Вязкопластичность - это теория механики сплошных сред, которая описывает зависящее от скорости неупругое поведение твердых тел. Зависимость от скорости в данном контексте означает, что деформация материала зависит от скорости приложения нагрузок . [1] Неупругое поведение, которое является предметом вязкопластичности, является пластической деформацией, что означает, что материал претерпевает неустранимые деформации при достижении уровня нагрузки. Пластичность, зависящая от скорости, важна для расчетов переходной пластичности. Основное различие между не зависящими от скорости моделями пластических и вязкопластических материалов заключается в том, что последние не только демонстрируют остаточные деформации после приложения нагрузок, но и продолжают подвергаться постоянным деформациям.ползучесть как функция времени под действием приложенной нагрузки.
Упругий отклик вязкопластических материалов может быть одномерно представлен пружинными элементами Гука . Зависимость от скорости может быть представлена нелинейными элементами диаграммы аналогично вязкоупругости . Пластичность можно учесть, добавив фрикционные элементы скольжения, как показано на рисунке 1. [2] На рисунке E - это модуль упругости , λ - параметр вязкости, а N - параметр степенного типа, который представляет собой нелинейную диаграмму [2]. σ (dε / dt) = σ = λ (dε / dt) (1 / N) ]. Элемент скольжения может иметь предел текучести (σ y ), зависящий от скорости деформации или даже постоянный, как показано на рисунке 1c.
Вязкопластичность обычно моделируется в трех измерениях с использованием моделей перенапряжения типа Perzyna или Duvaut-Lions. [3] В этих моделях напряжению позволяют увеличиваться за пределы поверхности текучести, не зависящей от скорости, при приложении нагрузки, а затем позволяют расслабиться обратно к поверхности текучести с течением времени. В таких моделях обычно предполагается, что поверхность текучести не зависит от скорости. Альтернативный подход состоит в том, чтобы добавить зависимость скорости деформации к пределу текучести и использовать методы независимой от скорости пластичности для расчета реакции материала [4]
Для металлов и сплавов вязкопластичность - это макроскопическое поведение, вызванное механизмом, связанным с движением дислокаций в зернах , с наложенными эффектами межкристаллитного скольжения. Этот механизм обычно становится доминирующим при температурах, превышающих примерно одну треть абсолютной температуры плавления. Однако некоторые сплавы проявляют вязкопластичность при комнатной температуре (300 К). Для полимеров , древесины и битума теория вязкопластичности необходима для описания поведения, выходящего за пределы эластичности или вязкоупругости .
В целом теории вязкопластичности полезны в таких областях, как
- расчет остаточных деформаций,
- прогноз пластического обрушения конструкций,
- исследование устойчивости,
- моделирование аварии,
- системы, подверженные воздействию высоких температур, такие как турбины в двигателях, например, электростанции,
- динамические задачи и системы, подверженные высоким скоростям деформации.
История
Исследования по теории пластичности началось в 1864 году с работой Анри Треска , [5] Сен - Венана (1870 г.) и Леви (1871) [6] на максимальной сдвига критерия . [7] Усовершенствованная модель пластичности была представлена в 1913 году фон Мизесом [8], которая теперь называется критерием текучести фон Мизеса . В области вязкопластичности разработка математической модели восходит к 1910 году с представлением первичной ползучести по закону Андраде. [9] В 1929 году Нортон [10] разработал одномерную модель дашпота, которая связала скорость вторичной ползучести с напряжением. В 1934 г. Одквист [11] обобщил закон Нортона на многоосевой случай.
Такие концепции, как нормальность пластического течения относительно поверхности текучести и правила течения для пластичности, были введены Прандтлем (1924) [12] и Ройссом (1930). [13] В 1932 году Хохенемзер и Прагер [14] предложили первую модель медленного вязкопластического течения. Эта модель обеспечивала связь между девиаторным напряжением и скоростью деформации для несжимаемого твердого тела Бингема [15]. Однако применение этих теорий началось не раньше 1950 года, когда были открыты предельные теоремы.
В 1960 году первый симпозиум IUTAM «Ползучесть конструкций», организованный Хоффом [16], обеспечил серьезное развитие вязкопластичности благодаря работам Хоффа, Работнова, Перзины, Хульта и Леметра по законам изотропного упрочнения и Кратохвилю, Малинини. и Khadjinsky, Ponter и Leckie, и Chaboche для кинематических законов упрочнения . Perzyna в 1963 году ввел коэффициент вязкости, зависящий от температуры и времени. [17] Сформулированные модели были поддержаны термодинамики в необратимых процессов и феноменологической точки зрения. Идеи, представленные в этих работах, легли в основу большинства последующих исследований пластичности, зависящей от скорости.
Феноменология
Для качественного анализа выполняется несколько характерных тестов для описания феноменологии вязкопластических материалов. Некоторые примеры этих тестов: [9]
- испытания на упрочнение при постоянном напряжении или скорости деформации,
- испытания на ползучесть при постоянной силе, и
- снятие напряжений при постоянном удлинении.
Испытание на деформационное упрочнение
Одним из следствий текучести является то, что по мере развития пластической деформации требуется увеличение напряжения для создания дополнительной деформации . Это явление известно как деформационное / деформационное упрочнение . [18] Для вязкопластического материала кривые упрочнения существенно не отличаются от кривых для не зависящего от скорости пластического материала. Тем не менее можно заметить три существенных отличия.
- При одной и той же деформации, чем выше скорость деформации, тем выше напряжение.
- Изменение скорости деформации во время испытания приводит к немедленному изменению кривой зависимости напряжения от деформации.
- Концепция предела текучести пластика больше не применима строго.
Гипотеза разделения деформаций путем разделения упругой и пластической частей все еще применима, когда деформации небольшие, [3] т.е.
где - упругая деформация и - вязкопластическая деформация. Чтобы получить поведение «напряжение-деформация», показанное на рисунке синим цветом, материал сначала нагружают со скоростью деформации 0,1 / с. Затем скорость деформации мгновенно повышается до 100 / с и некоторое время поддерживается постоянной на этом значении. В конце этого периода времени скорость деформации мгновенно снижается до 0,1 / с, и цикл продолжается для увеличения значений деформации. Очевидно, что существует задержка между изменением скорости деформации и реакцией на напряжение. Это запаздывание довольно точно моделируется моделями перенапряжения (такими как модель Пержина ), но не моделями не зависящей от скорости пластичности, которые имеют зависимый от скорости предел текучести.
Испытание на ползучесть
Ползучесть - это тенденция твердого материала к медленному перемещению или постоянной деформации при постоянных напряжениях. Испытания на ползучесть измеряют реакцию на деформацию из-за постоянного напряжения, как показано на рисунке 3. Классическая кривая ползучести представляет эволюцию деформации как функцию времени в материале, подвергающемся одноосному напряжению при постоянной температуре. Например, испытание на ползучесть выполняется путем приложения постоянной силы / напряжения и анализа реакции системы на деформацию. В целом, как показано на Рисунке 3b, эта кривая обычно показывает три фазы или периода поведения [9]
- Первичная ползучесть стадия, также известная как неустановившаяся ползучесть, является начальным этапом , в течение которого затвердения материала приводит к уменьшению скорости потока , которая изначально очень высоки..
- На стадии вторичной ползучести , также известной как установившееся состояние, скорость деформации постоянна..
- Третичная ползучесть фаза , в которой происходит увеличение в скорости деформации до деформации разрушения..
Тест на релаксацию
Как показано на рисунке 4, испытание на релаксацию [19] определяется как реакция на напряжение из-за постоянной деформации в течение определенного периода времени. В вязкопластических материалах релаксационные испытания демонстрируют релаксацию напряжений при одноосном нагружении при постоянной деформации. Фактически, эти тесты характеризуют вязкость и могут использоваться для определения взаимосвязи, существующей между напряжением и скоростью вязкопластической деформации. Разложение скорости деформации:
Упругая часть скорости деформации определяется выражением
Для плоского участка кривой зависимости деформации от времени полная скорость деформации равна нулю. Следовательно, мы имеем
Следовательно, кривую релаксации можно использовать для определения скорости вязкопластической деформации и, следовательно, вязкости демпфера в одномерной модели вязкопластичного материала. Остаточное значение, которое достигается, когда напряжение выходит на плато в конце теста на релаксацию, соответствует верхнему пределу упругости. Для некоторых материалов, таких как каменная соль, такой верхний предел упругости достигается при очень малом значении напряжения, и испытания на релаксацию могут продолжаться более года без какого-либо наблюдаемого плато в напряжении.
Важно отметить, что тесты на релаксацию чрезвычайно сложно выполнять, потому что поддержание состояния в тесте требует значительной деликатности. [20]
Реологические модели вязкопластичности
Одномерные конститутивные модели вязкопластичности, основанные на элементах пружины-демпфера-ползуна, включают [3] идеально вязкопластическое твердое тело, эластичное идеально вязкопластическое твердое тело и упруговязкопластическое твердое тело. Элементы могут быть соединены последовательно или параллельно . В моделях, в которых элементы соединены последовательно, деформация является аддитивной, в то время как напряжение в каждом элементе одинаково. В параллельных соединениях напряжение является аддитивным, в то время как деформации одинаковы в каждом элементе. Многие из этих одномерных моделей можно обобщить до трех измерений для режима малых деформаций. В последующем обсуждении скорости деформации и напряжения со временем записываются как а также , соответственно.
Совершенно вязкопластическое твердое тело (модель Нортона-Хоффа)
В идеально вязкопластическом твердом теле, также называемом моделью вязкопластичности Нортона-Хоффа, напряжение (как и для вязких жидкостей) является функцией скорости остаточной деформации. В модели не учитывается эффект упругости, т. Е. и, следовательно, отсутствует начальный предел текучести, т. е. . У вязкого дашпота есть ответ, который дает
где это вязкость дашпота. В модели Нортона-Хоффа вязкость является нелинейной функцией приложенного напряжения и определяется выражением
где - подгоночный параметр, λ - кинематическая вязкость материала, . Тогда скорость вязкопластической деформации определяется соотношением
В одномерном виде модель Нортона-Хоффа может быть выражена как
Когда твердое тело вязкоупругое .
Если предположить, что пластическое течение изохорично (с сохранением объема), то указанное выше соотношение может быть выражено в более знакомой форме [21]
где - тензор девиаторных напряжений ,- эквивалентная скорость деформации по Мизесу , апараметры материала. Эквивалентная скорость деформации определяется как
Эти модели могут применяться для металлов и сплавов при температурах выше двух третей [21] их абсолютной точки плавления (в градусах Кельвина) и полимеров / асфальта при повышенной температуре. Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 6.
Упругое идеально вязкопластическое твердое тело (модель Бингема – Нортона)
Можно использовать два типа элементарных подходов для создания упруго-идеально вязкопластической моды. В первой ситуации трения скольжения элемент и демпфер расположены параллельно , а затем соединены последовательно к упругой пружине , как показаны на рисунке 7. Эта модель называется моделью Бингам-Максвелл (по аналогии с моделью Максвелла и Bingham модель ) или модель Бингема – Нортона . [22] Во втором случае все три элемента расположены параллельно. Такая модель называется моделью Бингама – Кельвина по аналогии с моделью Кельвина .
Для упруго-идеально вязкопластических материалов упругая деформация больше не считается незначительной, но скорость пластической деформации является только функцией начального напряжения текучести и не влияет на упрочнение. Скользящий элемент представляет собой постоянное напряжение текучести при превышении предела упругости независимо от деформации. Модель может быть выражена как
где - вязкость элемента дашпота. Если элемент dashpot имеет ответ в форме Norton
мы получаем модель Бингема – Нортона
Другие выражения для скорости деформации также можно найти в литературе [22] в общем виде
Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 8.
Упруговязкопластическое твердое тело
Упруго-вязкопластический материал с деформационным упрочнением описывается уравнениями, аналогичными уравнениям для упруговязкопластического материала с идеальной пластичностью. Однако в этом случае напряжение зависит как от скорости пластической деформации, так и от самой пластической деформации. Для упруговязкопластического материала напряжение после превышения предела текучести продолжает увеличиваться за пределы начальной точки текучести. Это означает, что предел текучести в элементе скольжения увеличивается с деформацией, и модель может быть выражена в общих терминах как
- .
Эта модель применяется, когда металлы и сплавы находятся при средних и высоких температурах, а древесина - при высоких нагрузках. Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 9.
Модели пластичности, зависящие от скорости деформации
Классические феноменологические модели вязкопластичности для малых деформаций обычно делятся на два типа: [3]
- формулировка Perzyna
- формулировка Дуво-Лайонса
Состав Perzyna
В формулировке Perzyna предполагается, что скорость пластической деформации задается определяющим соотношением вида
где - функция доходности ,это стресс Коши ,представляет собой набор внутренних переменных (таких как пластическая деформация ), время релаксации. Обозначениеобозначает скобки Маколея . Правило потока, используемое в различных версиях модели Чабоша, является частным случаем правила потока Перзины [23] и имеет вид
где квазистатическое значение а также это бэкстресс . Некоторые модели для опоры также носят название модели Chaboche .
Формулировка Дуво-Лайонса
Формулировка Duvaut-Lions эквивалентна формулировке Perzyna и может быть выражена как
где - тензор упругой жесткости, - ближайшая точечная проекция напряженного состояния на границу области, ограничивающей все возможные упругие напряженные состояния. Количество обычно находится из независимого от скорости решения проблемы пластичности.
Модели напряжения течения
Количество представляет собой эволюцию поверхности текучести . Функция доходностичасто выражается в виде уравнения, состоящего из некоторого инварианта напряжения и модели для предела текучести (или напряжения пластического течения). Примером может служить фон Мизес илипластичность. В этих ситуациях скорость пластической деформации рассчитывается таким же образом, как и пластичность, не зависящая от скорости. В других ситуациях модель предела текучести позволяет напрямую вычислить скорость пластической деформации.
Для расчета пластичности используются многочисленные эмпирические и полуэмпирические модели напряжения течения. Следующие модели, зависящие от температуры и скорости деформации, представляют собой выборку моделей, используемых в настоящее время:
- модель Джонсона – Кука
- модель Стейнберга – Кокрана – Гинан – Лунда.
- модель Зерилли – Армстронга.
- Модель механического порогового напряжения.
- модель Престона – Тонкс – Уоллеса.
Модель Джонсона – Кука (JC) [24] является чисто эмпирической и является наиболее широко используемой из пяти. Однако эта модель демонстрирует нереально малую зависимость скорости деформации при высоких температурах. Модель Стейнберга – Кохрана – Гинан – Лунда (SCGL) [25] [26] является полуэмпирической. Модель является чисто эмпирической и не зависит от скорости деформации при высоких скоростях деформации. Растяжение на основе дислокаций, основанное на [27] , используется при низких скоростях деформации. Модель SCGL широко используется сообществом физиков ударов. Модель Зерилли – Армстронга (ZA) [28] - это простая физически обоснованная модель, которая широко использовалась. Более сложной моделью, основанной на идеях динамики дислокаций, является модель механического порогового напряжения (MTS). [29] Эта модель использовалась для моделирования пластической деформации меди, тантала, [30] сплавов стали, [31] [32] и алюминиевых сплавов. [33] Однако модель MTS ограничена скоростью деформации менее 10 7 / с. Модель Престона – Тонкса – Уоллеса (PTW) [34] также имеет физическую основу и имеет форму, аналогичную модели MTS. Однако в модели PTW есть компоненты, которые могут моделировать пластическую деформацию в режиме перегруженного удара (скорости деформации выше 10 7 / с). Следовательно, эта модель действительна для самого большого диапазона скоростей деформации среди пяти моделей напряжения течения.
Модель напряжения течения Джонсона – Кука
Модель Джонсона – Кука (JC) [24] является чисто эмпирической и дает следующее соотношение для напряжения течения ()
где это эквивалентная пластическая деформация ,- скорость пластической деформации , а материальные константы.
Нормализованная скорость деформации и температура в уравнении (1) определяются как
где - эффективная скорость пластической деформации квазистатического испытания, используемого для определения параметров текучести и упрочнения A, B и n. Это не так, как часто думают, просто параметр, позволяющийбезразмерный. [35] эталонная температура, и - эталонная температура плавления . Для условий, когда, мы предполагаем, что .
Модель напряжения течения Стейнберга-Кохрана-Гинан-Лунда
Модель Steinberg – Cochran – Guinan – Lund (SCGL) - это полуэмпирическая модель, разработанная Steinberg et al. [25] для ситуаций с высокой скоростью деформации и распространен на материалы с низкой скоростью деформации и ОЦК материалы Стейнбергом и Лундом. [26] Напряжение течения в этой модели определяется выражением
где - атермическая составляющая напряжения течения, - функция деформационного упрочнения, - термически активированная составляющая напряжения течения, - модуль сдвига, зависящий от давления и температуры, а - модуль сдвига при стандартной температуре и давлении. Величина насыщения атермического напряжения составляет. Насыщением термически активированного напряжения является напряжение Пайерлса (). Модуль сдвига для этой модели обычно вычисляется с помощью модели модуля сдвига Стейнберга – Кохрана – Гинана .
Функция деформационного упрочнения () имеет вид
где - параметры деформационного упрочнения, а - начальная эквивалентная пластическая деформация.
Тепловая составляющая () вычисляется с использованием алгоритма деления пополам из следующего уравнения. [26] [27]
где - энергия образования пары изломов на дислокационном сегменте длиной, - постоянная Больцмана ,- это напряжение Пайерлса . Константы задаются соотношениями
где - плотность дислокаций , - длина дислокационного сегмента, расстояние между долинами Пайерлса ,- величина вектора Бюргерса ,- частота Дебая ,ширина петли перегиба , а- коэффициент лобового сопротивления .
Модель напряжения течения Зерилли – Армстронга
Модель Зерилли – Армстронга (ZA) [28] [36] [37] основана на упрощенной дислокационной механике. Общая форма уравнения для напряжения течения:
В этой модели - атермическая составляющая напряжения течения, определяемая по формуле
где - вклад растворенных веществ и начальной плотности дислокаций, - интенсивность микроструктурных напряжений, - средний диаметр зерна, равен нулю для материалов с ГЦК, материальные константы.
В термически активированных условиях функциональные формы показателей степени а также находятся
где - параметры материала, зависящие от типа материала (ГЦК, ОЦК, ГПУ, сплавы). Модель Зерилли – Армстронга была модифицирована [38] для улучшения характеристик при высоких температурах.
Модель механического порогового напряжения, текучести
Модель механического порогового напряжения (MTS) [29] [39] [40] ) имеет вид
где - атермическая составляющая механического порогового напряжения, является составляющей напряжения течения из-за внутренних барьеров для термически активированного движения дислокаций и дислокационно-дислокационных взаимодействий, - составляющая напряжения течения, обусловленная эволюцией микроструктуры с увеличением деформации (деформационное упрочнение), () являются масштабными коэффициентами, зависящими от температуры и скорости деформации, и - модуль сдвига при 0 K и атмосферном давлении.
Коэффициенты масштабирования принимают форму Аррениуса
где - постоянная Больцмана, - величина вектора Бюргерса, () - нормированные энергии активации, () - скорость деформации и эталонная скорость деформации, а () являются константами.
Компонент деформационного упрочнения порогового механического напряжения () задается эмпирическим модифицированным законом Воуса
где
а также - упрочнение из-за скопления дислокаций, - вклад от упрочнения IV стадии, () - константы, - напряжение при нулевой скорости деформационного упрочнения, - пороговое напряжение насыщения для деформации при 0 K, является константой, а - максимальная скорость деформации. Обратите внимание, что максимальная скорость деформации обычно ограничивается примерно/ с.
Модель напряжения течения Престона – Тонкса – Уоллеса
Модель Престона-Тонкса-Уоллеса (PTW) [34] пытается предоставить модель напряжения течения для экстремальных скоростей деформации (до 10 11 / с) и температур вплоть до плавления. В модели использован линейный закон упрочнения Воуса. Напряжение потока PTW определяется выражением
с участием
где - нормализованное напряжение насыщения деформационного упрочнения, ценность при 0К, - нормированный предел текучести, - константа упрочнения в законе упрочнения Воуса, а - безразмерный параметр материала, изменяющий закон упрочнения Воуса.
Напряжение насыщения и предел текучести определяются как
где ценность близкой к температуре плавления, () - значения при 0 К и близкой к плавлению соответственно материальные константы, , () - параметры материала для режима высокой скорости деформации, а
где это плотность, а это атомная масса.
Смотрите также
- Вязкоупругость
- Бингхэм пластик
- Dashpot
- Ползучесть (деформация)
- Пластичность (физика)
- Механика сплошной среды
- Квазитвердый
Рекомендации
- ^ Perzyna, П. (1966), "Фундаментальные проблемы вязкопластичности", Успехи в прикладной механике , 9 (2): 244–368.
- ^ J. Lemaitre и JL Chaboche (2002) "Механика твердых материалов" Cambridge University Press.
- ^ а б в г Simo, JC; Хьюз, Т.Д.Р. (1998), Вычислительная неупругость
- ^ Батра, RC; Ким, CH (1990), "Влияние правил вязкопластического потока на возникновение и рост полос сдвига при высоких скоростях деформации", Journal of the Mechanics and Physics of Solids , 38 (6): 859–874, Bibcode : 1990JMPSo .. 38..859B , DOI : 10,1016 / 0022-5096 (90) 90043-4 .
- ^ Треска, Х. (1864), «Sur l'écoulement des Corps solides soumis à des fortes pressions», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 59 : 754–756.
- ^ Леви М. (1871 г.), «Extrait du mémoire sur les sizes générales des mouvements intérieures des corps solides ductiles au dela des limites or l'élasticité pourrait les ramener à leur premier état», J Math Pures Appl , 16 : 369–372 .
- ^ Койевый, М. и Купайтесь, KJ., (2006), неупругий анализ твердых тел и конструкций , Elsevier.
- ^ фон Мизес, Р. (1913) "Mechanik der festen Korper im plastisch deformablen Zustand". Gottinger Nachr, math-Phys Kl 1913: 582–592.
- ^ a b c Беттен, Дж., 2005, Механика ползучести: 2-е изд. , Springer.
- ^ Нортон, FH (1929). Ползучесть стали при высоких температурах. McGraw-Hill Book Co., Нью-Йорк.
- ^ Odqvist, FKG (1934) "Напряжения ползучести во вращающемся диске". Proc. IV Int. Конгресс по прикладным вопросам. Механика , Кембридж, стр. 228.
- ^ Прандтль, Л. (1924) Труды 1-го Международного конгресса по прикладной механике, Делфт.
- ^ Reuss, A. (1930), "Berücksichtigung der elastischen Formänderung in der Plastizitätstheorie", Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik , 10 (3): 266–274, Bibcode : 1930ZaMM ... 10..266R , doi : 10..266R , doi : 10.1002 .19300100308
- ^ Hohenemser, K .; Prager, W. (1932), "Основные уравнения и определения, касающиеся механики изотропных сплошных сред ", J. Rheol. , 3 (1): 16, Bibcode : 1932JRheo ... 3 ... 16H , DOI : 10,1122 / 1,2116434
- ^ Бингхэм, EC (1922) Текучесть и пластичность. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк.
- ↑ Hoff, ed., 1962, Коллоквиум IUTAM «Ползучесть конструкций»; 1-й , Стэнфорд, Спрингер.
- ^ Lubliner, J. (1990) Теория Пластичность , Macmillan Publishing Company, НьюЙорк.
- ^ Янг, Mindness, Серый, объявление Бентуры (1998): "Наука и технологии гражданского строительства Материалов," Prentice Hall, НьюДжерси.
- ^ Франсуа, Д., Пино, А., Зауи, А., (1993), Механическое поведение материалов Том II: вязкопластичность, повреждение, разрушение и механика контакта , Kluwer Academic Publishers.
- ^ Cristescu, Н. и Gioda Г., (1994), Вязкопластические Поведение геоматериалов , Международный центр механических наук.
- ^ a b Раппаз М., Беллет М. и Девиль М. (1998), Численное моделирование в материаловедении и инженерии , Springer.
- ^ a b Иргенс, Ф., (2008), Механика сплошной среды , Springer.
- ^ Якоб Люблинер (1990). Теория пластичности . Макмиллан. ISBN 978-0-02-372161-8. Проверено 6 декабря 2012 года .
- ^ а б Джонсон, GR; Кук, WH (1983), «конститутивная модель и данные для металлов подвергают большие деформации, высокие скоростям деформации и высокий» (PDF) , Труды 7 - го Международного симпозиума по баллистике : 541-547 , извлекаются 2009-05-13
- ^ а б Стейнберг, диджей; Cochran, SG; Гуинано, МВт (1980), "конститутивная модель для металлов , применяемых при высокой скорости-деформированной", Журнал прикладной физики , 51 (3): 1498, Bibcode : 1980JAP .... 51.1498S , DOI : 10,1063 / 1,327799
- ^ а б в Стейнберг, диджей; Лунд, CM (1988), "Основная модель для скоростей деформации от 10 -4 до 10 6 с -1 " , Journal de Physique. Colloques , 49 (3): 3 , проверено 13 мая 2009 г.
- ^ а б Hoge, KG; Мукерджи, А. К. (1977), "Температура и скорость деформации зависимость напряжения течения тантал", журнал наук о материалах , 12 (8): 1666-1672, Bibcode : 1977JMatS..12.1666H , DOI : 10.1007 / BF00542818 , S2CID 136966107
- ^ а б Зерилли, Ф.Дж.; Армстронг, RW (1987), "Основанные на дислокационной механике определяющие соотношения для расчетов динамики материалов" , Journal of Applied Physics , 61 (5): 1816, Bibcode : 1987JAP .... 61.1816Z , doi : 10.1063 / 1.338024
- ^ а б Follansbee, PS; Kocks, UF (1988), "конститутивное описание деформации меди , основанной на использовании механического порога" , Acta Metallurgica , 36 (1): 81-93, DOI : 10.1016 / 0001-6160 (88) 90030- 2
- ^ Чен, SR; Грей, GT (1996), «Основное поведение тантала и тантал-вольфрамовых сплавов» , Metallurgical and Materials Transactions A , 27 (10): 2994–3006, Bibcode : 1996MMTA ... 27.2994C , doi : 10.1007 / BF02663849 , S2CID 136695336
- ^ Гото, DM; Гарретт, РК; Bingert, JF; Чен, SR; Серый, GT (2000), "Механическое порог напряжение конститутивной прочность Описание модели HY-100 стали", металлургическими и материалы сделок в , 31 (8): 1985-1996, DOI : 10.1007 / s11661-000-0226-8 , S2CID 136118687
- ^ Банерджи, Б. (2007), «Модель механического порогового напряжения для различных температур стали AISI 4340», International Journal of Solids and Structures , 44 (3–4): 834–859, arXiv : cond-mat / 0510330 , doi : 10.1016 / j.ijsolstr.2006.05.022 , S2CID 2166303
- ^ Puchi-cabrera, ES; Villalobos-gutierrez, C .; Кастро-Farinas, G. (2001), «О механическом пороговом напряжении алюминия: Влияние содержания легирующего», журнал конструкционных материалов и технологий , 123 (2): 155, DOI : 10,1115 / 1,1354990
- ^ а б Престон, DL; Тонкс, ДЛ; Уоллес, округ Колумбия (2003), «Модель пластической деформации для экстремальных условий нагружения» , Журнал прикладной физики , 93 (1): 211–220, Bibcode : 2003JAP .... 93..211P , doi : 10.1063 / 1.1524706
- ^ Швер http://www.dynalook.com/european-conf-2007/optional-strain-rate-forms-for-the-johnson-cook.pdf
- ^ Зерилли, Ф.Дж.; Армстронг, RW (1994), "Определяющие соотношения для пластической деформации металлов", AIP Труды конференции , 309 : 989-992, DOI : 10,1063 / 1,46201
- ^ Zerilli, FJ (2004), "Дислокация механики на основе определяющих уравнений" , металлургическое и Транзакции материалов A , 35 (9): 2547-2555, DOI : 10.1007 / s11661-004-0201-х , S2CID 137397027
- ^ Abed, FH; Voyiadjis, GZ (2005), «Согласованная модифицированная модель напряжения течения Зерилли-Армстронга для металлов BCC и FCC для повышенных», Acta Mechanica , 175 (1): 1–18, doi : 10.1007 / s00707-004-0203-1 , S2CID 121579147
- ^ Гото, DM; Bingert, JF; Рид, WR; Гаррета младший, Р. К. (2000), "Анизотропия скорректированной МТС моделирование прочности конститутивный в HY-100 стали" , Scripta Materialia , 42 (12): 1125-1131, DOI : 10.1016 / S1359-6462 (00) 00347-X
- ^ Kocks, UF (2001), "Реальные Определяющие соотношения для пластичности металла" , Материалы науки и техники: A , 317 (1-2): 181-187, DOI : 10.1016 / S0921-5093 (01) 01174-1