критерий текучести фон Мизеса

Критерий максимального искажения (также Мизес критерий текучести ^[1] ) считает , что получаешь из пластичного материала начинается , когда второй инвариант девиаторного напряжения достигает критическое значение. ^[2] Это часть теории пластичности, которая лучше всего применима к пластичным материалам, таким как некоторые металлы. До начала текучести можно предположить, что реакция материала имеет нелинейно-упругое, вязкоупругое или линейно-упругое поведение.${\ displaystyle J_ {2}}$

В области материаловедения и инженерии критерий текучести Мизеса также могут быть сформулированы в терминах напряжений Мизеса или эквивалентного напряжения растяжения , . Это скалярное значение напряжения, которое можно вычислить из тензора напряжений Коши . В этом случае материал , как говорят , чтобы начать с получением , когда напряжение Мизеса достигает величины , известные как предел текучести , . Напряжение фон Мизеса используется для прогнозирования текучести материалов при сложной нагрузке по результатам испытаний на одноосное растяжение. Напряжение фон Мизеса удовлетворяет свойству, при котором два напряженных состояния с одинаковой энергией искажения имеют одинаковое напряжение фон Мизеса.${\ displaystyle \ sigma _ {\ text {v}}}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ text {y}}}$

Так как фон Мизес критерий текучести не зависит от первого напряжения инварианта , он применит для анализа пластической деформации для пластичных материалов , таких как металлы , так как начало выхода для этих материалов не зависит от гидростатического компонента тензора напряжений .${\ displaystyle I_ {1}}$

Хотя считается, что он был сформулирован Джеймсом Клерком Максвеллом в 1865 году, Максвелл описал общие условия только в письме Уильяму Томсону (лорду Кельвину). ^[3] Ричард Эдлер фон Мизес строго сформулировал его в 1913 году. ^{[2] [4]} Титус Максимилиан Хубер (1904) в статье, написанной на польском языке, в некоторой степени предвосхитил этот критерий, правильно полагаясь на энергию деформации искажения, а не на общая энергия деформации, как у его предшественников. ^{[5] [6] [7]} Генрих Хенки сформулировал тот же критерий, что и фон Мизес, независимо в 1924 году. ^[8] По указанным выше причинам этот критерий также называется критериемТеория Максвелла – Хубера – Хенки – фон Мизеса .

Математическая формулировка [ править ]

Поверхность текучести фон Мизеса в координатах главных напряжений описывает цилиндр с радиусом вокруг гидростатической оси. Также показана гексагональная поверхность текучести Tresca .${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

Математически критерий доходности фон Мизеса выражается как:

${\displaystyle J_{2}=k^{2}\,\!}$

где - предел текучести материала при чистом сдвиге. Как показано далее в этой статье, в начале текучести величина напряжения текучести при сдвиге при чистом сдвиге в √3 раза ниже, чем предел текучести при растяжении в случае простого растяжения. Таким образом, мы имеем:${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}}$

где - предел текучести материала при растяжении. Если мы установим напряжение по Мизесу равным пределу текучести и объединим приведенные выше уравнения, критерий текучести по Мизесу может быть выражен как:${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle \sigma _{v}=\sigma _{y}={\sqrt {3J_{2}}}}$

или же

${\displaystyle \sigma _{v}^{2}=3J_{2}=3k^{2}}$

Подставляя членами компоненты тензора напряжений Коши${\displaystyle J_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{v}}^{2}={\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6\left(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2}\right)\right]={\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}$,

где s - девиаторное напряжение. Это уравнение определяет поверхность текучести как круговой цилиндр (см. Рисунок), кривая текучести которого или пересечение с девиаторной плоскостью представляет собой круг с радиусом или . Это означает, что условие текучести не зависит от гидростатических напряжений.${\displaystyle {\sqrt {2}}k}$${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

Уменьшенное уравнение фон Мизеса для различных напряженных условий [ править ]

Критерий текучести фон Мизеса в двухмерных (плоских) условиях нагружения: если напряжение в третьем измерении равно нулю ( ), для координат напряжения в красной области не прогнозируется текучесть . Поскольку критерий урожайности Трески находится в красной области, критерий фон Мизеса более слабый.${\displaystyle \sigma _{3}=0}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Одноосное (1D) напряжение [ править ]

В случае одноосного напряжения или простого растяжения , критерий Мизеса просто сводится к${\displaystyle \sigma _{1}\neq 0,\sigma _{3}=\sigma _{2}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!}$,

что означает, что материал начинает деформироваться, когда достигает предела текучести материала в соответствии с определением предела текучести при растяжении (или сжатии).${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

Многоосное (2D или 3D) напряжение [ править ]

Эквивалентное напряжение при растяжении или эквивалентные Мизес напряжения , используются для прогнозирования податливости материалов при многоосных условиях нагружения с использованием результатов от простых испытаний на одноосном растяжении. Таким образом, мы определяем${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!}$

где - компоненты тензора девиатора напряжений :${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!}$.

В этом случае текучесть происходит, когда эквивалентное напряжение достигает предела текучести материала при простом растяжении . Например, напряженное состояние стальной балки при сжатии отличается от напряженного состояния стальной оси при кручении, даже если оба образца сделаны из одного материала. С учетом тензора напряжений, полностью описывающего напряженное состояние, эта разница проявляется в шести степенях свободы.${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$, поскольку тензор напряжений имеет шесть независимых компонент. Поэтому трудно сказать, какой из двух образцов ближе к пределу текучести или даже достиг его. Однако с помощью критерия текучести фон Мизеса, который зависит исключительно от значения скалярного напряжения фон Мизеса, т. Е. Одной степени свободы, это сравнение является прямым: большее значение фон Мизеса означает, что материал ближе к пределу текучести. точка.

В случае чистого напряжения сдвига , , в то время как все другие , критерий Мизеса становится:${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}\neq 0}$${\displaystyle \sigma _{ij}=0}$

${\displaystyle \sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!}$.

Это означает, что в начале текучести величина напряжения сдвига при чистом сдвиге в разы ниже, чем предел текучести в случае простого растяжения. Критерий текучести фон Мизеса для чистого напряжения сдвига, выраженного в главных напряжениях, имеет вид${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!}$

В случае главной плоскости напряжения , и , критерий Мизеса становится:${\displaystyle \sigma _{3}=0}$${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{23}=\sigma _{31}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!}$

Это уравнение представляет собой эллипс на плоскости .${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$

Резюме [ править ]

Состояние стресса	Граничные условия	уравнения фон Мизеса
Общий	Нет ограничений	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+3\left(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}}}$
Основные напряжения	${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!}$	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}}$
Общее плоское напряжение	${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{3}&=0\!\\\sigma _{31}&=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}}$	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}={\sqrt {\sigma _{11}^{2}-\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}^{2}+3\sigma _{12}^{2}}}\!}$
Напряжение главной плоскости	${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{3}&=0\!\\\sigma _{12}&=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}}$	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}={\sqrt {\sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}}}\!}$
Чистый сдвиг	${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sigma _{2}=\sigma _{3}=0\!\\\sigma _{31}&=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}}$	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}={\sqrt {3}}|\sigma _{12}|\!}$
Одноосный	${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}&=\sigma _{3}=0\!\\\sigma _{12}&=\sigma _{31}=\sigma _{23}=0\!\end{aligned}}}$	${\displaystyle \sigma _{\text{v}}=\sigma _{1}\!}$

Физическая интерпретация критерия текучести фон Мизеса [ править ]

Хенки (1924) предложил физическую интерпретацию критерия фон Мизеса, предполагая, что податливость начинается, когда упругая энергия искажения достигает критического значения. ^[6] По этой причине критерий фон Мизеса также известен как критерий максимальной энергии деформации деформации . Это происходит из соотношения между и энергией упругой деформации деформации :${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle W_{\text{D}}}$

${\displaystyle W_{\text{D}}={\frac {J_{2}}{2G}}\,\!}$с модулем упругого сдвига .${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\,\!}$

В 1937 году ^[9] Арпад Л. Надаи предположил, что податливость начинается, когда октаэдрическое напряжение сдвига достигает критического значения, т.е. октаэдрического напряжения сдвига материала при текучести при простом растяжении. В этом случае критерий текучести фон Мизеса также известен как критерий максимального октаэдрического напряжения сдвига ввиду прямой пропорциональности, которая существует между и октаэдрическим напряжением сдвига , которое по определению равно${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\,\!}$

таким образом, у нас есть

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\sigma _{\text{y}}\,\!}$

Плотность энергии деформации состоит из двух составляющих - объемной или диациональной и искажающей. Объемный компонент отвечает за изменение объема без изменения формы. Компонент искажения отвечает за деформацию сдвига или изменение формы.

Практическое инженерное использование критерия текучести фон Мизеса [ править ]

Использование критерия фон Мизеса в качестве критерия текучести в точности применимо только тогда, когда свойства однородного материала равны

${\displaystyle {\frac {F_{sy}}{F_{ty}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0.577\!}$

Поскольку ни один материал не будет иметь это соотношение точно, на практике необходимо использовать инженерную оценку, чтобы решить, какая теория разрушения подходит для данного материала. В качестве альтернативы, для использования теории Трески такое же отношение определяется как 1/2.

Запас прочности записывается как

${\displaystyle MS_{\text{yld}}={\frac {F_{y}}{\sigma _{\text{v}}}}-1}$

Хотя данный критерий основан на явлении текучести, обширные испытания показали, что использование напряжения «фон Мизеса» применимо при предельной нагрузке ^[10]

${\displaystyle MS_{\text{ult}}={\frac {F_{u}}{\sigma _{\text{v}}}}-1}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]