Колебания нейтральной частицы

В физике элементарных частиц , нейтральные частицы колебания являются превращением частицы с нулевым электрическим зарядом в другую нейтральную частицу из - за изменения ненулевого внутренних квантового числа через взаимодействие , которые не сохраняющее , что квантовое число. Например, нейтрон не может трансмутировать в антинейтрона , как бы нарушить сохранение в барионного числа . Но в тех гипотетических расширениях Стандартной модели, которые включают взаимодействия, которые строго не сохраняют барионное число, предсказываются нейтронно-антинейтронные осцилляции. ^{[1] [2] [3]}

Такие колебания можно разделить на два типа:

• Колебания частицы – античастицы (например,
  K⁰
  -
  K⁰
  колебания ,
  B⁰
  -
  B⁰
  колебания ,
  D⁰
  -
  D⁰
  колебания ^[4] ).
• Колебания вкуса (например,
  ν
  _е-
  ν
  _μколебания ).

Если частицы распадаются на какой-то конечный продукт, тогда система не является чисто колебательной, и наблюдается интерференция между колебаниями и распадом.

История и мотивация [ править ]

Нарушение CP [ править ]

После убедительных доказательств нарушения четности, представленных Wu et al . в 1957 г. предполагалось, что CP (зарядовое сопряжение-четность) - это величина, которая сохраняется. ^[5] Однако в 1964 году Кронин и Fitch сообщили о нарушении CP в нейтральной системе Kaon. ^[6] Они наблюдали, как долгоживущий K ₂ (CP = −1) испытывает два распада пиона [CP = (−1) (- 1) = +1], тем самым нарушая сохранение CP.

В 2001 г. нарушение КП в г.
B⁰
-
B⁰
Система была подтверждена экспериментами BaBar и Belle . ^{[7] [8]} Прямое нарушение CP в
B⁰
-
B⁰
Обе лаборатории сообщили о системе к 2005 году. ^{[9] [10]}

В
K⁰
-
K⁰
и
B⁰
-
B⁰
системы можно изучать как системы с двумя состояниями, рассматривая частицу и ее античастицу как два состояния.

Проблема солнечных нейтрино [ править ]

С. Цепь на солнце , производит изобилие
ν
_е. В 1968 году Раймонд Дэвис и др . первым сообщил о результатах эксперимента Homestake . ^{[11] [12]} Также известный как эксперимент Дэвиса , он использовал огромный резервуар с перхлорэтиленом на шахте Хоумстейк (он находился глубоко под землей, чтобы устранить фон космических лучей), Южная Дакота, США. Ядра хлора в перхлорэтилене поглощают
ν
_е для получения аргона в результате реакции

${\ displaystyle \ mathrm {\ nu _ {e} + {{} _ {17} ^ {37} Cl} \ rightarrow {{} _ {18} ^ {37}} Ar + e ^ {-}}}$,

что по сути

${\ displaystyle \ mathrm {\ nu _ {e} + n \ to p + e ^ {-}}}$. ^[13]

В эксперименте собирали аргон в течение нескольких месяцев. Поскольку нейтрино очень слабо взаимодействует, каждые два дня собиралось только около одного атома аргона. Общее накопление было около одной трети Бакалла в теоретическом предсказании.

В 1968 году Бруно Понтекорво показал, что если нейтрино не считать безмассовыми, то
ν
_е (произведенные на Солнце) могут превращаться в некоторые другие разновидности нейтрино (
ν
_μ или же
ν
_τ), к которому детектор Homestake был нечувствителен. Этим объясняется дефицит результатов эксперимента Homestake. Окончательное подтверждение этого решения проблемы солнечных нейтрино было предоставлено в апреле 2002 года коллаборацией SNO ( Нейтринная обсерватория Садбери ), которая измерила как
ν
_епоток и полный поток нейтрино. ^[14] Это «колебание» между видами нейтрино можно сначала изучить, рассматривая любые два, а затем обобщить на три известных вида.

Описание как система с двумя состояниями [ править ]

Особый случай: рассмотрение только смешивания [ править ]

Предупреждение : «смешивание» здесь относится не к квантовым смешанным состояниям , а скорее к суперпозиции чистых состояний собственных состояний энергии (массы), которая описывается так называемой «матрицей смешивания».

Пусть - гамильтониан системы с двумя состояниями, и - ее ортонормированные собственные векторы с собственными значениями и соответственно.${\ displaystyle H_ {0}}$${\ displaystyle \ left | 1 \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | 2 \ right \ rangle}$ ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$

Позвольте быть состояние системы в момент времени .${\displaystyle \left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }$${\displaystyle t}$

Если система запускается как собственное энергетическое состояние , т. Е. Скажем${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle \left|\Psi \left(0\right)\right\rangle =\left|1\right\rangle }$

затем эволюционировавшее во времени состояние, которое является решением уравнения Шредингера

будет, ^[15]

${\displaystyle \left|\Psi \left(t\right)\right\rangle =\left|1\right\rangle e^{-i{\frac {E_{1}t}{\hbar }}}}$

Но это физически то же самое, что и экспоненциальный член - это просто фазовый фактор и не создает нового состояния. Другими словами, собственные состояния энергии являются стационарными собственными состояниями, т. Е. Они не приводят к появлению физически новых состояний при временной эволюции.${\displaystyle \left|1\right\rangle }$

В основе , диагональный. То есть,${\displaystyle \left\{\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle \right\}}$${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle H_{0}={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\\\end{pmatrix}}}$

Можно показать, что колебания между состояниями будут происходить тогда и только тогда, когда недиагональные члены гамильтониана отличны от нуля .

Поэтому введем общее возмущение в так, чтобы полученный гамильтониан оставался эрмитовым . Потом,${\displaystyle W}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}W_{11}&W_{12}\\W_{12}^{*}&W_{22}\\\end{pmatrix}}}$где, и${\displaystyle W_{11},W_{22}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle W_{12}\in \mathbb {C} }$

и,

Тогда собственные значения : ^[16]${\displaystyle H}$

Поскольку это общая гамильтонова матрица, ее можно записать как, ^[17]${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=\sum \limits _{j=0}^{3}a_{j}\sigma _{j}=a_{0}\sigma _{0}+H'}$

Следующие два результата очевидны:

• ${\displaystyle \left[H,H'\right]=0}$

Доказательство
${\displaystyle {\begin{aligned}HH'&=a_{0}\sigma _{0}H'+H'H'=a_{0}\sigma _{0}+{H'}^{2}\\H'H&=a_{0}H'\sigma _{0}+H'H'=a_{0}\sigma _{0}+{H'}^{2}\\\therefore \left[H,H'\right]&=HH'-H'H=0\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle {H'}^{2}=I}$

Доказательство

${\displaystyle {\begin{aligned}{H'}^{2}&=\sum \limits _{j=1}^{3}{n_{j}\sigma _{j}}\sum \limits _{k=1}^{3}{n_{k}\sigma _{k}}=\sum \limits _{j,k=1}^{3}{n_{j}n_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}}\\&=\sum \limits _{j,k=1}^{3}{n_{j}n_{k}\left(\delta _{jk}I+i\sum \limits _{l=1}^{3}{\varepsilon _{jkl}\sigma _{l}}\right)}\\&=\left(\sum \limits _{j=1}^{3}{n_{j}}^{2}\right)I+i\sum \limits _{l=1}^{3}{\sigma _{l}\sum \limits _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{jkl}}\\&=I\\\end{aligned}}}$ где были использованы следующие результаты: ${\displaystyle \sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\sum \limits _{l=1}^{3}{\varepsilon _{jkl}\sigma _{l}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ является единичным вектором и, следовательно, ${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{3}{{n_{j}}^{2}}=\left|{\hat {n}}\right|^{2}=1}$ Символ Леви-Чивиты антисимметричен по любым двум своим индексам ( и в данном случае) и, следовательно,${\displaystyle \varepsilon _{jkl}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \sum \limits _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{jkl}=0}$

С помощью следующей параметризации ^[17] (эта параметризация помогает, поскольку она нормализует собственные векторы, а также вводит произвольную фазу, делая собственные векторы наиболее общими)${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\hat {n}}=\left(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta \right)}$,

и, используя вышеупомянутую пару результатов, ортонормированные собственные векторы матрицы и, следовательно , получаются следующим образом:${\displaystyle H'}$${\displaystyle H}$

куда,
${\displaystyle \tan \theta ={\frac {2\left|W_{12}\right|}{E_{1}+W_{11}-E_{2}-W_{22}}}}$ и, ${\displaystyle W_{12}=\left|W_{12}\right|e^{i\phi }}$

Записывая собственные векторы через те, которые мы получаем,${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H}$

Теперь, если частица начинается как собственное состояние (скажем, ), то есть${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle \left|1\right\rangle }$

${\displaystyle \left|\Psi \left(0\right)\right\rangle =\left|1\right\rangle }$

тогда при эволюции во времени мы получаем, ^[16]

${\displaystyle \left|\Psi \left(t\right)\right\rangle =e^{i{\frac {\phi }{2}}}\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\left|+\right\rangle e^{-i{\frac {E_{+}t}{\hbar }}}-\sin {\frac {\theta }{2}}\left|-\right\rangle e^{-i{\frac {E_{-}t}{\hbar }}}\right)}$

который, в отличие от предыдущего случая, заметно отличается от .${\displaystyle \left|1\right\rangle }$

Затем мы можем получить вероятность нахождения системы в состоянии в определенный момент как, ^[16]${\displaystyle \left|2\right\rangle }$${\displaystyle t}$

которая называется формулой Раби . Следовательно, начиная с одного собственного состояния невозмущенного гамильтониана , состояние системы колеблется между собственными состояниями с частотой (известной как частота Раби ),${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle H_{0}}$

Из выражения мы можем сделать вывод, что колебание будет существовать, только если . таким образом, известен как член связи, поскольку он связывает два собственных состояния невозмущенного гамильтониана и тем самым способствует колебаниям между ними.${\displaystyle P_{21}(t)}$${\displaystyle \left|W_{12}\right|^{2}\neq 0}$${\displaystyle W_{12}}$${\displaystyle H_{0}}$

Колебание также прекращается , если собственные значения возмущенной вырождаются, т . Но это тривиальный случай, поскольку в такой ситуации само возмущение исчезает и принимает форму (диагональ), и мы возвращаемся к исходной точке.${\displaystyle H}$${\displaystyle E_{+}=E_{-}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{0}}$

Следовательно, необходимыми условиями для возникновения колебаний являются:

• Ненулевое соединение, т . Е.${\displaystyle \left|W_{12}\right|^{2}\neq 0}$
• Невырожденные собственные значения возмущенной , то есть .${\displaystyle H}$${\displaystyle E_{+}\neq E_{-}}$

Общий случай: рассмотрение смешения и распада [ править ]

Если рассматриваемая частица (и) подвергается распаду, то гамильтониан, описывающий систему, больше не является эрмитовым. ^[18] Поскольку любую матрицу можно записать как сумму ее эрмитовой и антиэрмитовой частей, можно записать как,${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=M-{\frac {i}{2}}\Gamma ={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{12}^{*}&M_{11}\\\end{pmatrix}}-{\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\Gamma _{11}&\Gamma _{12}\\\Gamma _{12}^{*}&\Gamma _{11}\\\end{pmatrix}}}$

куда,

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\\\end{pmatrix}}}$ и, ${\displaystyle \Gamma ={\begin{pmatrix}\Gamma _{11}&\Gamma _{12}\\\Gamma _{21}&\Gamma _{11}\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle M}$и являются эрмитскими. Следовательно,${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M_{2}1=M_{12}^{*}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{21}=\Gamma _{12}^{*}}$ CPT сохранение (симметрия) означает, ${\displaystyle M_{22}=M_{11}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{22}=\Gamma _{11}}$ Доказательство Пусть . превращает частицу в свою античастицу. То есть,${\displaystyle \Theta =CPT}$${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \Theta \left|1\right\rangle =\left|2\right\rangle }$ и ${\displaystyle \Theta \left|2\right\rangle =\left|1\right\rangle }$ Сохранение CPT означает , что гамильтониан , а следовательно , и инвариантны относительно следующих преобразований:${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Theta ^{-1}M\Theta =M}$ и ${\displaystyle \Theta ^{-1}\Gamma \Theta =\Gamma }$ ${\displaystyle \Theta }$является антиунитарным оператором [19] и удовлетворяет соотношению ${\displaystyle \Theta ^{\dagger }\Theta =I}$ Следовательно, ${\displaystyle M_{22}=\left\langle 2\right|M\left|2\right\rangle =\left\langle 2\right|\Theta ^{-1}M\Theta \left|2\right\rangle =\left\langle 2\right|\Theta ^{\dagger }M\Theta \left|2\right\rangle =\left\langle 1\right|M\left|1\right\rangle =M_{11}}$ и аналогично для диагональных элементов .${\displaystyle \Gamma }$ Эрмитичность а также подразумевает, что их диагональные элементы реальны.${\displaystyle M}$${\displaystyle \Gamma }$

Собственные значения :${\displaystyle H}$

куда,
${\displaystyle \Delta m}$и удовлетворить,${\displaystyle \Delta \Gamma }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\Delta m\right)^{2}-\left({\frac {\Delta \Gamma }{2}}\right)^{2}&=4\left|M_{12}\right|^{2}-\left|\Gamma _{12}\right|^{2},\\\Delta m\Delta \Gamma &=4\operatorname {Re} \left(M_{12}\Gamma _{12}^{*}\right)\end{aligned}}}$

Суффиксы обозначают Heavy и Light соответственно (по соглашению), и это означает, что это положительно.${\displaystyle \Delta m}$

Нормированные собственные состояния, соответствующие натуральному базису и соответственно, следующие:${\displaystyle \mu _{L}}$${\displaystyle \mu _{H}}$ ${\displaystyle \left\{\left|P\right\rangle ,\left|{\bar {P}}\right\rangle \right\}\equiv \left\{\left(1,0\right),\left(0,1\right)\right\}}$

куда,
${\displaystyle \left|p\right|^{2}+\left|q\right|^{2}=1}$ и, ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)^{2}={\frac {M_{12}^{*}-{\frac {i}{2}}\Gamma _{12}^{*}}{M_{12}-{\frac {i}{2}}\Gamma _{12}}}}$

${\displaystyle p}$и являются условиями смешивания. Обратите внимание, что собственные состояния больше не ортогональны.${\displaystyle q}$

Пусть система запустится в состоянии . То есть,${\displaystyle \left|P\right\rangle }$

${\displaystyle \left|P\left(0\right)\right\rangle =\left|P\right\rangle ={\frac {1}{2p}}\left(\left|P_{L}\right\rangle +\left|P_{H}\right\rangle \right)}$

Под эволюцией времени мы получаем,

${\displaystyle \left|P\left(t\right)\right\rangle ={\frac {1}{2p}}\left(\left|P_{L}\right\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{L}-{\frac {i}{2}}\gamma _{L}\right)t}+\left|P_{H}\right\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{H}-{\frac {i}{2}}\gamma _{H}\right)t}\right)=g_{+}\left(t\right)\left|P\right\rangle -{\frac {q}{p}}g_{-}\left(t\right)\left|{\bar {P}}\right\rangle }$

куда,
${\displaystyle g_{\pm }\left(t\right)={\frac {1}{2}}\left(e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{H}-{\frac {i}{2}}\gamma _{H}\right)t}\pm e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{L}-{\frac {i}{2}}\gamma _{L}\right)t}\right)}$

Аналогично, если система запускается в состоянии , при временной эволюции мы получаем${\displaystyle \left|{\bar {P}}\right\rangle }$

${\displaystyle \left|{\bar {P}}(t)\right\rangle ={\frac {1}{2q}}\left(\left|P_{L}\right\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{L}-{\frac {i}{2}}\gamma _{L}\right)t}-\left|P_{H}\right\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(m_{H}-{\frac {i}{2}}\gamma _{H}\right)t}\right)=-{\frac {p}{q}}g_{-}\left(t\right)\left|P\right\rangle +g_{+}\left(t\right)\left|{\bar {P}}\right\rangle }$

Нарушение CP как следствие [ править ]

Если в системе и представляют собой CP сопряженные состояния (т.е. частица-античастица) друг друга (т.е. и ), и некоторые другие условия выполняются, то в результате этого явления может наблюдаться нарушение CP . В зависимости от условия CP-нарушение можно разделить на три типа: ^{[18] [20]}${\displaystyle \left|P\right\rangle }$${\displaystyle \left|{\bar {P}}\right\rangle }$${\displaystyle CP\left|P\right\rangle =e^{i\delta }\left|{\bar {P}}\right\rangle }$${\displaystyle CP\left|{\bar {P}}\right\rangle =e^{-i\delta }\left|P\right\rangle }$

Нарушение CP только через распад [ править ]

Рассмотрим процессы, в которых распад до конечных состояний , где кеты с перемычкой и без перемычки каждого набора являются CP-сопряженными друг другу.${\displaystyle \left\{\left|P\right\rangle ,\left|{\bar {P}}\right\rangle \right\}}$${\displaystyle \left\{\left|f\right\rangle ,\left|{\bar {f}}\right\rangle \right\}}$

Вероятность распада на определяется выражением${\displaystyle \left|P\right\rangle }$${\displaystyle \left|f\right\rangle }$

${\displaystyle \wp _{P\to f}\left(t\right)=\left|\left\langle f|P\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|g_{+}\left(t\right)A_{f}-{\frac {q}{p}}g_{-}\left(t\right){\bar {A}}_{f}\right|^{2}}$,

и его CP сопряженного процесса,

${\displaystyle \wp _{{\bar {P}}\to {\bar {f}}}\left(t\right)=\left|\left\langle {\bar {f}}|{\bar {P}}\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|g_{+}\left(t\right){\bar {A}}_{\bar {f}}-{\frac {p}{q}}g_{-}\left(t\right)A_{\bar {f}}\right|^{2}}$

куда,
${\displaystyle {\begin{aligned}A_{f}&=\left\langle f|P\right\rangle \\{\bar {A}}_{f}&=\left\langle f|{\bar {P}}\right\rangle \\A_{\bar {f}}&=\left\langle {\bar {f}}|P\right\rangle \\{\bar {A}}_{\bar {f}}&=\left\langle {\bar {f}}|{\bar {P}}\right\rangle \end{aligned}}}$

Если нет нарушения CP из-за перемешивания, то .${\displaystyle \left|{\frac {q}{p}}\right|=1}$

Теперь две вышеупомянутые вероятности не равны, если,

.

Следовательно, распад становится процессом, нарушающим CP, поскольку вероятность распада и вероятность его CP-сопряженного процесса не равны.

Нарушение CP только через смешивание [ править ]

Вероятность (как функция времени) наблюдения, начиная с , определяется выражением${\displaystyle \left|{\bar {P}}\right\rangle }$${\displaystyle \left|P\right\rangle }$

${\displaystyle \wp _{P\to {\bar {P}}}\left(t\right)=\left|\left\langle {\bar {P}}|P\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|{\frac {q}{p}}g_{-}\left(t\right)\right|^{2}}$,

и его CP сопряженного процесса,

${\displaystyle \wp _{{\bar {P}}\to P}\left(t\right)=\left|\left\langle P|{\bar {P}}\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}=\left|{\frac {p}{q}}g_{-}\left(t\right)\right|^{2}}$.

Две указанные выше вероятности не равны, если,

Следовательно, колебание частица-античастица становится процессом, нарушающим CP, поскольку частица и ее античастица (скажем, и соответственно) больше не являются эквивалентными собственными состояниями CP.${\displaystyle \left|P\right\rangle }$${\displaystyle \left|{\bar {P}}\right\rangle }$

Нарушение CP через интерференцию смешения-распада [ править ]

Пусть будет конечным состоянием (собственным состоянием CP), в которое оба и могут распадаться. Тогда вероятности распада определяются как${\displaystyle \left|f\right\rangle }$${\displaystyle \left|P\right\rangle }$${\displaystyle \left|{\bar {P}}\right\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp _{P\to f}\left(t\right)&=\left|\left\langle f|P\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}\\&=\left|A_{f}\right|^{2}{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\left[\left(1+\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cosh \left({\frac {\Delta \gamma }{2}}t\right)+2\operatorname {Re} \left(\lambda _{f}\right)\sinh \left({\frac {\Delta \gamma }{2}}t\right)+\left(1-\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cos \left(\Delta mt\right)+2\operatorname {Im} \left(\lambda _{f}\right)\sin \left(\Delta mt\right)\right]\\\end{aligned}}}$

и,

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp _{{\bar {P}}\to f}\left(t\right)&=\left|\left\langle f|{\bar {P}}\left(t\right)\right\rangle \right|^{2}\\&=\left|A_{f}\right|^{2}\left|{\frac {p}{q}}\right|^{2}{\frac {e^{-\gamma t}}{2}}\left[\left(1+\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cosh \left({\frac {\Delta \gamma }{2}}t\right)+2\operatorname {Re} \left(\lambda _{f}\right)\sinh \left({\frac {\Delta \gamma }{2}}t\right)-\left(1-\left|\lambda _{f}\right|^{2}\right)\cos \left(\Delta mt\right)-2\operatorname {Im} \left(\lambda _{f}\right)\sin \left(\Delta mt\right)\right]\\\end{aligned}}}$

куда,
${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\frac {\gamma _{H}+\gamma _{L}}{2}}\Delta \gamma =\gamma _{H}-\gamma _{L}\\\Delta m&=m_{H}-m_{L}\\\lambda _{f}&={\frac {q}{p}}{\frac {{\bar {A}}_{f}}{A_{f}}}\\A_{f}&=\left\langle f|P\right\rangle \\{\bar {A}}_{f}&=\left\langle f|{\bar {P}}\right\rangle \end{aligned}}}$

Из двух вышеупомянутых величин можно видеть, что даже когда нет CP-нарушения только за счет перемешивания (т.е. ) и нет никакого CP-нарушения только из-за распада (т.е. ), и, таким образом , вероятности все равно будут неравны при условии,${\displaystyle \left|q/p\right|=1}$${\displaystyle \left|{\bar {A}}_{f}/A_{f}\right|=1}$${\displaystyle \left|\lambda _{f}\right|=1}$

Таким образом, последние члены в приведенных выше выражениях для вероятности связаны с интерференцией между смешиванием и распадом.

Альтернативная классификация [ править ]

Обычно проводится альтернативная классификация CP-нарушения: ^[20]

Прямое нарушение CP [ править ]

Прямое нарушение CP определяется как ,. В терминах вышеперечисленных категорий прямое CP-нарушение происходит только в CP-нарушении через распад.${\displaystyle \left|{\bar {A}}_{f}/A_{f}\right|\neq 1}$

Косвенное нарушение CP [ править ]

Косвенное CP-нарушение - это тип CP-нарушения, который включает смешивание. В терминах вышеупомянутой классификации непрямое нарушение CP происходит только в результате смешения, или из-за интерференции смешения-затухания, или обоих.

Конкретные случаи [ править ]

Колебания нейтрино [ править ]

Учитывая сильную связь между двумя собственными состояниями нейтрино (например,
ν
_е-
ν
_μ,
ν
_μ-
ν
_τи т. д.) и очень слабой связи между третьим (то есть третье не влияет на взаимодействие между двумя другими), уравнение ( 6 ) дает вероятность превращения нейтрино одного типа в тип как,${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle P_{\beta \alpha }\left(t\right)=\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\left({\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}t\right)}$

где, и - собственные состояния энергии.${\displaystyle E_{+}}$${\displaystyle E_{-}}$

Вышеупомянутое можно записать как,

куда,
${\displaystyle \Delta m^{2}={m_{+}}^{2}-{m_{-}}^{2}}$, т.е. разность квадратов масс собственных состояний энергии, ${\displaystyle c}$ это скорость света в вакууме, ${\displaystyle x}$ - расстояние, пройденное нейтрино после рождения, ${\displaystyle E}$ - энергия, с которой было создано нейтрино, и ${\displaystyle \lambda _{\text{osc}}}$ - длина волны колебаний.

Доказательство

${\displaystyle E_{\pm }={\sqrt {p^{2}c^{2}+{m_{\pm }}^{2}c^{4}}}\simeq pc\left(1+{\frac {{m_{\pm }}^{2}c^{2}}{2p^{2}}}\right)\left[\because {\frac {m_{\pm }c}{p}}\ll 1\right]}$ где, - импульс, с которым было создано нейтрино.${\displaystyle p}$ Теперь и .${\displaystyle E\simeq pc}$${\displaystyle t\simeq x/c}$ Следовательно, ${\displaystyle {\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}t\simeq {\frac {\left({m_{+}}^{2}-{m_{-}}^{2}\right)c^{3}}{2p\hbar }}t\simeq {\frac {\Delta m^{2}c^{3}}{4E\hbar }}x={\frac {2\pi }{\lambda _{\text{osc}}}}x}$ куда, ${\displaystyle \lambda _{\text{osc}}={\frac {8\pi E\hbar }{\Delta m^{2}c^{3}}}}$

Таким образом, связь между собственными состояниями энергии (массы) порождает явление колебаний между собственными состояниями аромата. Один важный вывод состоит в том, что нейтрино имеют конечную массу, хотя и очень маленькую . Следовательно, их скорость не совсем такая же, как у света, но немного ниже.

Расщепление массы нейтрино [ править ]

При трех разновидностях нейтрино существует три массовых расщепления:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\Delta m^{2}\right)_{12}&={m_{1}}^{2}-{m_{2}}^{2}\\\left(\Delta m^{2}\right)_{23}&={m_{2}}^{2}-{m_{3}}^{2}\\\left(\Delta m^{2}\right)_{31}&={m_{3}}^{2}-{m_{1}}^{2}\end{aligned}}}$

Но только две из них являются независимыми, так как .${\displaystyle \left(\Delta m^{2}\right)_{12}+\left(\Delta m^{2}\right)_{23}+\left(\Delta m^{2}\right)_{31}=0~}$

Для солнечных нейтрино .${\displaystyle \left(\Delta m^{2}\right)_{\text{sol}}\simeq 8\times 10^{-5}\left(eV/c^{2}\right)^{2}}$

Для атмосферных нейтрино .${\displaystyle \left(\Delta m^{2}\right)_{\text{atm}}\simeq 3\times 10^{-3}\left(eV/c^{2}\right)^{2}}$

Это означает, что два из трех нейтрино имеют очень близкие массы. Поскольку только два из трех являются независимыми, а выражение для вероятности в уравнении ( 13 ) не чувствительно к знаку (поскольку квадрат синуса не зависит от знака его аргумента), невозможно определить спектр масс нейтрино уникально из-за явления колебания вкуса. То есть любые два из трех могут иметь близко расположенные массы.${\displaystyle \Delta m^{2}}$${\displaystyle \Delta m^{2}}$

Более того, поскольку колебания чувствительны только к разности (квадратов) масс, прямое определение массы нейтрино из экспериментов с осцилляциями невозможно.

Шкала длины системы [ править ]

Уравнение ( 13 ) указывает, что подходящим масштабом длины системы является длина волны колебаний . Мы можем сделать следующие выводы:${\displaystyle \lambda _{\text{osc}}}$

• Если , то и колебания наблюдаться не будет. Например, производство (скажем, радиоактивным распадом) и обнаружение нейтрино в лаборатории.${\displaystyle x/\lambda _{\text{osc}}\ll 1}$${\displaystyle P_{\beta \alpha }\simeq 0}$
• Если , где - целое число, то и колебаний не будет.${\displaystyle x/\lambda _{\text{osc}}\simeq n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P_{\beta \alpha }\simeq 0}$
• Во всех остальных случаях будут наблюдаться колебания. Например, для солнечных нейтрино; для нейтрино от атомной электростанции, обнаруженных в лаборатории в нескольких километрах.${\displaystyle x/\lambda _{\text{osc}}\gg 1}$${\displaystyle x\sim \lambda _{\text{osc}}}$

Колебания и распад нейтрального каона [ править ]

Нарушение CP только через смешивание [ править ]

В статье 1964 года Кристенсона и др. ^[6] предоставили экспериментальные доказательства нарушения CP в нейтральной системе Kaon. Так называемый долгоживущий Каон (CP = −1) распался на два пиона (CP = (−1) (- 1) = 1), тем самым нарушив сохранение CP.

${\displaystyle \left|K^{0}\right\rangle }$и являясь собственными состояниями странности (с собственными значениями +1 и -1 соответственно), собственные состояния энергии:${\displaystyle \left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K^{0}\right\rangle +\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\\\left|K_{2}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|K^{0}\right\rangle -\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\end{aligned}}}$

Эти два также являются собственными состояниями CP с собственными значениями +1 и -1 соответственно. От более раннего представления о сохранении CP (симметрии) ожидалось следующее:

• Поскольку собственное значение CP равно +1, он может распадаться на два пиона или, при правильном выборе углового момента, на три пиона. Однако двухпионный распад происходит гораздо чаще.${\displaystyle \left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle }$
• ${\displaystyle \left|K_{2}^{0}\right\rangle }$ имеющий собственное значение CP −1, может распадаться только на три пиона и никогда не распадется на два.

Поскольку распад двух пионов происходит намного быстрее, чем распад трех пионов, его называли короткоживущим Каоном и долгоживущим Каоном . Эксперимент 1964 года показал, что вопреки тому, что ожидалось, может распадаться на два пиона. Это означало, что долгоживущий Каон не может быть чисто собственным состоянием CP , но должен содержать небольшую примесь , таким образом, больше не являясь собственным состоянием CP. ^[21] Точно так же было предсказано, что недолговечный Каон будет иметь небольшую примесь . То есть,${\displaystyle \left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|K_{S}^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|K_{2}^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|K_{L}^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|K_{L}^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|K_{2}^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|K_{2}^{0}\right\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|K_{L}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {1+\left|\varepsilon \right|^{2}}}}\left(\left|K_{2}^{0}\right\rangle +\varepsilon \left|K_{1}^{0}\right\rangle \right)\\\left|K_{S}^{0}\right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {1+\left|\varepsilon \right|^{2}}}}\left(\left|K_{1}^{0}\right\rangle +\varepsilon \left|K_{2}^{0}\right\rangle \right)\end{aligned}}}$

где, - комплексная величина, являющаяся мерой отклонения от СР-инвариантности. Экспериментально . ^[22]${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \left|\varepsilon \right|=\left(2.228\pm 0.011\right)\times 10^{-3}}$

Записывая и через и , получаем (учитывая ^[22] ) форму уравнения ( 9 ):${\displaystyle \left|K_{^{1}}^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|K_{2}^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|K^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle }$${\displaystyle m_{K_{L}^{0}}>m_{K_{S}^{0}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|K_{L}^{0}\right\rangle &=\left(p\left|K^{0}\right\rangle -q\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\\\left|K_{S}^{0}\right\rangle &=\left(p\left|K^{0}\right\rangle +q\left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle \right)\end{aligned}}}$

где ,.${\displaystyle {\frac {q}{p}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}}$

Так как условие ( 11 ) выполняется , и происходит смешивание между странностью собственных состояниями и что приводит к долгоживущему и короткоживущему состоянию.${\displaystyle \left|\varepsilon \right|\neq 0}$${\displaystyle \left|K^{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|{\bar {K}}^{0}\right\rangle }$

Нарушение CP только через распад [ править ]

В
K⁰
_л и
K⁰
_ю.ш. имеют два режима распада двух пионов:
π⁰

π⁰
или же
π⁺

π^-
. Оба этих конечных состояния являются собственными состояниями CP. Мы можем определить отношения ветвления как, ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{+-}&={\frac {\left\langle \pi ^{+}\pi ^{-}|K_{L}^{0}\right\rangle }{\left\langle \pi ^{+}\pi ^{-}|K_{S}^{0}\right\rangle }}={\frac {pA_{\pi ^{+}\pi ^{-}}-q{\bar {A}}_{\pi ^{+}\pi ^{-}}}{pA_{\pi ^{+}\pi ^{-}}+q{\bar {A}}_{\pi ^{+}\pi ^{-}}}}={\frac {1-\lambda _{\pi ^{+}\pi ^{-}}}{1+\lambda _{\pi ^{+}\pi ^{-}}}}\\[3pt]\eta _{00}&={\frac {\left\langle \pi ^{0}\pi ^{0}|K_{L}^{0}\right\rangle }{\left\langle \pi ^{0}\pi ^{0}|K_{S}^{0}\right\rangle }}={\frac {pA_{\pi ^{0}\pi ^{0}}-q{\bar {A}}_{\pi ^{0}\pi ^{0}}}{pA_{\pi ^{0}\pi ^{0}}+q{\bar {A}}_{\pi ^{0}\pi ^{0}}}}={\frac {1-\lambda _{\pi ^{0}\pi ^{0}}}{1+\lambda _{\pi ^{0}\pi ^{0}}}}\end{aligned}}}$.

Экспериментально ^[22] и . То есть подразумевая и и тем самым удовлетворяя условию ( 10 ).${\displaystyle \eta _{+-}=\left(2.232\pm 0.011\right)\times 10^{-3}}$${\displaystyle \eta _{00}=\left(2.220\pm 0.011\right)\times 10^{-3}}$${\displaystyle \eta _{+-}\neq \eta _{00}}$${\displaystyle \left|A_{\pi ^{+}\pi ^{-}}/{\bar {A}}_{\pi ^{+}\pi ^{-}}\right|\neq 1}$${\displaystyle \left|A_{\pi ^{0}\pi ^{0}}/{\bar {A}}_{\pi ^{0}\pi ^{0}}\right|\neq 1}$

Другими словами, в асимметрии между двумя модами распада наблюдается прямое CP-нарушение.

Нарушение CP через интерференцию смешения-распада [ править ]

Если конечное состояние (скажем ) является собственным состоянием CP (например,${\displaystyle f_{CP}}$
π⁺

π^-
), то есть две разные амплитуды распада, соответствующие двум разным путям распада: ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}K^{0}&\to f_{CP}\\K^{0}&\to {\bar {K}}^{0}\to f_{CP}\end{aligned}}}$.