Квадратичная йорданова алгебра

В математике , квадратичные алгебры йордановых являются обобщением йордановых алгебр , введенных Кевины Маккриммоном ( 1966 ). Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Имеется единое описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящих от характеристики. Если 2 обратима в поле коэффициентов, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

Определение [ править ]

Квадратичная йорданова алгебра состоит из векторного пространства А над полем K с выделенным элементом 1 и квадратичной карте A в K - эндоморфизмов А , в ↦ Q ( ), удовлетворяющих условиям:

Q (1) = id;
Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) («фундаментальная идентичность»);
Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) («коммутационное тождество»), где R ( a , b ) c = ( Q ( a + c ) - Q ( a ) - Q ( c )) б .

Кроме того, эти свойства должны выполняться при любом расширении скаляров . ^[1]

Элементы [ править ]

Элемент является обратимым , если Q ( ) обратит , и существует б таких , что Q ( б ) является обратным Q ( ) и Q ( ) Ь = : такие б уникальны и мы говорим , что б является инвертировать из . Jordan алгебра с делением является один , в котором каждый ненулевой элемент обратим. ^[2]

Структура [ править ]

Пусть B подпространство A . Определим B как квадратичный идеал ^[3] или внутренний идеал, если образ Q ( b ) содержится в B для всех b из B ; определяет B , чтобы быть внешней идеальным , если B отображается в себя каждый Q ( в ) для всех а в А . Идеал из А является подпространством , которое является как внутренним и внешним идеалом. ^[1] Квадратичная йорданова алгебра проста, если она не содержит нетривиальных идеалов. ^[2]

Для данного b образ Q ( b ) является внутренним идеалом: мы называем его главным внутренним идеалом на b . ^[2]^[4]

Центроид Γ из A есть подмножество End _K ( A ) , состоящая из эндоморфизмов Т , который «коммутируют» с Q в том смысле , что для всех а

Т Q ( а ) = Q ( а ) Т ;
Q ( Та ) = Q ( а ) Т ² .

Центроид простой алгебры является полем: является центральным , если его медианы только K . ^[5]

Примеры [ править ]

Квадратичная йорданова алгебра из ассоциативной алгебры [ править ]

Если A - ассоциативная алгебра с единицей над K с умножением ×, то квадратичное отображение Q может быть определено из A в End _K ( A ) с помощью Q ( a ): b ↦ a × b × a . Это определяет квадратичную структуру алгебры Джордана на A . Квадратичная йорданова алгебра является специальной, если она изоморфна подалгебре такой алгебры, в противном случае - исключительной . ^[2]

Квадратичная йорданова алгебра из квадратичной формы [ править ]

Пусть A - векторное пространство над K с квадратичной формой q и ассоциированной симметричной билинейной формой q ( x , y ) = q ( x + y ) - q ( x ) - q ( y ). Пусть e будет «базовой точкой» A , то есть элементом с q ( e ) = 1. Определим линейный функционал T ( y ) = q ( y , e ) и «отражение»y ^∗ = T ( y ) e - y . Для каждого x определим Q ( x ) следующим образом:

Q ( x ): y ↦ q ( x , y ^∗ ) x - q ( x ) y ^∗ .

Тогда Q определяет квадратный Джордан алгебру на А . ^[6]^[7]

Квадратичная йорданова алгебра из линейной йордановой алгебры [ править ]

Пусть A - унитальная йорданова алгебра над полем K характеристики, не равной 2. Для a в A пусть L обозначает левое отображение умножения в ассоциативной обертывающей алгебре.

{\ Displaystyle L (а): х \ mapsto ax \}

и определим K -эндоморфизм A , называемый квадратичным представлением , формулой

{\ displaystyle \ displaystyle {Q (a) = 2L (a) ^ {2} -L (a ^ {2}).}}

Тогда Q определяет квадратичную йорданову алгебру.

Квадратичная йорданова алгебра, определяемая линейной йордановой алгеброй [ править ]

Квадратичные тождества могут быть доказаны в конечномерной йордановой алгебре над R или C вслед за Максом Кохером , который использовал обратимый элемент. Их также легко доказать в йордановой алгебре, определенной ассоциативной алгеброй с единицей («специальной» йордановой алгеброй), поскольку в этом случае Q ( a ) b = aba . ^[8] Они верны в любой йордановой алгебре над полем характеристики, не равной 2. Это было предположено Якобсоном и доказано в Macdonald (1960) : Macdonaldпоказал, что если полиномиальное тождество от трех переменных, линейное по третьей, верно в любой специальной йордановой алгебре, то оно верно во всех йордановых алгебрах. ^[9] В Джекобсоне (1969 , стр. 19–21) дано элементарное доказательство, принадлежащее Маккриммону и Мейбергу, для йордановых алгебр над полем характеристики, не равной 2.

Доказательство Кехера [ править ]

Аргументы Кохера применимы к конечномерным йордановым алгебрам над действительными или комплексными числами. ^[10]

Фундаментальная идентичность I [ править ]

Элемент a в A называется обратимым, если он обратим в R [ a ] или C [ a ]. Если б означает обратное, то мощность ассоциативность из через показывает , что L ( ) и L ( б ) коммутируют.

Фактически a обратимо тогда и только тогда, когда Q ( a ) обратимо. В таком случае

::

{\ displaystyle \ displaystyle {Q (a) ^ {- 1} a = a ^ {- 1}, \, \, \, Q (a ^ {- 1}) = Q (a) ^ {- 1}. }}

В самом деле, если Q ( a ) обратимо, оно переносит R [ a ] на себя. С другой стороны, Q ( a ) 1 = a ² , поэтому

{\ displaystyle \ displaystyle {(Q (a) ^ {- 1} a) a = aQ (a) ^ {- 1} a = L (a) Q (a) ^ {- 1} a = Q (a) ^ {- 1} a ^ {2} = 1.}}

Иорданская идентичность

{\ Displaystyle \ Displaystyle {[L (а), L (а ^ {2})] (б) = 0}}

можно поляризовать , заменив a на a + tc и взяв коэффициент при t . Переписав это как оператор, примененный к c, получим

{\ displaystyle \ displaystyle {2L (ab) L (a) + L (a ^ {2}) L (b) = 2L (a) L (b) L (a) + L (a ^ {2} b) .}}

Взяв b = a ⁻¹ в этом поляризованном жордановом тождестве, получаем

{\ displaystyle \ displaystyle {Q (a) L (a ^ {- 1}) = L (a).}}

Заменяя a на обратное, соотношение следует, если L ( a ) и L ( a ⁻¹ ) обратимы. Если нет, то это верно для a + ε1 со сколь угодно малым ε, а значит, и в пределе.

* Если и Ь обратимы то и Q ( ) б и удовлетворяет обратной идентичности:

\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}

Квадратичное представление удовлетворяет следующему фундаментальному тождеству:

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a).}

Для c в A и F ( a ) функции на A со значениями в End A , пусть D _c F ( a ) будет производной F ( a + tc ) в точке t = 0 . потом

\displaystyle {c=D_{c}(Q(a)a^{-1})=2Q(a,c)a^{-1}+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}

где Q ( a , b ), если поляризация Q

\displaystyle {Q(a,c)={1 \over 2}(Q(a+c)-Q(a)-Q(c))=L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac).}

Поскольку L ( a ) коммутирует с L ( a ⁻¹ )

\displaystyle {Q(a,c)a^{-1}=(L(a)L(c)+L(c)L(a)-L(ac))a^{-1}=c.}

Следовательно

\displaystyle {c=2c+Q(a)D_{c}(a^{-1}),}

так что

::

\displaystyle {D_{c}(a^{-1})=-Q(a)^{-1}c.}

Применяя D _c к L ( a ⁻¹ ) Q ( a ) = L ( a ) и действуя на b = c ^−1, получаем

\displaystyle {(Q(a)b)(Q(a^{-1})b^{-1})=1.}

С другой стороны, L ( Q ( a ) b ) обратим на открытом плотном множестве, где Q ( a ) b также должен быть обратимым с

\displaystyle {(Q(a)b)^{-1}=Q(a^{-1})b^{-1}.}

Взяв производную D _c в переменной b в приведенном выше выражении, получаем

\displaystyle {-Q(Q(a)b)^{-1}Q(a)c=-Q(a)^{-1}Q(b)^{-1}c.}

Это дает фундаментальное тождество для плотного множества обратимых элементов, поэтому в общем случае следует по непрерывности. Фундаментальное тождество означает, что c = Q ( a ) b обратимо, если a и b обратимы, и дает формулу, обратную Q ( c ). Применение его к c дает обратное тождество в полной общности.

Идентификатор коммутации I [ править ]

Как показано выше, если a обратимо,

\displaystyle {Q(a,b)a^{-1}=b.}

Принимая D _c с a в качестве переменной, получаем

\displaystyle {0=Q(c,b)a^{-1}+Q(a,b)D_{c}(a^{-1})=Q(c,b)a^{-1}-Q(a,b)Q(a)^{-1}c.}

Замена a на a ⁻¹ дает, применение Q ( a ) и использование фундаментального тождества дает

\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(a)Q(a^{-1},b)Q(a)c={\frac {1}{2}}Q(a)[Q(a^{-1}+b)-Q(a^{-1})-Q(b)]Q(a)c=Q(Q(a)b,a)c.}

Следовательно

\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(Q(a)b,a)c.}

Меняя местами b и c, получаем

\displaystyle {Q(a)Q(b,c)a=Q(a,Q(a)c)b.}

С другой стороны, $R (x, y)$ определяется как $R (x, y) z = 2 Q (x, z) y$ , поэтому отсюда следует

\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=R(a,b)Q(a)c,}

так что в обратимых и , следовательно , по непрерывности для всех а

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a).}

Доказательство Маккриммона – Мейберга [ править ]

Идентификатор коммутации II [ править ]

Тождество Жордана $a (a 2 b) = a 2 (ab)$ можно поляризовать, заменив a на a + tc и взяв коэффициент при t . Это дает ^[11]

\displaystyle {c(a^{2}b)+2a(ac)b)=a^{2}(cb)+2(ac)(ab).}

В обозначениях операторов это означает

::

\displaystyle {[L(a^{2}),L(c)]+2[L(ac),L(a)]=0.}

Поляризационный в снова дает

\displaystyle {c((ad)b)+d((ac)b)+a((dc)b)=(cd)(ab)+(da)(cb)+(ac)(db).}

Написанный как операторы, действующие на d , это дает

\displaystyle {L(c)L(b)L(a)+L((ac)b)+L(a)L(b)L(c)=L(ab)L(c)+L(cb)L(a)+L(ac)L(b).}

Замена c на b и b на a дает

::

\displaystyle {L(b)L(a)^{2}+L(a(ab))+L(a)^{2}L(b)=L(a^{2})L(b)+2L(ab)L(a).}

Кроме того, поскольку правая часть симметрична относительно b и ' c , меняя местами b и c слева и вычитая, следует, что коммутаторы [ L ( b ), L ( c )] являются производными йордановой алгебры.

Позволять

\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}

Тогда Q ( a ) коммутирует с L ( a ) по жорданову тождеству.

Из определений, если $Q (a, b) = ½ (Q (a = b) - Q (a) - Q (b))$ - ассоциированное симметричное билинейное отображение, то $Q (a, a) = Q (a)$ и

\displaystyle {Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab).}

более того

:

\displaystyle {2Q(ab,a)=L(b)Q(a)+Q(a)L(b).}

В самом деле

2 Q (ab, a) - L (b) Q (a) - Q (a) L (b) = 2 L (ab) L (a) + 2 L (a) L (ab) - 2 L (a (ab)) - 2 л (а) 2 л (б) - 2 л (б) л (a) 2 + L (a 2) L (b) + L (b) L (a 2).

Из второго и первого поляризованных тождеств Жордана это влечет

2 Q (ab, a) - L (b) Q (a) - Q (a) L (b) = 2 [L (a), L (ab)] + [L (b), L (a 2) ] = 0.

Поляризованная версия $[Q (a), L (a)] = 0$ является

::

\displaystyle {2[Q(a,b),L(a)]=2[L(b),Q(a)].}

Теперь, когда $R (a, b) = 2 [L (a), L (b)] + 2 L (ab)$ , следует, что

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=2[Q(a)L(b),L(a)]+2Q(a)L(ab)=2[Q(ab,a),L(a)]+2[L(a),L(b)]Q(a)+2Q(a)L(ab).}

Таким образом, последнее тождество с ab вместо b подразумевает тождество коммутации:

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=2[L(a),L(b)]Q(a)+2L(ab)Q(a)=R(a,b)Q(a).}

Тождество Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) можно усилить до

::

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}

Действительно, применительно к c первые два члена дают

\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}

Переключение b и c затем дает

\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}

Фундаментальная идентичность II [ править ]

Тождество $Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)$ доказывается с помощью соотношений скобок Ли ^[12]

\displaystyle {[R(a,b),R(c,d)]=R(R(a,b)c,d)-R(c,R(b,a)d).}

Действительно, поляризация по c тождества $Q (c) L (x) + L (x) Q (c) = 2 Q (cx, c)$ дает

\displaystyle {Q(c,y)L(x)+L(x)Q(c,y)=Q(yx,c)+Q(cx,y).}

Применяя обе части к d , это показывает, что

\displaystyle {[L(x),R(c,d)]=R(xc,d)-R(c,xd).}

В частности, эти уравнения верны при x = ab . С другой стороны, если T = [ L ( a ), L ( b )], то D ( z ) = Tz является дифференцированием йордановой алгебры, так что

\displaystyle {[T,R(c,d)]=R(Dc,d)+R(c,Dd).}

Соотношения скобок Ли вытекают из того, что R ( a , b ) = T + L ( ab ).

Поскольку скобка Ли в левой части антисимметрична,

::

\displaystyle {R(R(a,b)c,d)-R(c,R(b,a)d)=-R(R(c,d)a,b)+R(a,R(d,c)b).}

Как следствие

:

\displaystyle {R(y,Q(x)y)=R(y,x)^{2}-2Q(y)Q(x).}

Действительно, положим a = y , b = x , c = z , d = x и заставим обе стороны действовать на y .

С другой стороны

::

\displaystyle {2Q(Q(a)b)=2R(a,b)Q(Q(a)b,a)-Q(a)R(b,Q(a)b).}

В самом деле, это следует, если положить x = Q ( a ) b в

\displaystyle {[R(a,b),R(x,y)]a=-R(R(x,y)a,b)a+R(a,R(y,x)b)a.}

Следовательно, комбинируя эти уравнения с усиленным коммутационным тождеством,

\displaystyle {2Q(Q(a)b)=2R(a,b)Q(Q(a)b,a)-R(b,a)Q(a)R(a,b)+2Q(a)Q(b)Q(a)=2Q(a)Q(b)Q(a).}

Линейная йорданова алгебра, определяемая квадратичной йордановой алгеброй [ править ]

Пусть квадратичная йорданова алгебра над R или C . Следуя Джекобсону (1969) , линейная структура йордановой алгебры может быть ассоциирована с A так , что если L ( a ) является умножением Жордана, то квадратичная структура задается формулой Q ( a ) = 2 L ( a ) ² - L ( a ² ).

Во-первых, аксиому Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) можно усилить до

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}

Действительно, применительно к c первые два члена дают

\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}

Переключение b и c затем дает

\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}

Теперь позвольте

\displaystyle {L(a)={\frac {1}{2}}R(a,1).}

Замена b на a и a на 1 в приведенном выше тождестве дает

\displaystyle {R(a,1)=R(1,a)=2Q(a,1).}

Особенно

\displaystyle {L(a)=Q(a,1),\,\,\,L(1)=Q(1,1)=I.}

Если к тому же a обратимо, то

\displaystyle {R(a,b)=2Q(Q(a)b,a)Q(a)^{-1}=2Q(a)Q(b,a^{-1}).}

Аналогично, если ' b обратимо

\displaystyle {R(a,b)=2Q(a,b^{-1})Q(b).}

Произведение Иордана дается формулой

\displaystyle {a\circ b=L(a)b={\frac {1}{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}

так что

\displaystyle {a\circ b=b\circ a.}

Приведенная выше формула показывает, что 1 - это тождество. Определив a ² как a ∘ a = Q ( a ) 1, единственное оставшееся условие, которое нужно проверить, - это тождество Жордана

\displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0.}

В фундаментальной идентичности

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}

Замените a на a + t , установите b = 1 и сравните коэффициенты t ² с обеих сторон:

\displaystyle {Q(a)=2Q(a,1)^{2}-Q(a^{2},1)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}

Установка b = 1 во второй аксиоме дает

\displaystyle {Q(a)L(a)=L(a)Q(a),}

и поэтому L ( a ) должен коммутировать с L ( a ² ).

Смена личности [ править ]

В унитальной линейной йордановой алгебре тождество сдвига утверждает, что

:

\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}

Следуя Мейбергу (1972) , его можно установить как прямое следствие поляризованных форм фундаментального тождества и коммутационного или гомотопического тождества. Это также следствие теоремы Макдональда, поскольку это операторное тождество, включающее только две переменные. ^[13]

Для a в унитальной линейной йордановой алгебре A квадратичное представление имеет вид

\displaystyle {Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}),}

поэтому соответствующее симметричное билинейное отображение

\displaystyle {Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab).}

Остальные операторы задаются формулой

\displaystyle {{\frac {1}{2}}R(a,b)=L(a)L(b)-L(b)L(a)+L(ab),}

так что

\displaystyle {Q(a,b)=2L(a)L(b)-{\frac {1}{2}}R(a,b).}

Коммутация или гомотопическое тождество

\displaystyle {R(a,b)Q(a)=Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}

может быть поляризован в . Замена a на a + t 1 и взятие коэффициента при t дает

:

\displaystyle {L(b)Q(a)+R(a,b)L(a)=Q(a)L(b)+L(a)R(b,a)=L(Q(a)b)+2Q(ab,a).}

Фундаментальная идентичность

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a)}

может быть поляризован в . Замена a на a + t 1 и взятие коэффициентов t дает (меняя местами a и b )

:

\displaystyle {2Q(ab,a)=Q(a)L(b)+L(b)Q(a).}

Комбинирование двух предыдущих отображаемых идентификаторов дает

:

\displaystyle {L(Q(a)b)+L(b)Q(a)=L(a)R(b,a),\,\,\,\,L(Q(b)a)+Q(b)L(a)=R(b,a)L(b).}

Замена a на a + t 1 в фундаментальном тождестве и взятие коэффициента при t ² дает

\displaystyle {2Q(Q(a)b,b)-L(a)Q(b)L(a)=Q(a)Q(b)+Q(b)Q(a)-Q(ab).}

Поскольку правая часть симметрична, отсюда следует

:

\displaystyle {2Q(Q(a)b,b)-2Q(Q(b)a,a)=L(a)Q(b)L(a)-L(b)Q(a)L(b).}

Эти удостоверения могут быть использованы для подтверждения личности смены:

\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}

Это эквивалентно тождеству

\displaystyle {2L(Q(a)b)L(b)-Q(Q(a)b,b)=2L(a)L(Q(b)a)-Q(a,Q(b)a).}

По предыдущему отображаемому идентификатору это эквивалентно

\displaystyle {[L(Q(a)b)+L(b)Q(a)]L(b)=L(a)[L(Q(b)a)+Q(b)L(a)].}

С другой стороны, заключенные в квадратные скобки термины могут быть упрощены с помощью третьего отображаемого идентификатора. Это означает, что обе стороны равны $½ L (a) R (b, a) L (b)$ .

Для конечномерных йордановых алгебр с единицей тождество сдвига можно увидеть более непосредственно с помощью мутаций . ^[14] Пусть a и b обратимы, и пусть $L b (a) = R (a, b)$ - жорданов умножение в A ^b . Тогда $Q (b) L b (a) = L a (b) Q (b)$ . Кроме того, $Q (b) Q b (a) = Q (b) Q (a) Q (b) = Q a (b) Q (b)$ . с другой стороны, $Q b (a) = 2 L b (a) 2 - L b (a 2, b)$ и аналогично сместами a и b . Следовательно

\displaystyle {L_{a}(b^{2,a})Q(b)=Q(b)L_{b}(a^{2,b}).}

Таким образом

\displaystyle {R(Q(b)a,a)Q(b)=Q(b)R(Q(a)b,b)=R(b,Q(a)b)Q(b),}

так что тождество сдвига следует сокращением Q ( b ). Аргумент плотности позволяет отказаться от предположения об обратимости.

Иорданские пары [ править ]

Линейная унитальная йорданова алгебра порождает квадратичное отображение Q и соответствующее отображение R, удовлетворяющее фундаментальному тождеству, коммутации гомотопического тождества и тождеству сдвига. Джордан пара $(V +, V -)$ состоит из двух векторного пространства $V \pm$ и двух квадратичных отображений $Q \pm$ от $V \pm$ в $V \mp$ . Они определяют билинейные отображения $R \pm$ из $V \pm \times V \mp$ в $V \pm$ по формуле $R (a, b) c = 2 Q (a, c) b,$ где $2 Q (a, c) = Q (a + c) - Q (a) - Q (c)$ . Опуская ± нижние индексы, они должны удовлетворять^[15]

фундаментальная идентичность

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}

коммутация или гомотопическое тождество

\displaystyle {R(a,b)Q(a)=Q(a)R(b,a)=2Q(Q(a)b,a),}

и сменная личность

\displaystyle {R(Q(a)b,b)=R(a,Q(b)a).}

Унитальная Джордан алгебра определяет пару Jordan, принимая V _± = A с квадратичной структурой отображает Q и R .

См. Также [ править ]

Мутация (йорданова алгебра)

Заметки [ править ]

^ a b Расин (1973) стр.1
^ a b c d Расин (1973) стр.2
^ Якобсон (1968) стр.153
^ Якобсон (1968) стр.154
Перейти ↑ Racine (1973) p.3
^ Якобсон (1969) стр.35
^ Racine (1973) pp.5-6
^
См .:
- Koecher 1999 , стр. 72–76.
- Фараут и Кораньи , стр. 32–34.
^
См .:
- Якобсон, 1968 , стр. 40–47,52.
^
См .:
- Кехер 1999
- Faraut & Koranyi 1994 , стр. 32–35.
^ Meyberg 1972 , стр. 66-67
^ Мейберг 1972
^
См .:
- Мейберг, 1972 , стр. 85–86.
- МакКриммон 2004 , стр. 202–203.
^ Кехера 1999
^ Лоос 1975

Ссылки [ править ]

Faraut, J .; Кораньи, А. (1994), Анализ на симметричных конусах , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0198534779
Джейкобсон, Н. (1968), Структура и представления йордановых алгебр , Публикации коллоквиума Американского математического общества, 39 , Американское математическое общество
Джейкобсон, Н. (1969), Лекции по квадратичным йордановым алгебрам (PDF) , Институт фундаментальных исследований Тата Лекции по математике, 45 , Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, MR 0325715
Кочер, М. (1999), Миннесотские заметки о йордановых алгебрах и их приложениях , Лекционные заметки по математике, 1710 , Springer, ISBN 3-540-66360-6, Zbl 1072,17513
Лоос, Оттмар (1975), Иорданские пары , Лекционные заметки по математике, 460 , Springer-Verlag
Лоос, Оттмар (1977), Ограниченные симметричные области и Джордановы пары (PDF) , Математические лекции, Калифорнийский университет, Ирвин, заархивировано из оригинала (PDF) 03 марта 2016 г.
Макдональд, И.Г. (1960), "Йордановы алгебры с тремя образующими" , Proc. Лондонская математика. Soc. , 10 : 395-408, DOI : 10.1112 / PLMS / s3-10.1.395
МакКриммон, Кевин (1966), "Общая теория жордановых колец", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 56 : 1072-1079, DOI : 10.1073 / pnas.56.4.1072 , JSTOR 57792 , МР 0202783 , КУП 220000 , PMID 16591377 , Zbl +0139,25502
МакКриммон, Кевин (1975), "Квадратичные методы в неассоциативных алгебрах", Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Британская Колумбия, 1974), Vol. 1 (PDF) , стр. 325–330
Маккриммон, Kevin (2004), Вкус Иордания алгебр , Universitext, Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag , да : 10,1007 / b97489 , ISBN 978-0-387-95447-9, MR 2014924 , Zbl 1044.17001 , Errata
МакКриммон, Кевин (1978), "Йордановы алгебры и их приложения" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 84 : 612-627, DOI : 10,1090 / s0002-9904-1978-14503-0
Мейберг, К. (1972), Лекции по алгебрам и тройным системам (PDF) , Университет Вирджинии
Расин, Мишель Л. (1973), Арифметика квадратичных йордановых алгебр , Мемуары Американского математического общества, 136 , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1836-7, Zbl 0348,17009

Дальнейшее чтение [ править ]

Фолкнер, Джон Р. (1970), Октонионные плоскости, определенные квадратичными йордановскими алгебрами , Мемуары Американского математического общества, 104 , Американское математическое общество , ISBN 0-8218-5888-2, Zbl 0206,23301

[Rac1-1] Расин (1973) стр.1

[Rac2-2] Расин (1973) стр.2

[Jac153-3] Якобсон (1968) стр.153

[Jac154-4] Якобсон (1968) стр.154

[Rac3-5] Перейти ↑ Racine (1973) p.3

[6] Якобсон (1969) стр.35

[7] Racine (1973) pp.5-6

[8] См .:
Koecher 1999 , стр. 72–76.
Фараут и Кораньи , стр. 32–34.

[9] Koecher 1999 , стр. 72–76.

[10] Фараут и Кораньи , стр. 32–34.

[9] См .:
Якобсон, 1968 , стр. 40–47,52.

[12] Якобсон, 1968 , стр. 40–47,52.

[10] См .:
Кехер 1999
Faraut & Koranyi 1994 , стр. 32–35.

[14] Кехер 1999

[15] Faraut & Koranyi 1994 , стр. 32–35.

[11] Meyberg 1972 , стр. 66-67

[12] Мейберг 1972

[13] См .:
Мейберг, 1972 , стр. 85–86.
МакКриммон 2004 , стр. 202–203.

[19] Мейберг, 1972 , стр. 85–86.

[20] МакКриммон 2004 , стр. 202–203.

[14] Кехера 1999

[15] Лоос 1975

[1]