В математике , и, в частности, в математической основе теории струн , теорема Годдарда-Торна (также называемая теоремой об отсутствии призраков ) — это теорема, описывающая свойства функтора , квантовающего бозонные струны . Он назван в честь Питера Годдарда и Чарльза Торна .
Название «теорема об отсутствии призраков» происходит от того факта, что в исходной формулировке теоремы естественный скалярный продукт , индуцированный в выходном векторном пространстве, является положительно определенным. Таким образом, не было так называемых призраков ( духов Паули–Вилларса ) или векторов отрицательной нормы. Название «теорема об отсутствии призраков» также является игрой слов на основе теоремы о невозможности квантовой механики.
Есть два естественно изоморфных функтора, которые обычно используются для квантования бозонных струн. В обоих случаях начинают с представлений положительной энергии алгебры Вирасоро центрального заряда 26, снабженных Вирасоро-инвариантными билинейными формами, и заканчивают векторными пространствами, снабженными билинейными формами. Здесь «Вирасоро-инвариантный» означает , что L n сопряжена с L - n для всех целых чисел n .
Первый функтор исторически представляет собой «старое каноническое квантование», и он задается путем взятия частного первичного подпространства веса 1 по радикалу билинейной формы. Здесь «первичное подпространство» — это множество векторов, аннулируемых L n для всех строго положительных n , а «вес 1» означает, что L 0 действует тождественно. Второй, естественно изоморфный функтор, задается БРСТ-когомологиями степени 1. Более старые трактовки БРСТ-когомологий часто имеют сдвиг степени из-за изменения выбора БРСТ-заряда, поэтому в статьях и текстах, выпущенных до 1995 г., можно увидеть когомологии степени −1/2. Доказательство естественной изоморфности функторов может быть можно найти в разделе 4.4 текста Полчинского по теории струн .
Теорема Годдарда-Торна сводится к утверждению, что этот функтор квантования более или менее отменяет добавление двух свободных бозонов, как предположил Лавлейс в 1971 году. Точное утверждение Лавлейса заключалось в том, что при критической размерности 26 тождества Уорда типа Вирасоро отменяют два полных набора. осцилляторов. Математически это следующее утверждение:
Пусть V — унитаризуемое представление Вирасоро центрального заряда 24 с Вирасоро-инвариантной билинейной формой, и пусть π 1,1 λ — неприводимый модуль алгебры Ли Гейзенберга R 1,1 , присоединенный к ненулевому вектору λ в R 1,1 . Тогда образ V ⊗ π 1,1 λ при квантовании канонически изоморфен подпространству V, на котором L 0 действует посредством 1-(λ,λ).