Тороидальные и полоидальные координаты

Диаграмма, изображающая полоидальное ( ) направление, представленное красной стрелкой, и тороидальное ( или ) направление, представленное синей стрелкой.${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ phi}$

Термины тороидальные и полоидальные относятся к направлениям относительно тора отсчета. Полоидальное направление следует за небольшим круговым кольцом вокруг поверхности, в то время как тороидальное направление следует за большим круговым кольцом вокруг тора, окружающим центральную пустоту.

Самое раннее использование этих терминов, процитированных в Оксфордском словаре английского языка (OED), было использовано Уолтером М. Эльзассером (1946) в контексте генерации магнитного поля Земли токами в ядре, причем «тороидальный» параллелен линиям широта и «полоидальность» - направление магнитного поля (т. е. к полюсам).

OED также записывает более позднее использование этих терминов в контексте плазмы с тороидальным ограничением, которая встречается в термоядерном синтезе с магнитным удержанием . В контексте плазмы тороидальное направление - это длинный путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается буквой z в приближении пластины или или в магнитных координатах; полоидальное направление - это короткий путь вокруг тора, соответствующая координата обозначается буквой y в приближении плиты или в магнитных координатах. (Третье направление, нормальные к магнитным поверхностям, часто называют «радиальное направление», обозначаемое й в приближении плиты и по- разному , , г ,${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ rho}$, или s в магнитных координатах.)

Пример [ править ]

В качестве простого примера из физики магнитоограниченной плазмы рассмотрим осесимметричную систему с круговыми концентрическими поверхностями магнитного потока радиуса (грубое приближение к геометрии магнитного поля в ранних токамаках, но топологически эквивалентно любой тороидальной системе магнитного удержания с вложенным потоком поверхностей) и обозначим тороидальный угол через, а полоидальный угол через . Тогда Тороидальная / Полоидальная система координат соотносится со стандартными декартовыми координатами следующими правилами преобразования:${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle х = (R_ {0} + г \ соз \ тета) \ соз \ дзета}$

${\ displaystyle y = s _ {\ zeta} (R_ {0} + r \ cos \ theta) \ sin \ zeta}$

${\ displaystyle z = s _ {\ theta} r \ sin \ theta.}$

где .${\ displaystyle s _ {\ theta} = \ pm 1, s _ {\ zeta} = \ pm 1}$

С геометрической точки зрения естественным выбором является выбор тороидального и полоидального направлений, показанных стрелками на рисунке выше, но при этом получается левосторонняя криволинейная система координат. Поскольку при установке координат потока для описания плазмы, удерживаемой магнитным полем, обычно предполагается, что набор образует правую систему координат , мы должны либо изменить полоидальное направление, взяв , либо изменить тороидальное направление, взяв . Оба варианта используются в литературе.${\ Displaystyle s _ {\ theta} = s _ {\ zeta} = + 1}$${\ displaystyle r, \ theta, \ zeta}$${\ displaystyle r, \ theta, \ zeta}$${\displaystyle \nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0}$${\displaystyle s_{\theta }=-1,s_{\zeta }=+1}$${\displaystyle s_{\theta }=+1,s_{\zeta }=-1}$

Кинематика [ править ]

Для изучения движения отдельных частиц в плазменных устройствах с тороидальным ограничением необходимо знать векторы скорости и ускорения. Принимая во внимание естественный выбор , единичные векторы тороидальной и полоидальной систем координат можно выразить как:${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$${\displaystyle \left(r,\theta ,\zeta \right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\cos \zeta \\0\end{pmatrix}}}$

по декартовым координатам. Вектор положения выражается как:

${\displaystyle \mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{\theta }}$

Тогда вектор скорости определяется как:

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }}$

а вектор ускорения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} ={}&\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\theta }\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta }}\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

Поищите тороидальные  или полоидальные в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Тороидальные координаты
• Тор
• Зональный и полоидальный
• Полоидально-тороидальное разложение
• Зональный поток (плазма)

Ссылки [ править ]

• «Оксфордский словарь английского языка онлайн» . полоидальный . Издательство Оксфордского университета . Проверено 10 августа 2007 .
• Эльзассер, WM (1946). "Эффекты индукции в земном магнетизме. Часть I. Теория" . Phys. Ред . 69 (3–4): 106–116. DOI : 10.1103 / PhysRev.69.106 . Проверено 10 августа 2007 .