Нильпотентная алгебра

В математике , особенно в теории колец , нильпотентная алгебра над коммутативным кольцом — это алгебра над коммутативным кольцом , в котором для некоторого положительного целого числа n каждое произведение, содержащее не менее n элементов алгебры, равно нулю. Понятие нильпотентной алгебры Ли имеет другое определение, которое зависит от скобки Ли . (Для многих алгебр над коммутативными кольцами нет скобки Ли; алгебра Ли включает свою скобку Ли, тогда как в общем случае алгебры над коммутативным кольцом скобка Ли не определена.) Другой возможный источник путаницы в терминологии: вквантовая нильпотентная алгебра , ^[1] понятие, связанное с квантовыми группами и алгебрами Хопфа .

Ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом определяется как нильпотентная алгебра тогда и только тогда, когда существует некоторое натуральное число такое, что для всех в алгебре . Наименьший такой называется индексом алгебры . ^[2] В случае неассоциативной алгебры определение состоит в том, что каждая другая мультипликативная ассоциация элементов равна нулю. ${\ Displaystyle А}$ ${\ Displaystyle Р}$ ${\ Displaystyle п}$ ${\ Displaystyle 0 = у_ {1} \ у_ {2} \ \ cdots \ у_ {п}}$ ${\ Displaystyle у_ {1}, \ у_ {2}, \ \ ldots, \ у_ {п}}$ ${\ Displaystyle А}$ ${\ Displaystyle п}$ ${\ Displaystyle А}$ ${\ Displaystyle п}$

Степенная ассоциативная алгебра, в которой каждый элемент алгебры нильпотентен , называется нильалгеброй . ^[3]

Нильпотентные алгебры тривиально являются нулевыми, тогда как нильалгебры могут не быть нильпотентными, поскольку нильпотентность каждого элемента не заставляет произведения различных элементов обращаться в нуль.