Теория Ньютона – Картана

Теория Ньютона – Картана (или геометризованная ньютоновская гравитация ) является геометрической переформулировкой, а также обобщением ньютоновской гравитации, впервые введенной Эли Картаном ^{[1] [2]} и Куртом Фридрихсом ^[3], а затем развитой Дауткуром ^{[ 4]} Диксон, ^[5] Домбровски и Хорнеффер, Элерс, Хавас, ^[6] Кюнцле, ^[7] Лоттермозер, Траутман , ^[8] и другие. В этом переформулировке структурные сходства между теорией Ньютона и Альбертом Эйнштейном «S общей теорией относительностилегко увидеть, и он был использован Картаном и Фридрихсом, чтобы дать строгую формулировку того, как ньютоновская гравитация может рассматриваться как конкретный предел общей теории относительности, и Юргеном Элерсом, чтобы распространить это соответствие на конкретные решения общей теории относительности. .

Классические космические времена [ править ]

В теории Ньютона – Картана каждый начинает с гладкого четырехмерного многообразия и определяет две (вырожденные) метрики. Временная метрика с сигнатурой , используется для назначения временной длины для векторов на и пространственную метрику с подписью . Также необходимо , чтобы эти две метрики удовлетворяют трансверсальность (или «ортогональности») состояние, . Таким образом, классическое пространство-время определяется как упорядоченная четверка , где и , как описано, является совместимым с метрикой оператором ковариантной производной; и метрики удовлетворяют условию ортогональности. Можно сказать, что классическое пространство-время - это аналог релятивистского${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle t_ {ab}}$${\ displaystyle (1,0,0,0)}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle h ^ {ab}}$${\ Displaystyle (0,1,1,1)}$${\ displaystyle h ^ {ab} t_ {bc} = 0}$${\ displaystyle (M, t_ {ab}, h ^ {ab}, \ nabla)}$${\ displaystyle t_ {ab}}$${\ displaystyle h ^ {ab}}$${\ displaystyle \ nabla}$пространство-время , где - гладкая лоренцева метрика на многообразии .${\ displaystyle (M, g_ {ab})}$${\ displaystyle g_ {ab}}$${\ displaystyle M}$

Геометрическая формулировка уравнения Пуассона [ править ]

В теории тяготения Ньютона уравнение Пуассона гласит

${\ Displaystyle \ Delta U = 4 \ pi G \ rho \,}$

где - гравитационный потенциал, - гравитационная постоянная и - плотность массы. Принцип слабой эквивалентности мотивирует геометрическую версию уравнения движения точечной частицы в потенциале${\ displaystyle U}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle m_ {t} \, {\ ddot {\ vec {x}}} = - m_ {g} {\ vec {\ nabla}} U}$

где - инертная масса и гравитационная масса. Поскольку согласно принципу слабой эквивалентности соответствующее уравнение движения${\ displaystyle m_ {t}}$${\ displaystyle m_ {g}}$${\ displaystyle m_ {t} = m_ {g}}$

${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {x}}} = - {\ vec {\ nabla}} U}$

больше не содержит ссылки на массу частицы. Следуя идее, что решение уравнения тогда является свойством кривизны пространства, связь строится так, что уравнение геодезических

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ lambda}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} = 0}$

представляет собой уравнение движения точечной частицы в потенциале . Результирующая связь${\ displaystyle U}$

${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }=\gamma ^{\lambda \rho }U_{,\rho }\Psi _{\mu }\Psi _{\nu }}$

с и ( ). Связь была построена в одной инерциальной системе, но можно показать, что она действительна в любой инерциальной системе, показав инвариантность преобразований Галилея и относительно них. Тогда тензор кривизны Римана в координатах инерциальной системы этой связи имеет вид${\displaystyle \Psi _{\mu }=\delta _{\mu }^{0}}$${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu }=\delta _{A}^{\mu }\delta _{B}^{\nu }\delta ^{AB}}$${\displaystyle A,B=1,2,3}$${\displaystyle \Psi _{\mu }}$${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu }}$

${\displaystyle R_{\kappa \mu \nu }^{\lambda }=2\gamma ^{\lambda \sigma }U_{,\sigma [\mu }\Psi _{\nu ]}\Psi _{\kappa }}$

где скобки означают антисимметричную комбинацию тензора . Тензор Риччи дается${\displaystyle A_{[\mu \nu ]}={\frac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]}$${\displaystyle A_{\mu \nu }}$

${\displaystyle R_{\kappa \nu }=\Delta U\Psi _{\kappa }\Psi _{\nu }\,}$

что приводит к следующей геометрической формулировке уравнения Пуассона

${\displaystyle R_{\mu \nu }=4\pi G\rho \Psi _{\mu }\Psi _{\nu }}$

Более точно, если римские индексы i и j находятся в пределах пространственных координат 1, 2, 3, то связь задается формулой

${\displaystyle \Gamma _{00}^{i}=U_{,i}}$

тензор кривизны Римана

${\displaystyle R_{0j0}^{i}=-R_{00j}^{i}=U_{,ij}}$

а тензор Риччи и скаляр Риччи -

${\displaystyle R=R_{00}=\Delta U}$

где все компоненты, не указанные в списке, равны нулю.

Обратите внимание, что эта формулировка не требует введения концепции метрики: только соединение дает всю физическую информацию.

Лифт Баргманна [ править ]

Было показано, что четырехмерная теория гравитации Ньютона – Картана может быть переформулирована как редукция Калуцы – Клейна пятимерной гравитации Эйнштейна вдоль нулевого направления. ^[9] Этот подъем считается полезным для нерелятивистских голографических моделей. ^[10]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Картан Эли (1923), "Sur les varétés à affine affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24051 / asens.7
• Картан, Эли (1924), "Sur les varétés à connected affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1, doi : 10.24033 /asens.753
• Картан, Эли (1955), uvres complete , III / 1, Gauthier-Villars, стр. 659, 799.
• Ренн, Юрген; Schemmel, Matthias, eds. (2007), The Genesis of General Relativity , 4 , Springer, pp. 1107–1129. (Английский перевод статьи Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. № 40)
• Глава 1 Элерса, Юргена (1973), «Обзор общей теории относительности», в Израиле, Вернер (редактор), Относительность, астрофизика и космология , Д. Рейдель, стр. 1–125, ISBN 90-277-0369-8