Теорема Кокса
Теорема Кокса , названная в честь физика Ричарда Трелкелда Кокса , представляет собой вывод законов теории вероятностей из определенного набора постулатов . Этот вывод оправдывает так называемую «логическую» интерпретацию вероятности, поскольку законы вероятности, выведенные из теоремы Кокса, применимы к любому предложению. Логическая (также известная как объективная байесовская) вероятность является разновидностью байесовской вероятности . Другие формы байесианства, такие как субъективная интерпретация, имеют другие обоснования.
Постулаты, изложенные здесь, взяты из Арнборга и Шедина. [1] [2] [3] « Здравый смысл » включает согласованность с аристотелевской логикой в том смысле, что логически эквивалентные утверждения должны иметь одинаковую правдоподобие.
Постулаты, первоначально сформулированные Коксом, не были математически строгими (хотя и лучше, чем неформальное описание выше), например, как отмечал Халперн . [4] [5] Однако представляется возможным дополнить их различными математическими предположениями, сделанными Коксом явно или неявно, чтобы получить достоверное доказательство.
Законы вероятности, вытекающие из этих постулатов, таковы. [6] Позвольте быть правдоподобием данного предложения , удовлетворяющего постулатам Кокса. Тогда существует функция, отображающая правдоподобие в интервал [0,1] и положительное число такое, что
Важно отметить, что постулаты подразумевают только эти общие свойства. Мы можем восстановить обычные законы вероятности, установив новую функцию, условно обозначаемую или , равной . Тогда получим законы вероятности в более привычном виде:
Правило 2 — это правило отрицания, а правило 3 — правило конъюнкции. Учитывая, что любое предложение, содержащее конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, можно эквивалентно перефразировать, используя только конъюнкцию и отрицание ( конъюнктивная нормальная форма ), теперь мы можем обрабатывать любое составное предложение.