Модель Прайса (названная в честь физика Дерека Дж. Де Солла Прайса ) представляет собой математическую модель роста сетей цитирования . [1] [2] Это была первая модель, которая обобщила модель Саймона [3] для использования в сетях, особенно для растущих сетей. Модель Прайса принадлежит к более широкому классу моделей роста сетей (вместе с моделью Барабаши – Альберта ), основная цель которых - объяснить возникновение сетей с сильно искаженным распределением степеней. Модель подобрала идеи модели Саймона, отражающие концепцию « богатые становятся богатыми» , также известную как эффект Мэтью .Прайс взял пример сети ссылок между научными статьями и выразил ее свойства. Его идея заключалась в том, что способ, которым старая вершина (существующая статья) получает новые ребра (новые ссылки), должен быть пропорционален количеству существующих ребер (существующих ссылок), которые уже есть у вершины. Это называлось кумулятивным преимуществом , теперь также известным как преференциальная привязанность . Работа Прайса также важна в предоставлении первого известного примера сети без масштабирования (хотя этот термин был введен позже). Его идеи использовались для описания многих реальных сетей, таких как Интернет .
Модель
Основы
Рассмотрим ориентированный граф с n узлами. Позволятьобозначим долю узлов степени k так, чтобы. Каждый новый узел имеет заданную исходную степень (а именно те статьи, которые он цитирует), и это фиксируется в долгосрочной перспективе. Это не означает, что исходящие степени не могут изменяться по узлам, просто мы предполагаем, что средняя исходящая степень m фиксируется во времени. Ясно, что, следовательно, m не ограничивается целыми числами. Самая тривиальная форма предпочтительного присоединения означает, что новый узел подключается к существующему узлу пропорционально его внутренним градусам. Другими словами, новая статья цитирует существующую статью пропорционально ее in-градусам. Предостережение такой идеи состоит в том, что никакая новая статья не цитируется, когда она присоединяется к сети, поэтому у нее будет нулевая вероятность цитирования в будущем (что обязательно не так). Чтобы преодолеть это, Прайс предложил, чтобы привязанность была пропорциональна некоторым с участием постоянный. В общем может быть произвольным, но Прайс предлагает , таким образом, первоначальное цитирование связано с самой статьей (так что коэффициент пропорциональности теперь равен k + 1 вместо k ). Вероятность подключения нового ребра к любому узлу со степенью k равна
Эволюция сети
Следующий вопрос - чистое изменение количества узлов со степенью k, когда мы добавляем новые узлы в сеть. Естественно, это число уменьшается, так как некоторые узлы k -степени имеют новые ребра и, следовательно, становятся узлами ( k + 1) -степени; но с другой стороны, это число также увеличивается, так как некоторые узлы ( k - 1) -го уровня могут получить новые ребра, становясь узлами k- степени. Чтобы выразить это чистое изменение формально, обозначим долю узлов k -степени в сети из n вершин с:
а также
Чтобы получить стационарное решение для , сначала позвольте нам выразить используя известный метод главного уравнения , как
После некоторых манипуляций приведенное выше выражение принимает вид
а также
с участием являясь бета-функцией . Как следствие,. Это то же самое, что сказать, чтоподчиняется степенному распределению с показателем. Обычно при этом показатель степени находится между 2 и 3, что характерно для многих реальных сетей. Прайс протестировал свою модель, сравнивая с данными сети цитирования, и пришел к выводу, что полученное значение m может дать достаточно хорошее степенное распределение .
Обобщение
Несложно обобщить полученные результаты на случай, когда . Основные расчеты показывают, что
что снова дает степенное распределение с тем же показателем для больших k и фиксированных.
Характеристики
Ключевое отличие от более поздней модели Барабаши – Альберта состоит в том, что модель Прайса создает граф с направленными ребрами, тогда как модель Барабаши – Альберта является той же моделью, но с неориентированными ребрами. Это направление является центральным для приложения сети цитирования, которое мотивировало Прайса. Это означает, что модель Прайса создает ориентированный ациклический граф, и эти сети обладают отличительными свойствами.
Например, в ориентированном ациклическом графе хорошо определены как самые длинные, так и кратчайшие пути . В модели Прайса длина самого длинного пути от n-го узла, добавленного в сеть к первому узлу в сети, масштабируется как [4]
Заметки
Для дальнейшего обсуждения см. [5] [6] и. [7] [8] Прайс смог получить эти результаты, но это было то, как далеко он смог продвинуться с ними без предоставления вычислительных ресурсов. К счастью, большая часть работы, посвященной предпочтительному подключению и росту сети, стала возможной благодаря недавнему технологическому прогрессу.
Рекомендации
- ^ де Солла Прайс, ди-джей (1965-07-30). «Сети научных статей». Наука . Американская ассоциация развития науки (AAAS). 149 (3683): 510–515. Bibcode : 1965Sci ... 149..510D . DOI : 10.1126 / science.149.3683.510 . ISSN 0036-8075 . PMID 14325149 .
- ^ де Солла Прайс, Дерек Дж. (1976), "Общая теория библиометрических и других процессов накопления преимуществ", J.Amer.Soc.Inform.Sci. , 27 (5): 292-306, DOI : 10.1002 / asi.4630270505
- ^ Саймон, Герберт А. (1955). «Об одном классе функций косого распределения». Биометрика . Издательство Оксфордского университета (ОУП). 42 (3–4): 425–440. DOI : 10.1093 / Biomet / 42.3-4.425 . ISSN 0006-3444 .
- ^ Evans, TS; Calmon, L .; Василяускайте, В. (2020), «Самый длинный путь в ценовой модели», Научные отчеты , 10 (1): 10503, arXiv : 1903.03667 , Bibcode : 2020NatSR..1010503E , doi : 10.1038 / s41598-020-67421-8 , PMC 7324613 , PMID 32601403
- ^ Дороговцев С.Н.; Mendes, JFF; Самухин, АН (2000-11-20). «Структура растущих сетей с преимущественным связыванием». Письма с физическим обзором . 85 (21): 4633–4636. arXiv : cond-mat / 0004434 . Bibcode : 2000PhRvL..85.4633D . DOI : 10.1103 / physrevlett.85.4633 . ISSN 0031-9007 . PMID 11082614 .
- ^ Крапивский, ПЛ; Реднер, С. (24 мая 2001 г.). «Организация растущих случайных сетей». Physical Review E . Американское физическое общество (APS). 63 (6): 066123. arXiv : cond-mat / 0011094 . Bibcode : 2001PhRvE..63f6123K . DOI : 10.1103 / physreve.63.066123 . ISSN 1063-651X . PMID 11415189 . S2CID 16077521 .
- ^ Дороговцев С.Н.; Мендес, JFF (2002). «Эволюция сетей». Успехи физики . 51 (4): 1079–1187. arXiv : cond-mat / 0106144 . Bibcode : 2002AdPhy..51.1079D . DOI : 10.1080 / 00018730110112519 . ISSN 0001-8732 . S2CID 429546 .
- ^ Крапивский, П.Л. и Реднер, С., Подход уравнения скорости для растущих сетей , в Р. Пастор-Саторрас и Дж. Руби (ред.), Труды XVIII Ситжесской конференции по статистической механике, Лекционные заметки по физике, Springer, Берлин (2003).
Источники
- Ньюман, MEJ (2003). «Структура и функции сложных сетей». SIAM Обзор . 45 (2): 167–256. arXiv : cond-mat / 0303516 . Bibcode : 2003SIAMR..45..167N . DOI : 10.1137 / s003614450342480 . ISSN 0036-1445 . S2CID 221278130 .