Сходимость мер
В математике , точнее в теории меры , существуют различные понятия сходимости мер . Для интуитивного общего смысла того, что подразумевается под сходимостью по мере , рассмотрим последовательность мер µ n в пространстве, разделяющую общий набор измеримых множеств. Такая последовательность может представлять собой попытку построить «все лучшие и лучшие» приближения к желаемой мере μ, которую трудно получить напрямую. Значение «все лучше и лучше» подлежит всем обычным оговоркам, касающимся ограничения ; для любого допуска ошибки ε > 0 мы требуем, чтобы N было достаточно большим для n ≥ Nчтобы гарантировать, что «разница» между μ n и μ меньше, чем ε. Различные понятия конвергенции точно определяют, что должно означать слово «различие» в этом описании; эти понятия не эквивалентны друг другу и различаются по силе.
В этом разделе делается попытка дать грубое интуитивное описание трех понятий сходимости, используя терминологию, разработанную в курсах исчисления ; этот раздел неизбежно является неточным, а также неточным, и читатель должен обратиться к формальным разъяснениям в последующих разделах. В частности, описания здесь не рассматривают возможность того, что мера некоторых множеств может быть бесконечной, или что основное пространство может демонстрировать патологическое поведение, и для некоторых утверждений необходимы дополнительные технические предположения. Однако утверждения в этом разделе верны, если это последовательность вероятностных мер на польском пространстве .
Различные понятия сходимости формализуют утверждение о том, что «среднее значение» каждой «достаточно хорошей» функции должно сходиться:
Чтобы формализовать это, требуется тщательная спецификация рассматриваемого набора функций и того, насколько равномерной должна быть сходимость.
Понятие слабой сходимости требует, чтобы эта сходимость имела место для каждой непрерывной ограниченной функции . Это понятие рассматривает сходимость для различных функций f независимо друг от друга, т. е. разные функции f могут требовать одинаково хорошей аппроксимации различных значений N ≤ n (таким образом, сходимость неравномерна по ).
Понятие множественной сходимости формализует утверждение о том, что мера каждого измеримого множества должна сходиться: