Многомерный анализ ковариации

Многомерный ковариационный анализ ( MANCOVA ) - это расширение методов анализа ковариации ( ANCOVA ) для охвата случаев, когда существует более одной зависимой переменной и когда требуется контроль сопутствующих непрерывных независимых переменных - ковариат . Наиболее заметным преимуществом дизайна MANCOVA по сравнению с простым MANOVA является «факторинг» шума или ошибки, которые были внесены ковариантом. ^[1] Часто используемой многомерной версией F-статистики дисперсионного анализа является лямбда Уилкса.(Λ), который представляет собой соотношение между дисперсией ошибки (или ковариацией) и дисперсией эффекта (или ковариацией). ^[1]

Цели [ править ]

Как и все тесты в семействе ANOVA , основной целью MANCOVA является проверка значимых различий между средними значениями групп. ^[1] Процесс описания ковариаты в источнике данных позволяет уменьшить величину члена ошибки, представленного в проекте MANCOVA как _ошибка MS . Впоследствии общая лямбда Уилкса станет больше и, скорее всего, будет характеризоваться как значимая. ^[1] Это дает исследователю больше статистических возможностей.для обнаружения различий в данных. Многовариантный аспект MANCOVA позволяет характеризовать различия в средних значениях группы в отношении линейной комбинации нескольких зависимых переменных, одновременно контролируя ковариаты.

Пример ситуации, когда подходит MANCOVA: предположим, что ученый заинтересован в испытании двух новых лекарств на предмет их влияния на показатели депрессии и тревоги. Также предположим, что у ученого есть информация, относящаяся к общей чувствительности к лекарствам для каждого пациента; учет этой ковариаты даст тесту более высокую чувствительность при определении воздействия каждого препарата на обе зависимые переменные.

Предположения [ править ]

Для правильного использования MANCOVA должны быть соблюдены определенные допущения:

1. Нормальность : для каждой группы каждая зависимая переменная должна представлять нормальное распределение баллов. Кроме того, любая линейная комбинация зависимых переменных должна иметь нормальное распределение. Преобразование или удаление выбросов может помочь обеспечить выполнение этого предположения. ^[2] Нарушение этого предположения может привести к увеличению ошибок типа I ставки. ^[3]
2. Независимость наблюдений : каждое наблюдение должно быть независимым от всех других наблюдений; это предположение может быть выполнено с помощью методов случайной выборки . Нарушение этого предположения может привести к увеличению количества ошибок типа I. ^[3]
3. Однородность дисперсии : каждая зависимая переменная должна демонстрировать одинаковые уровни дисперсии по каждой независимой переменной. Нарушение этого предположения можно представить как корреляцию, существующую между дисперсиями и средними значениями зависимых переменных. Это нарушение часто называют « гетероскедастичностью » ^[4], и его можно проверить с помощью теста Левена . ^[5]
4. Однородность ковариаций : матрица взаимной корреляции между зависимыми переменными должна быть одинаковой на всех уровнях независимой переменной. Нарушение этого предположения может привести к увеличению количества ошибок типа I, а также к снижению статистической мощности . ^[3]

Логика MANOVA [ править ]

Аналогично ANOVA , MANOVA основан на произведении матрицы дисперсии модели и обратной матрицы дисперсии ошибок, или . Гипотеза, подразумевающая, что товар . ^[6] соображение инвариантности подразумевает MANOVA статистика должна быть мерой величины от сингулярного разложения этого матричного продукта, но не существует уникальный выбора благодаря много- мерной природе альтернативной гипотезы.${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {модель}}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {res}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle A = \ Sigma _ {\ text {модель}} \ times \ Sigma _ {\ text {res}} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ text {модель}} = \ Sigma _ {\ text {остаток}}}$${\ displaystyle A \ sim I}$

Наиболее распространенный ^{[7] [8]} статистические сводки на основе корней (или собственных значений ) в матрице:${\ displaystyle \ lambda _ {p}}$${\ displaystyle A}$

• Λ Сэмюэля Стэнли Уилкса :

${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1\ldots p}{\frac {1}{1+\lambda _{p}}}=\det(I+A)^{-1}={\frac {\det(\Sigma _{\text{res}})}{\det(\Sigma _{\text{res}}+\Sigma _{\text{model}})}}}$

распределяется как лямбда (Λ)

• Pillai- МС Бартлетта следа ,

${\displaystyle \Lambda _{\text{Pillai}}=\sum _{1\ldots p}{\frac {1}{1+\lambda _{p}}}=\operatorname {tr} ((I+A)^{-1})}$

• след Лоули- Хотеллинга ,

${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1\ldots p}\lambda _{p}=\operatorname {tr} (A)}$

• Самый большой корень Роя (также называемый самым большим корнем Роя ),

${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p})=\|A\|_{\infty }}$

Ковариаты [ править ]

В статистике ковариата представляет собой источник вариаций, который не контролировался в эксперименте и, как полагают, влияет на зависимую переменную. ^[9] Целью таких методов, как ANCOVA, является устранение эффектов таких неконтролируемых вариаций, чтобы увеличить статистическую мощность и гарантировать точное измерение истинной взаимосвязи между независимыми и зависимыми переменными. ^[9]

Примером может служить анализ тенденций изменения уровня моря, проведенный Вудвортом (1987). Здесь зависимой переменной (и переменной, представляющей наибольший интерес) был годовой средний уровень моря в данном месте, для которого был доступен ряд годовых значений. Первичной независимой переменной было «время». Использовалась «ковариата», состоящая из годовых значений среднегодового атмосферного давления на уровне моря. Результаты показали, что включение ковариаты позволило получить более точные оценки тенденции в зависимости от времени по сравнению с анализами, в которых ковариата не использовалась.

См. Также [ править ]

• Анализ дискриминантной функции
• ANCOVA
• MANOVA

Ссылки [ править ]