Интерполяция Парето

Парето интерполяции представляет собой метод оценки на срединные и другие свойства популяции , который следует за распределением Парето . Он используется в экономике при анализе распределения доходов населения, когда необходимо основывать оценки на относительно небольшой случайной выборке, взятой из населения.

Семейство распределений Парето параметризуется следующим образом:

• положительное число κ, которое является наименьшим значением, которое может принимать случайная величина с распределением Парето. Применительно к распределению доходов κ - самый низкий доход любого человека в населении; и
• положительное число θ «индекс Парето»; по мере его увеличения хвостовая часть распределения становится тоньше. Применительно к распределению доходов это означает, что чем больше значение индекса Парето θ, тем меньше доля доходов, во много раз превышающих самые маленькие доходы.

Интерполяция Парето может использоваться, когда доступная информация включает долю выборки, которая находится ниже каждого из двух указанных чисел a < b . Например, можно заметить, что 45% людей в выборке имеют доход ниже a = 35 000 долларов в год, а 55% имеют доход ниже b = 40 000 долларов в год.

Позволять

P _a = доля образца, лежащая ниже a ;

P _b = доля образца, лежащая ниже b .

Тогда оценки κ и θ равны

${\ displaystyle {\ widehat {\ kappa}} = \ left ({\ frac {P_ {b} -P_ {a}} {\ left (1 / a ^ {\ widehat {\ theta}} \ right) - \ left (1 / b ^ {\ widehat {\ theta}} \ right)}} \ right) ^ {1 / {\ widehat {\ theta}}}}$

и

${\ displaystyle {\ widehat {\ theta}} \; = \; {\ frac {\ log (1-P_ {a}) - \ log (1-P_ {b})} {\ log (b) - \ log (a)}}.}$

Тогда оценка медианы будет

${\ displaystyle {\ mbox {оценочная медиана}} = {\ widehat {\ kappa}} \ cdot 2 ^ {1 / {\ widehat {\ theta}}}, \,}$

поскольку фактическая медиана населения

${\ displaystyle {\ mbox {median}} = \ kappa \, 2 ^ {1 / \ theta}. \,}$

Ссылки [ править ]

• Бюро переписи населения США, Меморандум о статистических методах, использованных в обследовании доходов 2001 г. (PDF) . См. Уравнение 10 на стр. 24.
• Стулс, Брайан Дж., Получение медианного дохода домохозяйства . Дает вывод уравнений для интерполяции Парето.