Отсутствующий доллар загадка известная загадка , которая включает в себя неформальную ошибочность . Он датируется по крайней мере 1930-ми годами, хотя подобные головоломки намного старше. [1]
Хотя формулировки и особенности могут отличаться, головоломка состоит в следующем:
Трое гостей заселяются в гостиничный номер. Менеджер говорит, что счет составляет 30 долларов, поэтому каждый гость платит 10 долларов. Позже менеджер понимает, что счет должен был составлять всего 25 долларов. Чтобы исправить это, он дает коридорному 5 долларов в виде пяти однодолларовых купюр, чтобы он вернул их гостям.
По пути в комнату гостей, чтобы вернуть деньги, коридорный понимает, что он не может поровну разделить пять однодолларовых купюр между тремя гостями. Поскольку гостям не известна общая сумма пересмотренного счета, коридорный решает просто вернуть каждому гостю 1 доллар и оставить 2 доллара в качестве чаевых для себя и продолжает это делать.
Поскольку каждый гость получил обратно 1 доллар, каждый гость заплатил только 9 долларов, в результате чего общая сумма выплат составила 27 долларов. Посыльный оставил 2 доллара, что, если добавить к 27 долларам, дает 29 долларов. Итак, если гости изначально передали 30 долларов, что случилось с оставшимся 1 долларом?
Кажется, есть несоответствие, поскольку не может быть двух ответов (29 и 30 долларов) на математическую задачу. С одной стороны, верно, что 25 долларов в кассе, 3 доллара, возвращенные гостям, и 2 доллара, хранящиеся у посыльного, составляют в сумме 30 долларов, но с другой стороны, 27 долларов, заплаченных гостями, и 2 доллара, оставленные хозяином. посыльный стоит всего 29 долларов.
Решение
Неправильное направление в этой загадке находится во второй половине описания, где несвязанные суммы складываются вместе, и человек, которому задается загадка, предполагает, что эти суммы должны в сумме равняться 30, и затем удивляется, когда они этого не делают. фактически не является причиной, по которой сумма (10 − 1) × 3 + 2 = 29 должна составлять 30.
Точная сумма, указанная в загадке, вычисляется как:
СУММА = 9 долларов США (оплата гостем 1) +
9 долларов США (оплата гостем 2) +
9 долларов США (оплата гостем 3) +
2 доллара США (деньги в кармане посыльного)
Хитрость здесь в том, чтобы понять, что это не сумма денег, которую три человека заплатили изначально, поскольку она должна включать деньги, которые есть у клерка (25 долларов). Вместо этого это меньшая сумма, которую люди могли бы заплатить (9 долларов на 3 человека = 27 долларов), с добавлением дополнительных денег, которые не понадобились бы клерку, если бы они заплатили эту меньшую сумму (27 долларов заплачено - 25 долларов фактических затрат = 2 доллара. ). Другими словами, 27 долларов уже включают чаевые коридорного. Прибавить 2 доллара к 27 - значит пересчитать дважды. Таким образом, стоимость комнаты для троих гостей, включая чаевые коридорного, составляет 27 долларов. У каждого из 3 гостей в кармане по 1 доллару на общую сумму 3 доллара. При добавлении к пересмотренной стоимости комнаты 27 долларов (включая чаевые посыльному) общая сумма составляет 30 долларов.
Чтобы получить сумму, равную первоначальным 30 долларам, необходимо учитывать каждый доллар, независимо от его местонахождения.
Таким образом, разумную сумму можно выразить так:
30 долларов = 1 доллар (внутренний гостевой карман) +
1 доллар (внутренний гостевой карман) +
1 доллар (внутренний гостевой карман) +
2 доллара (внутренний карман посыльного) +
25 долларов (кассовый аппарат отеля)
Эта сумма действительно составляет 30 долларов.
Чтобы дополнительно проиллюстрировать, почему сумма загадки не связана с реальной суммой, загадку можно изменить так, чтобы скидка на комнату была чрезвычайно большой. Рассмотрим загадку в такой форме:
Три человека заселяются в гостиничный номер. Клерк говорит, что счет составляет 30 долларов, поэтому каждый гость платит 10 долларов. Позже клерк понимает, что счет должен составлять всего 10 долларов. Чтобы исправить это, он дает посыльному 20 долларов, чтобы он вернулся к гостям. По пути в комнату коридорный понимает, что он не может разделить деньги поровну. Поскольку гостям не была известна общая сумма пересмотренного счета, коридорный решает просто дать каждому гостю по 6 долларов и оставить 2 доллара в качестве чаевых для себя. Каждому гостю вернули 6 долларов: теперь каждый гость заплатил только 4 доллара; доведя общую сумму до 12 долларов. У посыльного есть 2 доллара. И 12 долларов + 2 доллара = 14 долларов. Итак, если гости изначально передали 30 долларов, что случилось с оставшимися 16 долларами?
Теперь становится более очевидным, что вопрос совершенно необоснованный. Нельзя просто сложить пару платежей и ожидать, что они составят первоначальную сумму наличных денег в обращении.
Более экономично, деньги учитываются путем суммирования всех уплаченных сумм ( обязательств ) со всеми деньгами, находящимися в собственности ( активами ). Эта абстрактная формула верна независимо от относительных точек зрения участников этого обмена.
- Гости отеля заплатили 27 долларов, но в конце рассказа у них в карманах есть еще 3 доллара. Их активы составляют 3 доллара, а обязательства - 27 долларов (30 долларов = 27 + 3). Таким образом, учитывается первоначальная сумма.
- С точки зрения служащего отеля, отель имеет 25 долларов в активах и потерял 5 долларов по обязательствам (30 долларов = 25 + 5).
- С точки зрения посыльного, его активы составляют 2 доллара, а его обязательства - 3 доллара перед гостями и 25 долларов перед кассой на стойке регистрации (30 долларов = 2 + 3 + 25).
Чтобы проиллюстрировать проблему с помощью уравнений:
1) 10 + 10 + 10 = 30
2) 10 + 10 + 10 = 25 + 2 + 3
3) 10 + 10 + 10-3 = 25 + 2 + 3-3 (добавив -3 к обеим частям уравнения, чтобы сократить +3 в правой части)
4) 10-1 + 10-1 + 10-1 = 25 + 2
5) 9 + 9 + 9 = 25 + 2 (obs: чаевые коридорному уже выплачены)
6) 27 = 27
То, как загадка обманчива, содержится в строке 7:
7) 9 + 9 + 9 = 25 + 2
8) 9 + 9 + 9 + 2 = 25 (перевод +2 на другую сторону без переворачивания знака)
9) 27 + 2 = 25
10) 29 ≠ 25
Как это должно быть:
7) 9 + 9 + 9 = 25 + 2
8) 9 + 9 + 9 -2 = 25 + 2 -2 (добавление -2 к обеим сторонам уравнения, чтобы отменить +2 в правой части, что означает, что посыльный вернул чаевые или дал скидку в 2 доллара)
9) 9 + 9 + 9 - 2 = 25
10) 27 - 2 = 25
11) 25 = 25
Головоломка должна вычесть чаевые коридорного из 27 долларов, а не прибавлять их.
История
Есть много вариантов головоломки. В книге профессора Дэвида Сингмастера « Хронология развлекательной математики» [2] предполагается, что этот тип математических головоломок произошел от задачи из книги по арифметике 18-го века «Помощник учителя Фрэнсиса Уокингейма » [3], которая была опубликована и переиздана с 1751 по 1860 год, где он появился на странице 185, проблема. 116 в этой форме: «Если 48, взятые из 120, оставляет 72, а 72, взятые из 91, оставляет 19, а 7, взятые оттуда, оставляют 12, какое это число, из которого, когда вы взяли 48, 72, 19 и 7, листья 12? " Singmaster добавляет: «Хотя это не то же самое, что описанные ниже проблемы с выводом средств, смешение вычитаемых сумм и остатков заставляет меня думать, что такого рода проблемы могли быть основой более позднего типа».
Ошибочное направление 1880 года дается так: «Бартель видит две шкатулки у ювелира по цене 100 и 200. Он покупает более дешевую и приносит домой, где решает, что действительно предпочитает другую. Он возвращается к ювелиру и дает ему шкатулку. назад и говорит, что у ювелира уже есть 100 от него, что вместе с возвращенной шкатулкой составляет 200, что составляет стоимость другой шкатулки. Ювелир принимает это и дает Бартелю вторую шкатулку, и Бартель уходит. верный?"
Модель, более похожая по стилю на современную версию, была дана Сесилом Б. Ридом в его « Математических заблуждениях» 1933 года . Его головоломка приносит дополнительный доллар: человек кладет в банк 50 долларов. Затем в последующие дни он снимает 20 долларов, оставляя 30 долларов; затем 15 долларов, оставляя 15 долларов; затем 9 долларов, оставляя 6 долларов, и, наконец, 6 долларов, оставляя 0 долларов. Но 30 долларов + 15 долларов + 6 долларов = 51 доллар. Откуда появился лишний доллар?
Фактическое решение этой загадки - правильно добавить (точное время, правильный человек и правильное местоположение) с точки зрения банка, что в данном случае кажется проблемой:
- Первый день: 30 долларов в банке + 20 долларов уже снял владелец = 50 долларов
- Второй день: 15 долларов в банке + (15 долларов + 20 долларов уже снял владелец) = 50 долларов
- Третий день: 6 долларов в банке + (9 долларов + 15 долларов + 20 долларов уже снял владелец) = 50 долларов
С точки зрения владельца правильное решение:
- Первый день: 20 долларов уже снял владелец + 30 долларов в банке = 50 долларов
- Второй день: 20 $ владелец уже снял + 15 $ владелец уже снял + 15 $ в банке = 50 $
- Третий день: (20 долларов собственник уже снял + 15 долларов уже снял владелец + 9 долларов уже снял владелец) + 6 долларов в банке = 50 долларов
Решение кажется очень очевидным, если владелец снимает каждый день только 10 долларов из 50 долларов. Сложить 40 + 30 + 20 + 10, используя тот же шаблон, что и выше, было бы слишком очевидно неправильно (результат будет 100 долларов).
Ответ на вопрос: «Откуда появился лишний доллар?» можно найти путем последовательного добавления остатка банка за три разных дня. Этот способ верен только в том случае, если владелец денег снимает каждый день ровно половину денег. Тогда сумма складывается. (25 долларов США + 12,50 долларов США + 6,25 долларов США) + 6,25 доллара США = 50 долларов США.
Другая запись 1933 года, « Диверсии и игры Р. М. Абрахама» (все еще доступна в версии для Дувра), предлагает несколько иной подход к этой проблеме, чем на странице 16 (проблема 61). "Путешественник, возвращающийся в Нью-Йорк, обнаружил, что у него был почтовый перевод только на десять долларов, а стоимость проезда на поезде составляла семь долларов. Кассир отказался принять денежный перевод, поэтому путешественник перешел дорогу в ломбард. и заложил его за семь долларов. На обратном пути на станцию он встретил друга, который, чтобы избавить путешественника от необходимости возвращаться, чтобы выкупить денежный перевод, купил у него залоговый билет за семь долларов. билет и у него все еще оставалось семь долларов, когда он приехал в Нью-Йорк. Кто понес убытки? " Дэвид Дарлинг в его Всеобщая книге математики , [4] кредиты это как более ранней версии трех мужчин в версии гостиницы выше.
Еще более похожа английская «Черная книга » Эвелин Август 1939 года; Что случилось с шиллингом ?, стр. 82 и 213. Три девушки платят по пять шиллингов каждая за одну комнату. Хозяин возвращает 5 шиллингов через посыльного, который дает каждому по одному и оставляет два.
И еще один из той же темы появляется в рутине Эбботта и Костелло, в которой Эббот просит у Костелло ссуду в пятьдесят долларов. Костелло протягивает сорок долларов и говорит: «Это все, что у меня есть». Эбботт отвечает: «Хорошо, оставшиеся десять ты можешь мне задолжать».
Загадка используется психотерапевтом ( Крис Лэнгхэм ) со своим клиентом-математиком ( Пол Уайтхаус ) в 5-м эпизоде комедийного сериала BBC Help 2005 года . [5]
Разновидность, а также с участием шиллингов и трех мужчин в ресторане , кто переплачивает, появляется в третьем томе Дженнифер Уорт «s Вызовите акушерку книг, прощание с Ист - Энд (2009). Там ремонтник Фред вручает его акушеркам Дома Ноннатус .
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Беннет, Джей (19 мая 2017 г.). «Загадка недели №19: Пропавший доллар» . Популярная механика . Проверено 11 апреля 2004 года .
- ^ Singmaster, Дэвид (19 марта 2004 г.). «7.Z. ОТСУТСТВИЕ ДОЛЛАРА И ДРУГАЯ ОШИБКА УЧЕТА» . ИСТОЧНИКИ РЕКРЕАЦИОННОЙ МАТЕМАТИКИ АННОТИРОВАННАЯ БИБЛИОГРАФИЯ .
- ^ Уокингейм, Фрэнсис (1859 г.). Николсон, У. (ред.). Арифметика Walkingame . п. 170 .
- ^ Дарлинг, Дэвид Дж. (2004). Универсальная книга по математике: от Абракадабры до парадоксов Зенона . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 0-471-27047-4. OCLC 53434727 .
- ^ «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2015-11-17 . Проверено 14 ноября 2015 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )