Функция окна

В обработке сигналов и статистике оконная функция ( также известная как функция аподизации или функция сужения ^[1] ) представляет собой математическую функцию , которая принимает нулевое значение за пределами некоторого выбранного интервала ., обычно симметричный относительно середины интервала, обычно близкий к максимуму в середине и обычно сужающийся от середины. Математически, когда другая функция или сигнал/последовательность данных «умножается» на оконную функцию, произведение также имеет нулевое значение за пределами интервала: остается только та часть, где они перекрываются, «вид через окно». То же самое и на практике сначала изолируется сегмент данных внутри окна, а затем только эти данные умножаются на значения оконной функции. Таким образом, сужение , а не сегментация, является основной целью оконных функций.

Причины для изучения сегментов более длинной функции включают обнаружение переходных событий и усреднение по времени частотных спектров. Продолжительность сегментов определяется в каждом приложении такими требованиями, как разрешение по времени и частоте. Но этот метод также изменяет частотный состав сигнала за счет эффекта, называемого спектральной утечкой . Оконные функции позволяют распределять утечку по спектру различными способами в соответствии с потребностями конкретного приложения. В этой статье подробно описано множество вариантов, но многие различия настолько тонкие, что на практике не имеют значения.

В типичных приложениях используемые оконные функции представляют собой неотрицательные, гладкие, «колоколообразные» кривые. ^[2] Также можно использовать прямоугольник, треугольник и другие функции. Более общее определение оконных функций не требует, чтобы они были тождественно равны нулю за пределами интервала, пока произведение окна, умноженное на его аргумент, интегрируемо с квадратом , и, более конкретно, функция достаточно быстро стремится к нулю. ^[3]

Оконные функции используются в спектральном анализе /модификации/ ресинтезе ^[4] , при проектировании фильтров с конечной импульсной характеристикой , а также при формировании диаграммы направленности и проектировании антенн .

Преобразование Фурье функции cos( ωt ) равно нулю, за исключением частоты ± ω . Однако многие другие функции и сигналы не имеют удобных закрытых преобразований. С другой стороны, их спектральный состав может быть интересен только в течение определенного периода времени.

В любом случае преобразование Фурье (или подобное преобразование) может быть применено к одному или нескольким конечным интервалам сигнала. В общем, преобразование применяется к произведению сигнала и оконной функции. Любое окно (включая прямоугольное) влияет на спектральную оценку, вычисленную этим методом.

Популярная оконная функция, окно Ханна . Наиболее популярные оконные функции похожи на колоколообразные кривые.

Рис. 2: Окно синусоиды вызывает спектральную утечку. Утечка одинакова независимо от того, есть ли в окне целое (синий) или нецелое (красный) количество циклов (строки 1 и 2). Когда синусоида дискретизирована и подвергнута оконной обработке, ее преобразование Фурье с дискретным временем также демонстрирует ту же картину утечки (строки 3 и 4). Но когда DTFT выбирается редко, с определенным интервалом, возможно (в зависимости от вашей точки зрения): (1) избежать утечки или (2) создать иллюзию отсутствия утечки. В случае синего DTFT эти выборки являются выходными данными дискретного преобразования Фурье (DFT). Красный DTFT имеет тот же интервал пересечений нуля, но выборки DFT попадают между ними, и обнаруживается утечка.

Рисунок 3: На этом рисунке сравниваются потери при обработке трех оконных функций для синусоидальных входных сигналов как с минимальными, так и с максимальными потерями на фестончатость.

Рис. 4. Два разных способа создания 8-точечной оконной последовательности Гаусса ( σ  = 0,4) для приложений спектрального анализа. MATLAB называет их «симметричными» и «периодическими». Последнее также исторически называется ДПФ-четным .

Рисунок 5: Спектральные характеристики рассеяния функций на рисунке 4

Прямоугольное окно

Треугольное окно (с L  =  N  + 1)

Окно Парзена

Welch окно

Синусоидальное окно

окно Ханна

Окно Хэмминга, 0 ₌  0,53836 и 1 ₌  0,46164. Исходное окно Хэмминга имело бы 0 ₌  0,54 и 1 ₌  0,46.

Окно Блэкмана; α  = 0,16

Окно Наттолла, непрерывная первая производная

Окно Блэкмана-Наттолла

Окно Блэкмана-Харриса

Окно с плоским верхом

Окно Гаусса, σ  = 0,4

Ограниченное гауссово окно, σ _t  = 0,1

Приблизительное ограниченное гауссово окно, σ _t  = 0,1

Окно Тьюки, α  = 0,5

Планковское окно, ε  = 0,1

Окно DPSS, α  = 2

Окно DPSS, α  = 3

Окно Кайзера, α  = 2

Окно Кайзера, α  = 3

Окно Дольфа – Чебышева, α  = 5

Параметр µ окна Ultraspherical определяет, уменьшаются ли амплитуды боковых лепестков его преобразования Фурье, являются ли они ровными или (как показано здесь) увеличиваются с частотой.

Экспоненциальное окно, τ  =  N /2

Экспоненциальное окно, τ  = ( N /2)/( 60/8,69)

Окно Бартлетта-Ханна

Окно Планка–Бесселя, ε  = 0,1, α  = 4,45

Окно Ханна – Пуассона, α  = 2

Окно GAP (окно Nuttall, оптимизированное для GAP)

Окно Sinc или Lanczos

Оконные функции в частотной области («спектральная утечка»)