Бингхэм пластик

Майонез - это пластик Бингема. Поверхность имеет выступы и выступы, потому что пластмассы Bingham имитируют твердые тела при низких напряжениях сдвига.

Бингхам пластик представляет собой термопластичной материал , который ведет себя как твердое тело при низких напряжениях , но протекает в вязкой жидкости при высоких нагрузках. Он назван в честь Юджина Бингема , предложившего его математическую форму. ^[1]

Он используется в качестве общей математической модели из бурового раствора потока в бурении инженерных , и в обработке шламов . Типичным примером является зубной пасты , ^[2] , который не будет экструдирован до определенного давления , не применяется к трубе. Затем он выталкивается как относительно связная пробка.

Объяснение [ править ]

Рис. 1. Пластический поток Бингема, описанный Бингхэмом.

На рисунке 1 показан график поведения обычной вязкой (или ньютоновской) жидкости красным цветом, например, в трубе. Если давление на одном конце трубы увеличивается, это создает напряжение в жидкости, заставляющее ее двигаться (так называемое напряжение сдвига ), и объемный расход увеличивается пропорционально. Однако для жидкости Bingham Plastic (обозначена синим цветом) напряжение может быть приложено, но она не будет течь, пока не будет достигнуто определенное значение - предел текучести . За пределами этой точки скорость потока постоянно увеличивается с увеличением напряжения сдвига. Примерно так Бингхэм представил свое наблюдение при экспериментальном исследовании красок. ^[3]Эти свойства позволяют пластику Бингема иметь текстурированную поверхность с выступами и выступами вместо безликой поверхности, такой как ньютоновская жидкость .

Рис. 2. Пластический поток Бингема, описанный в настоящее время

На рисунке 2 показано, как это обычно представлено в настоящее время. ^[2] График показывает напряжение сдвига по вертикальной оси и скорость сдвига по горизонтальной оси . (Объемный расход зависит от размера трубы, скорость сдвига является мерой того, как скорость изменяется с расстоянием. Она пропорциональна расходу, но не зависит от размера трубы.) Как и раньше, ньютоновская жидкость течет и дает скорость сдвига для любого конечного значения напряжения сдвига. Однако пластик Бингема снова не демонстрирует никакой скорости сдвига (отсутствие потока и, следовательно, отсутствие скорости) до тех пор, пока не будет достигнуто определенное напряжение. Для ньютоновской жидкости наклон этой линии представляет собой вязкость, который является единственным параметром, необходимым для описания его потока. Напротив, для пластика Бингема требуются два параметра: предел текучести и наклон линии, известный как пластическая вязкость .

Физическая причина такого поведения заключается в том, что жидкость содержит частицы (например, глина) или большие молекулы (например, полимеры), которые взаимодействуют друг с другом, создавая слабую твердую структуру, ранее известную как ложное тело , и определенное количество требуется напряжение, чтобы сломать эту структуру. После разрушения структуры частицы перемещаются вместе с жидкостью под действием сил вязкости. Если напряжение снимается, частицы снова объединяются.

Определение [ править ]

Материал представляет собой упругое твердое тело для напряжения сдвига , меньшего критического значения . После превышения критического напряжения сдвига (или « предела текучести ») материал течет таким образом, что скорость сдвига ∂ u / ∂ y (как определено в статье о вязкости ) прямо пропорциональна величине, на которую приложенное напряжение сдвига превышает предел текучести: ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle \ tau _ {0}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = {\ begin {case} 0, & \ tau <\ tau _ {0} \\ {\ frac {\ tau - \ tau _ {0 }} {\ mu _ {\ infty}}}, & \ tau \ geq \ tau _ {0} \ end {case}}}

Формулы коэффициента трения [ править ]

В потоке жидкости часто возникает проблема расчета падения давления в установленной трубопроводной сети. ^[4] Как только коэффициент трения f известен, становится легче решать различные проблемы с потоком в трубопроводе, а именно. расчет падения давления для оценки затрат на перекачку или для определения расхода в трубопроводной сети при заданном падении давления. Обычно чрезвычайно трудно прийти к точному аналитическому решению для расчета коэффициента трения, связанного с потоком неньютоновских жидкостей, и поэтому для его расчета используются явные приближения. После расчета коэффициента трения падение давления для данного потока можно легко определить с помощью уравнения Дарси – Вайсбаха :

{\ displaystyle f = {2h _ {\ text {f}} gD \ over LV ^ {2}}}

где:

${\ displaystyle h _ {\ text {f}}}$ потеря напора на трение ( единицы СИ : м)
${\ displaystyle f}$ является коэффициентом трения Дарси (единицы СИ: безразмерный)
${\ displaystyle L}$ длина трубы (единицы СИ: м)
${\ displaystyle g}$ - ускорение свободного падения (единицы СИ: м / с²)
${\ displaystyle D}$ диаметр трубы (единицы СИ: м)
${\ displaystyle V}$ - средняя скорость жидкости (единицы СИ: м / с)

Ламинарный поток [ править ]

Точное описание потерь на трение для пластмасс Бингема в полностью развитом ламинарном потоке труб было впервые опубликовано Бэкингемом. ^[5] Его выражение, уравнение Бэкингема – Райнера , можно записать в безразмерной форме следующим образом:

{\ displaystyle f _ {\ text {L}} = {64 \ over \ operatorname {Re}} \ left [1 + {\ operatorname {He} \ over 6 \ operatorname {Re}} - {64 \ over 3} \ left ({\ operatorname {He} ^ {4} \ over f ^ {3} \ operatorname {Re} ^ {7}} \ right) \ right]}

где:

${\ displaystyle f}$ коэффициент трения Дарси ламинарного потока (единицы СИ: безразмерные)
$\operatorname {Re}$ число Рейнольдса (единицы СИ: безразмерные)
$\operatorname {He}$ число Хедстрема (единицы СИ: безразмерные)

Число Рейнольдса и число Хедстрема соответственно определяются как:

\operatorname {Re} ={\rho VD \over \mu },

и

\operatorname {He} ={\rho D^{2}\tau _{o} \over \mu ^{2}}

где:

$\rho$ - массовая плотность жидкости (единицы СИ: кг / м ³ )
$\mu$ это динамическая вязкость жидкости (единицы СИ: кг / мс)
$\tau _{o}$ предел текучести (предел текучести) жидкости (единицы СИ: Па)

Турбулентный поток [ править ]

Дарби и Мелсон разработали эмпирическое выражение ^[6], которое затем было уточнено и дается следующим образом: ^[7]

f_{\text{T}}=4\times 10^{a}\operatorname {Re} ^{-0.193}

где:

$f_{\text{T}}$ коэффициент трения турбулентного потока (единицы СИ: безразмерные)
$a=-1.47\left[1+0.146e^{-2.9\times {10^{-5}}\operatorname {He} }\right]$

Примечание: выражение Дарби и Мелсона предназначено для коэффициента трения Фаннинга, и его необходимо умножить на 4, чтобы использовать в уравнениях потерь на трение, расположенных в другом месте на этой странице.

Аппроксимации уравнения Бэкингема – Райнера [ править ]

Хотя точное аналитическое решение уравнения Бэкингема – Райнера может быть получено, поскольку это полиномиальное уравнение четвертого порядка по f , из-за сложности решения оно редко используется. Поэтому исследователи попытались разработать явные приближения для уравнения Букингема – Райнера.

Уравнение Свами – Аггарвала [ править ]

Уравнение Свами – Аггарвала используется для непосредственного решения коэффициента трения Дарси – Вайсбаха f для ламинарного течения пластических жидкостей Бингема. ^[8] Это приближение неявного уравнения Бакингема – Райнера , но расхождение с экспериментальными данными находится в пределах точности данных. Уравнение Свами – Аггарвала определяется следующим образом:

f_{L}={64 \over \mathrm {Re} }+{64 \over \mathrm {Re} }\left({\mathrm {He} \over 6.2218\mathrm {Re} }\right)^{0.958}

Решение Дании – Кумара [ править ]

Датский и др. предоставили явную процедуру для вычисления коэффициента трения f с использованием метода разложения Адомиана. ^[9] Коэффициент трения, содержащий два члена с помощью этого метода, определяется как:

f_{L}={\frac {K_{1}+{\dfrac {4K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{3}}}}{1+{\dfrac {3K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{4}}}}}

где

K_{1}={16 \over \mathrm {Re} }+{16\mathrm {He} \over 6\mathrm {Re} ^{2}},

и

K_{2}=-{16\mathrm {He} ^{4} \over 3\mathrm {Re} ^{8}}.

Комбинированное уравнение для коэффициента трения для всех режимов потока [ править ]

Уравнение Дарби – Мелсона [ править ]

В 1981 году Дарби и Мелсон, используя подход Черчилля ^[10] и Черчилля и Усаги ^[11], разработали выражение для получения единого уравнения коэффициента трения, действительного для всех режимов потока: ^[6]

f=\left[{f_{\text{L}}}^{m}+{f_{\text{T}}}^{m}\right]^{\frac {1}{m}}

где:

m=1.7+{40000 \over \operatorname {Re} }

Как уравнение Свами-Аггарвала, так и уравнение Дарби-Мелсона можно объединить, чтобы получить явное уравнение для определения коэффициента трения пластических жидкостей Бингема в любом режиме. Относительная шероховатость не является параметром ни в одном из уравнений, поскольку коэффициент трения пластичных жидкостей Бингема не чувствителен к шероховатости трубы.

См. Также [ править ]

Число Багнольда
Принцип Бернулли
Модель Бингама-Папанастасиу
Реология

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Bingham, EC (1916). «Исследование законов пластического течения». Вестник Бюро стандартов . 13 (2): 309–353. DOI : 10,6028 / bulletin.304 . hdl : 2027 / mdp.39015086559054 .
^ а б Штеффе, JF (1996). Реологические методы в пищевой промышленности (2-е изд.). ISBN 0-9632036-1-4.
Перейти ↑ Bingham, EC (1922). Текучесть и пластичность . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . п. 219.
^ Дарби, Рон (1996). "Глава 6". Химическая инженерия, механика жидкостей . Марсель Деккер . ISBN 0-8247-0444-4.
Перейти ↑ Buckingham, E. (1921). «О пластическом течении через капиллярные трубки». Протоколы ASTM . 21 : 1154–1156.
^ a b Дарби Р. и Мелсон Дж. (1981). «Как предсказать коэффициент трения для потока пластмасс Бингема». Химическая инженерия 28 : 59–61.
^ Дарби, R .; и другие. (Сентябрь 1992 г.). «Прогноз потерь на трение в шламовых трубах». Химическая инженерия .
^ Swamee, ПК и Аггарваль, Н. (2011). «Явные уравнения ламинарного течения пластических жидкостей Бингема». Журнал нефтегазовой науки и техники . DOI : 10.1016 / j.petrol.2011.01.015 .
^ Датский, М. и др. (1981). «Приближенные явные аналитические выражения коэффициента трения для потока жидкости Бингема в гладких трубах с использованием метода разложения Адомиана». Связь в нелинейной науке и численном моделировании 16 : 239–251.
↑ Черчилль, ЮЗ (7 ноября 1977 г.). «Уравнение коэффициента трения охватывает все режимы течения жидкости». Химическая инженерия : 91–92.
^ Черчилль, SW; Усаги, Р.А. (1972). «Общее выражение для соотношения скоростей передачи и других явлений». Журнал Айше . 18 (6): 1121–1128. DOI : 10.1002 / aic.690180606 .

[1] Перейти ↑ Bingham, EC (1916). «Исследование законов пластического течения». Вестник Бюро стандартов . 13 (2): 309–353. DOI : 10,6028 / bulletin.304 . hdl : 2027 / mdp.39015086559054 .

[Steffe-2] а б Штеффе, JF (1996). Реологические методы в пищевой промышленности (2-е изд.). ISBN 0-9632036-1-4.

[3] Перейти ↑ Bingham, EC (1922). Текучесть и пластичность . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл . п. 219.

[4] Дарби, Рон (1996). "Глава 6". Химическая инженерия, механика жидкостей . Марсель Деккер . ISBN 0-8247-0444-4.

[5] Перейти ↑ Buckingham, E. (1921). «О пластическом течении через капиллярные трубки». Протоколы ASTM . 21 : 1154–1156.

[Darby-6] Дарби Р. и Мелсон Дж. (1981). «Как предсказать коэффициент трения для потока пластмасс Бингема». Химическая инженерия 28 : 59–61.

[Darbyetal-7] Дарби, R .; и другие. (Сентябрь 1992 г.). «Прогноз потерь на трение в шламовых трубах». Химическая инженерия .

[8] Swamee, ПК и Аггарваль, Н. (2011). «Явные уравнения ламинарного течения пластических жидкостей Бингема». Журнал нефтегазовой науки и техники . DOI : 10.1016 / j.petrol.2011.01.015 .

[9] Датский, М. и др. (1981). «Приближенные явные аналитические выражения коэффициента трения для потока жидкости Бингема в гладких трубах с использованием метода разложения Адомиана». Связь в нелинейной науке и численном моделировании 16 : 239–251.

[10] Черчилль, ЮЗ (7 ноября 1977 г.). «Уравнение коэффициента трения охватывает все режимы течения жидкости». Химическая инженерия : 91–92.

[11] Черчилль, SW; Усаги, Р.А. (1972). «Общее выражение для соотношения скоростей передачи и других явлений». Журнал Айше . 18 (6): 1121–1128. DOI : 10.1002 / aic.690180606 .

[1]