Теория Ньютона – Картана (или геометризованная ньютоновская гравитация ) является геометрической переформулировкой, а также обобщением ньютоновской гравитации, впервые введенной Эли Картаном [1] [2] и Куртом Фридрихсом [3], а затем развитой Дауткуром [ 4] Диксон, [5] Домбровски и Хорнеффер, Элерс, Хавас, [6] Кюнцле, [7] Лоттермозер, Траутман , [8] и другие. В этом переформулировке структурные сходства между теорией Ньютона и Альбертом Эйнштейном «S общей теорией относительностилегко увидеть, и он был использован Картаном и Фридрихсом, чтобы дать строгую формулировку того, как ньютоновская гравитация может рассматриваться как конкретный предел общей теории относительности, и Юргеном Элерсом, чтобы распространить это соответствие на конкретные решения общей теории относительности. .
Классические пространства-времени
В теории Ньютона – Картана мы начинаем с гладкого четырехмерного многообразия и определяет две (вырожденные) метрики. Временная метрика с подписью , используется для присвоения временной длины векторам на и пространственная метрика с подписью . Также требуется, чтобы эти две метрики удовлетворяли условию трансверсальности (или «ортогональности»),. Таким образом, классическое пространство-время определяется как упорядоченная четверка, где а также как описано, - совместимый с метрикой оператор ковариантной производной; и метрики удовлетворяют условию ортогональности. Можно сказать, что классическое пространство-время - это аналог релятивистского пространства-времени. , где является гладкой лоренцевой метрикой на многообразии.
Геометрическая формулировка уравнения Пуассона.
В теории тяготения Ньютона уравнение Пуассона гласит
где - гравитационный потенциал, - гравитационная постоянная и - массовая плотность. Принцип слабой эквивалентности мотивирует геометрическую версию уравнения движения точечной частицы в потенциале
где инертная масса и гравитационная масса. Поскольку согласно принципу слабой эквивалентности, соответствующее уравнение движения
больше не содержит ссылки на массу частицы. Следуя идее, что решение уравнения тогда является свойством кривизны пространства, связь строится так, что уравнение геодезических
представляет собой уравнение движения точечной частицы в потенциале . Результирующая связь
с участием а также (). Связь была построена в одной инерциальной системе, но можно показать, что она действительна в любой инерциальной системе, показывая инвариантность а также при преобразованиях Галилея. Тогда тензор кривизны Римана в координатах инерциальной системы этой связи имеет вид
где скобки означают антисимметричную комбинацию тензора . Тензор Риччи дается
что приводит к следующей геометрической формулировке уравнения Пуассона
Более точно, если римские индексы i и j находятся в пределах пространственных координат 1, 2, 3, то связь задается формулой
тензор кривизны Римана
а тензор Риччи и скаляр Риччи -
где все компоненты, не указанные в списке, равны нулю.
Обратите внимание, что эта формулировка не требует введения концепции метрики: только соединение дает всю физическую информацию.
Лифт Баргманн
Было показано, что четырехмерная теория гравитации Ньютона – Картана может быть переформулирована как редукция Калуцы – Клейна пятимерной гравитации Эйнштейна вдоль нулевого направления. [9] Этот подъем считается полезным для нерелятивистских голографических моделей. [10]
Рекомендации
- ↑ Картан, Эли (1923), «Sur les varétés à affine affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24033 / asens. 751
- ^ Картан, Эли (1924), "Sur les varétés à connected affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1, doi : 10.24033 /asens.753
- ^ Фридрихс, К.О. (1927), "Eine Invariante Formulierung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und der Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz", Mathematische Annalen , 98 : 566–575, doi : 10.1007 / bf01451608
- ^ Дауткур, Г. (1964), "Die Newtonische Gravitationstheorie als strenger Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie", Acta Physica Polonica , 65 : 637–646
- ^ Диксон, WG (1975), "Об уникальности ньютоновской теории как геометрической теории гравитации", Сообщения в области математической физики , 45 (2): 167–182, Bibcode : 1975CMaPh..45..167D , doi : 10.1007 / bf01629247
- ^ Хавас П. (1964), «Четырехмерные формулировки ньютоновской механики и их связь с специальной и общей теорией относительности», Reviews of Modern Physics , 36 (4): 938–965, Bibcode : 1964RvMP ... 36 ..938H , DOI : 10,1103 / revmodphys.36.938
- ^ Кюнцле, Х. (1976), "Ковариантные ньютоновские границы пространства-времени Лоренца", Общая теория относительности и гравитации , 7 (5): 445–457, Bibcode : 1976GReGr ... 7..445K , doi : 10.1007 / bf00766139
- ^ Траутман, А. (1965), Дезер, Юрген; Форд К.У. (ред.), Основы и текущие проблемы общей теории относительности , 98 , Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл , стр. 1–248.
- ^ Duval, C .; Burdet, G .; Кюнцле, HP; Перрин, М. (1985). «Структуры Баргмана и теория Ньютона-Картана». Physical Review D . 31 (8): 1841–1853. Bibcode : 1985PhRvD..31.1841D . DOI : 10.1103 / PhysRevD.31.1841 . PMID 9955910 .
- ^ Гольдбергер, Уолтер Д. (2009). "AdS / CFT двойственность для нерелятивистской теории поля". Журнал физики высоких энергий . 2009 (3): 069. arXiv : 0806.2867 . Bibcode : 2009JHEP ... 03..069G . DOI : 10.1088 / 1126-6708 / 2009/03/069 .
Библиография
- Картан Эли (1923), "Sur les varétés à affine affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24051 / asens.7
- Картан, Эли (1924), "Sur les varétés à connected affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1, doi : 10.24033 /asens.753
- Картан, Эли (1955), uvres complete , III / 1, Gauthier-Villars, стр. 659, 799.
- Ренн, Юрген; Schemmel, Matthias, eds. (2007), The Genesis of General Relativity , 4 , Springer, pp. 1107–1129. (Английский перевод статьи Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. № 40)
- Глава 1 Элерс, Юрген (1973), «Обзор общей теории относительности», в Израиле, Вернер (редактор), Теория относительности, астрофизика и космология , Д. Рейдель, стр. 1–125, ISBN. 90-277-0369-8