В теории множеств , парадоксальный набор представляет собой набор , который имеет парадоксальное разложение . Парадоксальное разбиение набора - это два семейства непересекающихся подмножеств вместе с соответствующими групповыми действиями, которые действуют в некоторой вселенной (из которых рассматриваемый набор является подмножеством), так что каждое разбиение может быть отображено обратно на все множество, используя только конечное множество различных функций (или их композиций) для выполнения сопоставления. Множество, допускающее такое парадоксальное разложение, в котором действия принадлежат группе называется -парадоксальный или парадоксальный по отношению к .
Парадоксальные множества существуют как следствие Аксиомы бесконечности . Допущения бесконечных классов в качестве множеств достаточно, чтобы допускать парадоксальные множества.
Определение
Предположим, что группа действует на множестве . потом является -парадоксально, если существуют непересекающиеся подмножества и некоторые элементы группы такое, что: [1]
а также
Примеры
Бесплатная группа
Группа Free F с двумя образующими а, Ь имеет разложениегде e - тождественное слово, аэто набор всех (сокращенных) слов, начинающихся с буквы i . Это парадоксальное разложение, потому что
Парадокс Банаха – Тарского
Самый известный пример парадоксальных множеств - парадокс Банаха – Тарского , который делит сферу на парадоксальные множества для специальной ортогональной группы . Этот результат зависит от выбранной аксиомы .
Рекомендации
- ^ Вагон, Стэн; Томкович, Гжегож (2016). Парадокс Банаха – Тарского (Второе изд.). ISBN 978-1-107-04259-9.