Пропорциональное деление является своим родом справедливого разделения , в котором ресурс делится между п партнерами с субъективными оценками, давая каждый партнер по крайней мере , 1 / п ресурса по его / ее собственной субъективной оценке.
Соразмерность была первым критерием справедливости, изученным в литературе; поэтому его иногда называют «простым справедливым делением». Впервые он был задуман Штайнхаусом. [1]
Пример
Рассмотрим земельный актив, который необходимо разделить между 3 наследниками: Алиса и Боб, которые думают, что он стоит 3 миллиона долларов, и Джордж, который думает, что он стоит 4,5 миллиона долларов. При пропорциональном делении Алиса получает земельный участок, который, по ее мнению, стоит не менее 1 миллиона долларов, Боб получает земельный участок, который, по его мнению, стоит не менее 1 миллиона долларов (хотя Алиса может думать, что он стоит меньше), Джордж получает земельный участок стоимостью не менее 1,5 миллиона долларов.
Существование
Пропорциональное деление существует не всегда. Например, если ресурс содержит несколько неделимых элементов, а количество людей больше, чем количество элементов, то некоторые люди вообще не получат ни одного элемента, и их ценность будет равна нулю. Тем не менее такое разделение существует с высокой вероятностью для неделимых объектов при определенных предположениях относительно оценок агентов. [2]
Более того, пропорциональное деление гарантировано, если выполняются следующие условия:
- Оценки игроков неатомарны , т. Е. Отсутствуют неделимые элементы с положительным значением.
- Нормирования игроков являются аддитивными , то есть, когда часть делится, значение произведения равно суммой его частей.
Следовательно, пропорциональное деление обычно изучается в контексте разделки торта . См. Раздел « Пропорциональная резка торта» для получения подробной информации о процедурах достижения пропорционального разделения при резке торта.
Более мягкий критерий справедливости - частичная пропорциональность , при которой каждый партнер получает определенную долю f ( n ) от общей стоимости, где f ( n ) ≤ 1 / n . Частично пропорциональное деление существует (при определенных условиях) даже для неделимых позиций.
Варианты
Сверхпропорциональное деление
Супер-пропорциональное распределение является подразделением , в котором каждый партнер получает строго больше 1 / п ресурса своей собственной субъективной оценки.
Конечно, такое разделение существует не всегда: когда все партнеры имеют одни и те же ценностные функции, лучшее, что мы можем сделать, - это дать каждому партнеру ровно 1 / n . Таким образом, необходимым условием существования суперпропорционального деления является то, что не все партнеры имеют одинаковую меру ценности.
Удивительный факт заключается в том, что, когда оценки являются аддитивными и неатомарными, этого условия также достаточно. То есть, когда есть хотя бы два партнера, чья функция ценности даже немного отличается, то возникает суперпропорциональное деление, при котором все партнеры получают больше 1 / n . См. Подробности в разделе о супер-пропорциональном делении .
Отношение к другим критериям справедливости
Связь между соразмерностью и свободой от зависти
Пропорциональность (PR) и свобода от зависти (EF) - два независимых свойства, но в некоторых случаях одно из них может подразумевать другое.
Когда все оценки являются аддитивными функциями множества и весь торт разделен, имеют место следующие импликации:
- С двумя партнерами PR и EF эквивалентны;
- С тремя и более партнерами EF подразумевает пиар, но не наоборот. Например, возможно, что каждый из трех партнеров получает 1/3 по своему субъективному мнению, но, по мнению Алисы, доля Боба стоит 2/3.
Когда оценки субаддитивны , EF по-прежнему подразумевает PR, но PR больше не подразумевает EF даже с двумя партнерами: возможно, что доля Алисы стоит 1/2 в ее глазах, но доля Боба стоит даже больше. Напротив, когда оценки только сверхаддитивны , PR по-прежнему подразумевает EF с двумя партнерами, но EF больше не подразумевает PR даже с двумя партнерами: возможно, что доля Алисы стоит 1/4 в ее глазах, но доля Боба стоит даже меньше. Точно так же, когда не весь торт разделен, EF больше не подразумевает PR. Последствия суммированы в следующей таблице:
Оценки | 2 партнера | 3+ партнера |
---|---|---|
Добавка | ||
Субаддитивный | ||
Супераддитив | - | |
Общий | - | - |
Стабильность к добровольным обменам
Одним из преимуществ критерия соразмерности перед «завистью» и аналогичными критериями является то, что он стабилен в отношении добровольных обменов.
В качестве примера предположим, что определенная земля разделена между 3 партнерами: Алисой, Бобом и Джорджем в пропорциональном и свободном от зависти делении. Несколько месяцев спустя Алиса и Джордж решают объединить свои земельные участки и разделить их более выгодным для них способом. С точки зрения Боба, деление по-прежнему пропорционально, поскольку он по-прежнему имеет субъективную ценность не менее 1/3 от общей суммы, независимо от того, что Алиса и Джордж делают со своими графиками. С другой стороны, новому дивизиону не позавидуешь. Например, возможно, что изначально и Алиса, и Джордж получили земельный участок, который Боб субъективно оценивает как 1/3, но теперь, после передела, Джордж получил всю ценность (в глазах Боба), так что теперь Боб завидует Джорджу.
Следовательно, использование свободы от зависти в качестве критерия справедливости подразумевает, что мы должны ограничить право людей на добровольный обмен после разделения. Использование пропорциональности в качестве критерия справедливости не имеет таких негативных последствий.
Индивидуальная рациональность
Дополнительным преимуществом пропорциональности является то, что она совместима с индивидуальной рациональностью в следующем смысле. Предположим, что n партнеров владеют общим ресурсом. Во многих практических сценариях (хотя и не всегда) партнеры имеют возможность продать ресурс на рынке и разделить выручку таким образом, чтобы каждый партнер получил ровно 1 / n . Следовательно, рациональный партнер согласится участвовать в процедуре разделения, только если процедура гарантирует, что он получит не менее 1 / n своей общей стоимости.
Кроме того, должна быть как минимум возможность (если не гарантия), что партнер получит более 1 / n ; это объясняет важность теорем существования сверхпропорционального деления .
Смотрите также
Рекомендации
- Перейти ↑ Steinhaus, Hugo (1948). «Проблема справедливого разделения». Econometrica . 16 (1): 101–104. JSTOR 1914289 .
- ^ Суксомпонг, Варут (2016). «Асимптотическое существование пропорционально справедливых распределений». Математические социальные науки . 81 : 62–65. arXiv : 1806.00218 . DOI : 10.1016 / j.mathsocsci.2016.03.007 .
- Краткое изложение процедур пропорционального и других делений представлено в: Остин, АК (1982). «Делить торт». Математический вестник . 66 (437): 212. DOI : 10,2307 / 3616548 . JSTOR 3616548 .