В математике , то теорема проекционно-среза , теорема центральной срез или теорема Фурье срез в двух измерениях состояний , что результаты двух следующих расчетов равны:
- Возьмите двумерную функцию f ( r ), спроецируйте (например, используя преобразование Радона ) ее на (одномерную) линию и выполните преобразование Фурье этой проекции.
- Возьмите ту же функцию, но сначала выполните двумерное преобразование Фурье, а затем прорежьте его через начало координат, параллельное линии проекции.
В терминах оператора, если
- F 1 и F 2 - упомянутые выше 1- и 2-мерные операторы преобразования Фурье,
- P 1 - это оператор проекции (который проецирует двумерную функцию на одномерную линию),
- S 1 - это оператор среза (который извлекает одномерный центральный срез из функции),
тогда
Эту идею можно распространить на более высокие измерения.
Эта теорема используется, например, при анализе медицинских компьютерных томографов, где «проекция» - это рентгеновское изображение внутреннего органа. Видно, что преобразования Фурье этих изображений являются срезами через преобразование Фурье трехмерной плотности внутреннего органа, и эти срезы могут быть интерполированы для построения полного преобразования Фурье этой плотности. Затем используется обратное преобразование Фурье для восстановления трехмерной плотности объекта. Этот метод был впервые применен Рональдом Н. Брейсвеллом в 1956 году для решения проблемы радиоастрономии. [1]
Теорема проекции-среза в N измерениях
В N измерениях, теорема проекционно-срез утверждает , что преобразование Фурье от проекции на качестве N - мерной функция F ( г ) на в м - мерное линейное подмногообразие равно к м - мерный срезу из N - мерного преобразование Фурье из эта функция, состоящая из m -мерного линейного подмногообразия, проходящего через начало координат в пространстве Фурье, которое параллельно проекционному подмногообразию. В терминах оператора:
Обобщенная теорема Фурье-среза
В дополнение к обобщению на N измерений теорема о проекционном срезе может быть дополнительно обобщена с произвольной заменой базиса. [2] Для удобства обозначений мы рассмотрим изменение базиса быть представлена как B , в N матрицы с размерностью N обратимы матрицами , работающие на N векторах -мерных столбцов. Тогда обобщенная теорема о срезах Фурье может быть сформулирована как
где является транспонированием инверсии изменения базисного преобразования.
Доказательство в двух измерениях
Теорема о проекции-срезе легко доказывается для случая двух измерений. Без ограничения общности мы можем принять линию проекции за ось x . Нет потери общности, потому что, если мы используем сдвинутую и повернутую линию, закон все еще применяется. Использование сдвинутой линии (по оси y) дает такую же проекцию и, следовательно, те же результаты одномерного преобразования Фурье. Повернутая функция - это пара Фурье повернутого преобразования Фурье, для которой теорема снова верна.
Если f ( x , y ) - двумерная функция, то проекция f ( x , y ) на ось x равна p ( x ), где
Преобразование Фурье является
Затем ломтик
что является просто преобразованием Фурье функции p ( x ). Доказательство для более высоких размерностей легко обобщается из вышеприведенного примера.
Цикл FHA
Если двумерная функция f ( r ) симметрична по окружности, ее можно представить как f ( r ), где r = | г |. В этом случае проекция на любую линию проекции будет преобразованием Абеля функции f ( r ). Двумерное преобразование Фурье от F ( г ) будет циркулярно симметричной функцией задается нулевого порядка преобразования Ганкель из F ( г ), который , следовательно , также представляют собой любой срез через начало координат. Теорема проекции-среза затем утверждает, что преобразование Фурье проекции равно срезу или
где A 1 представляет собой оператор преобразования Абеля, проецирующий двумерную симметричную по кругу функцию на одномерную линию, F 1 представляет оператор одномерного преобразования Фурье, а H представляет оператор преобразования Ганкеля нулевого порядка.
Расширение до веерного или конусообразного КТ
Теорема о проекции-срезе подходит для реконструкции КТ-изображения с параллельными проекциями луча. Это не относится напрямую к ТТ с веерным или конусным лучом. Теорема была распространена на реконструкцию компьютерных томографов с веерным и конусообразным пучками Шуанг-жэнь Чжао в 1995 г. [3]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Bracewell, Рональд Н. (1956). «Полосовая интеграция в радиоастрономии» . Австралийский журнал физики . 9 (2): 198–217. Bibcode : 1956AuJPh ... 9..198B . DOI : 10,1071 / PH560198 .
- ^ Нг, Рен (2005). «Фотография среза Фурье» (PDF) . Транзакции ACM на графике . 24 (3): 735–744. DOI : 10.1145 / 1073204.1073256 .
- ^ Чжао С.Р. и Х. Холлинг (1995). Новый метод преобразования Фурье для веерной томографии . Опубликовано в 1995 г. Отчет о симпозиуме по ядерной науке и конференции по медицинской визуализации . 2 . С. 1287–91. DOI : 10,1109 / NSSMIC.1995.510494 . ISBN 978-0-7803-3180-8.
дальнейшее чтение
- Брейсуэлл, Рональд Н. (1990). «Числовые преобразования». Наука . 248 (4956): 697–704. Bibcode : 1990Sci ... 248..697B . DOI : 10.1126 / science.248.4956.697 . PMID 17812072 .
- Брейсуэлл, Рональд Н. (1956). «Ленточная интеграция в радиоастрономии» . Aust. J. Phys . 9 (2): 198. Полномочный код : 1956AuJPh ... 9..198B . DOI : 10,1071 / PH560198 .
- Гаскилл, Джек Д. (2005). Линейные системы, преобразования Фурье и оптика . John Wiley & Sons, Нью-Йорк. ISBN 978-0-471-29288-3.
- Нг, Рен (2005). «Фотография среза Фурье» (PDF) . Транзакции ACM на графике . 24 (3): 735–744. DOI : 10.1145 / 1073204.1073256 .
- Чжао, Шуанг-Рен; Холлинг, Хорст (1995). «Реконструкция проекций конического пучка со свободным трактом источника обобщенным методом Фурье». Труды Международного совещания 1995 г. по восстановлению полностью трехмерного изображения в радиологии и ядерной медицине : 323–7.
- Garces, Daissy H .; Родос, Уильям Т .; Пенья, Нестор (2011). "Теорема о проекции-срезе: компактное обозначение". Журнал Оптического общества Америки A . 28 (5): 766–769. Bibcode : 2011JOSAA..28..766G . DOI : 10.1364 / JOSAA.28.000766 . PMID 21532686 .
Внешние ссылки
- Теорема Фурье-среза (видео). Часть курса «Компьютерная томография и ASTRA Toolbox». Университет Антверпена . 10 сентября 2015 г.