Взаимная когерентность (линейная алгебра)

В линейной алгебре , то когерентность или взаимная когерентность из матрицы А определяются как максимальное абсолютное значение из кросса-корреляции между столбцами А . ^[1]^[2]

Формально, пусть будут столбцами матрицы A , которые считаются нормализованными, так что взаимная согласованность A тогда определяется как ^[1]^[2] ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {m} \ in {\ mathbb {C}} ^ {d}}$ ${\ displaystyle a_ {i} ^ {H} a_ {i} = 1.}$

{\ displaystyle M = \ max _ {1 \ leq i \ neq j \ leq m} \ left | a_ {i} ^ {H} a_ {j} \ right |.}

Нижняя граница ^[3]

{\ displaystyle M \ geq {\ sqrt {\ frac {md} {d (m-1)}}}}

Детерминированную матрицу с взаимной когерентностью, почти соответствующей нижней границе, можно построить по теореме Вейля . ^[4]

Эта концепция была повторно введена Дэвидом Донохо и Майклом Эладом в контексте разреженных репрезентаций. ^[5] Частный случай этого определения для случая двух орто появился ранее в статье Донохо и Хо. ^[6] Взаимная согласованность с тех пор широко используется в области разреженных представлений о сигналах . В частности, он используется как мера способности субоптимальных алгоритмов, таких как согласованное преследование и базовое преследование, правильно идентифицировать истинное представление разреженного сигнала. ^[1]^[2]^[7]Джоэл Тропп представил полезное расширение взаимной когерентности, известное как функция Бабеля , которая расширяет идею взаимной корреляции между парами столбцов до взаимной корреляции от одного столбца к набору других столбцов. Вавилонская функция для двух столбцов - это в точности взаимная согласованность, но она также расширяет концепцию взаимосвязи согласованности таким образом, чтобы это было полезно и актуально для любого количества столбцов в матриксе разреженного представления. ^[8]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b ^c Tropp, JA (март 2006 г.). «Просто расслабьтесь: методы выпуклого программирования для определения разреженных сигналов в шуме» (PDF) . IEEE Transactions по теории информации . 52 (3): 1030–1051. DOI : 10.1109 / TIT.2005.864420 . S2CID 6496872 .
^ ^a ^b ^c Донохо, DL ; М. Элад; В. Н. Темляков (январь 2006 г.). «Устойчивое восстановление разреженных переполненных представлений при наличии шума». IEEE Transactions по теории информации . 52 (1): 6–18. DOI : 10.1109 / TIT.2005.860430 . S2CID 14813938 .
Перейти ↑ Welch, LR (1974). «Нижние границы максимальной взаимной корреляции сигналов». IEEE Transactions по теории информации . 20 (3): 397–399. DOI : 10,1109 / tit.1974.1055219 .
^ Чжицян, Сюй (апрель 2011 г.). «Детерминированная выборка разреженных тригонометрических многочленов». Журнал сложности . 27 (2): 133–140. arXiv : 1006.2221 . DOI : 10.1016 / j.jco.2011.01.007 . S2CID 2613562 .
^ Донохо, DL ; Майкл Элад (март 2003 г.). «Оптимально разреженное представление в общих (неортогональных) словарях через минимизацию L1» . Proc. Natl. Акад. Sci . 100 (5): 2197–2202. Bibcode : 2003PNAS..100.2197D . DOI : 10.1073 / pnas.0437847100 . PMC 153464 . PMID 16576749 .
^ Донохо, DL ; Сяомин Хо (ноябрь 2001 г.). «Принципы неопределенности и идеальное атомное разложение». IEEE Transactions по теории информации . 47 (7): 2845–2862. CiteSeerX 10.1.1.39.3696 . DOI : 10.1109 / 18.959265 .
^ Fuchs, J.-J. (Июнь 2004 г.). «О разреженных представлениях в произвольных избыточных базах». IEEE Transactions по теории информации . 50 (6): 1341–1344. DOI : 10.1109 / TIT.2004.828141 . S2CID 18432970 .
↑ Джоэл А. Тропп (2004). «Жадность - это хорошо: алгоритмические результаты для разреженного приближения» (PDF) . CiteSeerX 10.1.1.84.5256 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Взаимная согласованность
R1magic : пакет R, обеспечивающий вычисление взаимной когерентности.

Эта статья по линейной алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[tropp-1] Tropp, JA (март 2006 г.). «Просто расслабьтесь: методы выпуклого программирования для определения разреженных сигналов в шуме» (PDF) . IEEE Transactions по теории информации . 52 (3): 1030–1051. DOI : 10.1109 / TIT.2005.864420 . S2CID 6496872 .

[donoho06-2] Донохо, DL ; М. Элад; В. Н. Темляков (январь 2006 г.). «Устойчивое восстановление разреженных переполненных представлений при наличии шума». IEEE Transactions по теории информации . 52 (1): 6–18. DOI : 10.1109 / TIT.2005.860430 . S2CID 14813938 .

[3] Перейти ↑ Welch, LR (1974). «Нижние границы максимальной взаимной корреляции сигналов». IEEE Transactions по теории информации . 20 (3): 397–399. DOI : 10,1109 / tit.1974.1055219 .

[4] Чжицян, Сюй (апрель 2011 г.). «Детерминированная выборка разреженных тригонометрических многочленов». Журнал сложности . 27 (2): 133–140. arXiv : 1006.2221 . DOI : 10.1016 / j.jco.2011.01.007 . S2CID 2613562 .

[5] Донохо, DL ; Майкл Элад (март 2003 г.). «Оптимально разреженное представление в общих (неортогональных) словарях через минимизацию L1» . Proc. Natl. Акад. Sci . 100 (5): 2197–2202. Bibcode : 2003PNAS..100.2197D . DOI : 10.1073 / pnas.0437847100 . PMC 153464 . PMID 16576749 .

[6] Донохо, DL ; Сяомин Хо (ноябрь 2001 г.). «Принципы неопределенности и идеальное атомное разложение». IEEE Transactions по теории информации . 47 (7): 2845–2862. CiteSeerX 10.1.1.39.3696 . DOI : 10.1109 / 18.959265 .

[fuchs-7] Fuchs, J.-J. (Июнь 2004 г.). «О разреженных представлениях в произвольных избыточных базах». IEEE Transactions по теории информации . 50 (6): 1341–1344. DOI : 10.1109 / TIT.2004.828141 . S2CID 18432970 .

[8] Джоэл А. Тропп (2004). «Жадность - это хорошо: алгоритмические результаты для разреженного приближения» (PDF) . CiteSeerX 10.1.1.84.5256 .

[1]