Нелинейный фриктиофорез

Эта статья, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Апрель 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Нелинейный фриктиофорез - это однонаправленный дрейф частицы в среде, вызванный периодической движущей силой с нулевым средним. Эффект возможен из-за нелинейной зависимости силы трения-сопротивления от скорости частицы. Он был открыт теоретически ^[1] и в основном известен как нелинейный электрофриктиофорез ^[1] . ^[2]На первый взгляд, периодическая движущая сила с нулевым средним значением способна вовлечь частицу в колебательное движение без однонаправленного дрейфа, потому что интегральный импульс, передаваемый частице силой, равен нулю. Возможность однонаправленного дрейфа можно распознать, если учесть, что частица сама теряет импульс, передавая его дальше среде, в которой она движется. Если трение нелинейное, то может случиться так, что потеря количества движения при движении в одном направлении не будет равна потере импульса в противоположном направлении, и это вызовет однонаправленный дрейф. Чтобы это произошло, зависимость движущей силы от времени должна быть более сложной, чем в случае одиночной синусоидальной гармоники.

Простой пример - пластик Бингема

Нелинейное трение

Простейшим случаем зависимости трения от скорости является закон Стокса :

${\ Displaystyle (1) \ qquad F_ {dr} (v) = \ лямбда v,}$

где - сила трения / сопротивления, приложенная к частице, движущейся со скоростью в среде. Закон трения-скорости (1) соблюдается для медленно движущейся сферической частицы в ньютоновской жидкости .${\ displaystyle F_ {dr} (v)}$${\ displaystyle v}$

Рис.1 Линейное трение

Он линейный, см. Рис. 1, и не подходит для проведения нелинейного фриктиофореза. Характерным свойством закона (1) является то, что любая, даже очень небольшая движущая сила способна заставить частицу двигаться. Это не относится к таким материалам, как пластик Bingham . Для этих сред необходимо приложить некоторую пороговую силу , чтобы заставить частицу двигаться. Этот вид закона трения-скорости (сухое трение) имеет скачкообразный разрыв при :${\ displaystyle d}$${\ displaystyle v = 0}$

${\ displaystyle (2) \ qquad F_ {dr} (v) = \ lambda v + d \ cdot \ mathrm {sign} (v).}$

Рис.2 Пример нелинейного трения

Он нелинейный, см. Рис. 2, и используется в этом примере.

Периодическая движущая сила

Пусть обозначает период движущей силы. Выберите значение времени , таким образом, что и два значения силы, , такие , что выполняются следующие соотношения:${\ displaystyle T> 0}$${\ displaystyle t_ {1}}$${\ displaystyle 0 <t_ {1} <T}$${\ displaystyle F ^ {+}> 0}$${\ Displaystyle F ^ {-} <0}$

${\ Displaystyle \ qquad \ qquad F ^ {+}> d, \ quad | F ^ {-} | <d,}$

${\ displaystyle (3) \ qquad F ^ {+} t_ {1} + F ^ {-} (T-t_ {1}) = 0.}$

Периодическая движущая сила, используемая в этом примере, следующая:${\ displaystyle f (t)}$

${\ displaystyle (4) \ qquad f (t) = {\ begin {cases} F ^ {+}, {\ text {if}} 0 <t \ leq t_ {1}, \\ F ^ {-}, {\ text {if}} t_ {1} <t \ leq T, \ quad f (t + T) = f (t). \ end {cases}}}$

Понятно, что в силу (3) имеет нулевое среднее:${\ displaystyle f (t)}$

${\ displaystyle \ int \ limits _ {0} ^ {T} f (t) dt = F ^ {+} t_ {1} + F ^ {-} (T-t_ {1}) = 0.}$

Рис.3 Пример с нулевой средней движущей силой

См. Также рис.3.

Однонаправленный дрейф

Для простоты мы рассматриваем здесь физическую ситуацию, когда инерцией можно пренебречь. Последнее может быть достигнуто, если масса частицы мала, скорость мала и трение велико. Эти условия должны гарантировать, что где время релаксации. В этой ситуации частица, движимая силой (4), немедленно начинает движение с постоянной скоростью в течение интервала и немедленно прекращает движение в течение интервала , см. Рис. 4.${\displaystyle \tau \ll t_{1}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle v^{+}={\frac {1}{\lambda }}(F^{+}-d)}$${\displaystyle 0<t\leq t_{1}}$${\displaystyle t_{1}<t\leq T}$

Рис.4 Скорость с ненулевым средним

Это приводит к положительной средней скорости однонаправленного дрейфа:

${\displaystyle \qquad \qquad {\overline {v(t)}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}v(t)dt={\frac {t_{1}}{\lambda T}}(F^{+}-d)>0.}$

Математический анализ

Проведен анализ возможности получения ненулевого дрейфа периодической силой с нулевым интегралом. ^[1] Уравнение безразмерное движения для частицы управляется периодической силой , , выглядит следующим образом :${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f(t+1)=f(t)}$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(t)dt=0}$

${\displaystyle (5)\qquad {\dot {v}}+\lambda v-\epsilon g(v)=f(t),}$

где сила трения / сопротивления удовлетворяет следующему:${\displaystyle F_{dr}(v)=\lambda v-\epsilon g(v)}$

${\displaystyle \qquad \qquad F_{dr}(-v)=-F_{dr}(v),\quad {\frac {d}{dv}}F_{dr}(v)\geq 0.}$

Это доказано в ^[1] , что любое решение (5) располагается на периодическом режим , , который имеет ненулевой вид:${\displaystyle v^{*}(t)}$${\displaystyle v^{*}(t+1)=v^{*}(t)}$

${\displaystyle \qquad \qquad {\overline {v^{*}(t)}}=\int \limits _{0}^{1}v^{*}(t)dt\neq 0,}$

почти наверняка при условии, что это не антипериодический препарат. ^[3]${\displaystyle f(t)}$

Для явным образом были рассмотрены два случая :${\displaystyle g(v)=v^{3}}$${\displaystyle f(t)}$

1. Пилообразная движущая сила, см. Рис. 5:

Рис.5 Пилообразная движущая сила

${\displaystyle \qquad \qquad f(t)=at,\quad t\in [-1/2;1/2],\quad f(t+1)=f(t),\quad t\in ]-\infty ;\infty [.}$

В этом случае, найдены в ^[1] первого порядка в приближении , имеет следующую среднюю величину:${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle v^{*}(t)}$${\displaystyle v_{1}^{*}(t)}$

${\displaystyle \qquad \qquad {\Big |}{\overline {v_{1}^{*}(t)}}{\Big |}\equiv {\Big |}\int \limits _{0}^{1}v_{1}^{*}(t)dt{\Big |}\geq {\frac {2}{3}}\epsilon a^{3}/\lambda ^{5}.}$

Эта оценка сделана ожидая .${\displaystyle \lambda \gg 1}$

2. Движущая сила двух гармоник,

${\displaystyle \qquad \qquad f(t)=a\cos(2\pi t)+b\cos(4\pi t+\psi ).}$

В этом случае первый порядок аппроксимации имеет следующее среднее значение:${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \qquad \qquad {\Big |}{\overline {v_{1}^{*}(t)}}{\Big |}={\Big |}\int \limits _{0}^{1}v_{1}^{*}(t)dt{\Big |}\geq {\frac {2}{27}}{\frac {\epsilon }{\lambda }}\left({\frac {M}{\lambda }}\right)^{3}{\frac {1}{(1+{\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}})(1+{\frac {16\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}})^{1/2}}}.}$

Это значение является максимальным в , , сохраняя постоянную. Интересно, что величина дрейфа зависит от и меняет свое направление в два раза по мере прохождения интервала . Другой тип анализа ^[4], основанный на нарушении симметрии, также предполагает, что нулевое среднее значение движущей силы способно вызвать направленный дрейф.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a+b=M}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle [0;2\pi ]}$

Приложения

Рис. 6 (a): сплошная линия - сила сопротивления на заряд на одиночном б.п. в зависимости от скорости, пунктирная линия - линейная аппроксимация для сравнения. (b): то же, что (a), но в мелком масштабе

В приложениях природа силы в (5) обычно электрическая, аналогичная силам, действующим во время стандартного электрофореза . Единственное отличие состоит в том, что сила периодическая и без постоянной составляющей.${\displaystyle f(t)}$

Чтобы эффект проявился, зависимость силы трения / сопротивления от скорости должна быть нелинейной. Так обстоит дело со многими веществами, известными как неньютоновские жидкости . Среди них гели и дилатантные жидкости , псевдопластические жидкости , жидкие кристаллы .^[5] Специализированные эксперименты ^[2] определили для стандартной лестницы ДНК длиной до 1500 п.н. в 1,5% агарозном геле. Найденная зависимость, см. Рис. 6, подтверждает возможность нелинейного фриктиофореза в такой системе. На основании данных, представленных на рис. 6, оптимальное время для возбуждения электрического поля с нулевым средним значением было найдено в ^[2].${\displaystyle F_{dr}(v)}$${\displaystyle E(t)}$ что обеспечивает максимальный дрейф для фрагмента длиной 1500 п.н., см. рис.7.

Рис. 7 Время курсы оптимальной электрического поля, , , стационарной скорости, и перемещения, . Значение дрейфа м / с.${\displaystyle E(t)}$${\displaystyle E(t\pm 1s)=E(t)}$${\displaystyle v^{*}(t)}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle {\overline {v^{*}(t)}}=0.31\mu }$

Эффект однонаправленного дрейфа, вызванный периодической силой с нулевым интегральным значением, имеет своеобразную зависимость от времени действия приложенной силы. Примеры см. В предыдущем разделе. Это открывает новое измерение для ряда проблем разделения.

Разделение ДНК по длине

При разделении фрагментов ДНК используется периодическое электрическое поле с нулевым средним периодическим электрическим полем в электрофорезе с нулевым интегральным полем (ZIFE) ^[6], где используется зависимость поля от времени, аналогичная показанной на рис. 3. Это позволяет разделять длинные фрагменты в агарозном геле, не разделяемые стандартным электрофорезом в постоянном поле. Длинная геометрия ДНК и способ ее движения в геле, известный как рептация , не позволяют напрямую применять соображения, основанные на уравнении. (5), выше.

Разделение по удельной массе

Было замечено ^[7], что при определенных физических условиях механизм, описанный в разделе «Математический анализ» выше, можно использовать для разделения по удельной массе, как частицы, состоящие из изотопов одного и того же материала.

Расширения

Идея организации направленного дрейфа с периодическим приводом с нулевым средним получила дальнейшее развитие для других конфигураций и других физических механизмов нелинейности.

Вращение с помощью круговой волны

Электрический диполь вращающийся свободно вокруг оси х в среде с нелинейным трением можно управлять путем применения электромагнитной волны , поляризованной по кругу вдоль и состоит из двух гармоник. Уравнение движения для этой системы следующее:${\displaystyle z}$${\displaystyle \pm z}$

${\displaystyle \qquad \qquad {\dot {\omega }}+\lambda \omega -\epsilon g(\omega )=f(t,\theta (t)),\quad {\dot {\theta }}=\omega ,}$

где - крутящий момент, действующий на диполь из-за круговой волны: ${\displaystyle f(t,\theta (t))}$

${\displaystyle (6)\qquad f(t,\theta (t))\sim |p|(A_{1}\cos(\omega t\pm \theta )+A_{2}\cos(2\omega t\pm \theta +\psi )),}$

где - составляющая дипольного момента, ортогональная оси -оси, определяющая направление диполя в плоскости. Путем выбора надлежащего фазового сдвига в (6) можно ориентировать диполя в любом желаемом направлении, . Направление достигается за счет углового дрейфа, который становится равным нулю, когда .^{[8] [9]} Небольшая расстройка между первой и второй гармониками в (6) приводит к непрерывному вращательному дрейфу. ^[9]${\displaystyle p}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle XY}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$

Модификация потенциальной функции

Рис. 8 Пример модификации потенциальной функции за счет нелинейного фриктиофореза. (а) начальная , (б) модифицированная .${\displaystyle U(x)}$${\displaystyle U(x)}$${\displaystyle U(x)}$

Если частица совершает направленный дрейф при свободном движении в соответствии с формулой (5), то он дрейфует аналогично, если наложить достаточно мелкое потенциальное поле . Уравнение движения в этом случае:${\displaystyle U(x)}$

${\displaystyle \qquad \qquad {\dot {v}}+\lambda v-\epsilon g(v)=f(t)-\phi (x),\quad {\dot {x}}=v,}$

где - сила, обусловленная потенциальным полем. Дрейф продолжается до тех пор, пока не будет встречен достаточно крутой участок , который может остановить дрейф. Подобное поведение, как показывает строгий математический анализ ^[10], приводит к модификации путем добавления линейного члена. Это может изменить качественно, например, путем изменения количества точек равновесия, см. Рис. 8. Эффект может быть существенным при воздействии высокочастотного электрического поля на биополимеры. ^[11]${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle U(x)}$${\displaystyle U(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U(x)}$

Другая нелинейность

Для электрофореза коллоидных частиц в электрическом поле малой напряженности сила в правой части уравнения (5) линейно пропорциональна напряженности приложенного электрического поля. При высокой прочности линейность нарушается из-за нелинейной поляризации. В результате сила может нелинейно зависеть от приложенного поля:${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle \qquad \qquad f(t)\sim E(t)+\alpha (E(t))^{3}.}$

В последнем выражении, даже если приложенное поле имеет нулевое среднее значение, приложенная сила может иметь постоянную составляющую, которая может вызвать направленный дрейф.^[12] Как указано выше, для этого должно быть более одной синусоидальной гармоники. Такого же эффекта для жидкости в трубке может служить электроосмотический насос с нулевым средним электрическим полем. ^[13]${\displaystyle E(t)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle E(t)}$

использованная литература