73
- ^ П. Ларкомб, Китайское открытие 18-го века каталонских чисел, Математический спектр, т. 32, нет. 1. С. 5-7, 1999/2000.
- ↑ Ло 113
- ↑ Ян Сюэ-минь Ло Цзянь-цзинь, Каталонские числа, Геометрическая модель J.of Zhengzhou Univ Vol 38 No2, Jun 2006, p22
- ↑ Ло 114
- ^ Ло P114
- ^ a b Ёсио Миками, стр. 147
- ^ Ло P148
- ^ а б Ло с. 153
- ^ Ло P156
- ^ Ло P164
- ^ a b c Ёсио Миками с. 147
- ^ Ли Янь p320
- ^ Ли Янь p320 页
- ^ a b Ёсио Миками, стр. 148
- Луо . Современный китайский перевод «Гэюань Милв Джифа» Мин Анту , переведенный и аннотированный Ло Цзяньцзинь, Inner Mongolia Education Press 1998 (明安 图 原著 罗 见 今 译注 割 率 捷 法》 内蒙古 教育 出 Version出Китайский перевод книги Мин Анту с подробной аннотацией с современными математическими символами). ISBN 7-5311-3584-1
- Йошио Миками Развитие математики в Китае и Японии, Лейпциг, 1912 г.