Трюк Рабиновича

В математике трюк Рабиновича , представленный Джорджем Юрием Райничом и опубликованный под его первоначальным именем Rabinowitsch (1929) , представляет собой краткий способ доказательства общего случая нулевого значения Гильберта на основе более легкого частного случая (так называемого слабого нулевого значения), введя дополнительную переменную.

Уловка Рабиновича заключается в следующем. Пусть K - алгебраически замкнутое поле . Предположим, что многочлен f из K [ x ₁ , ... x _n ] равен нулю, если все многочлены f ₁ , ...., f _m обращаются в нуль. Тогда многочлены f ₁ , ...., f _m , 1 -  x ₀ f не имеют общих нулей (где мы ввели новую переменную x ₀ ), поэтому по слабому Nullstellensatz для K [ x ₀ , ...,  Икс_n ] они порождают единичный идеал K [ x ₀  , ...,  x _n ]. Выражаясь по буквам, это означает, что существуют такие многочлены, что${\ displaystyle g_ {0}, g_ {1}, \ dots, g_ {m} \ in K [x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$

${\ displaystyle 1 = g_ {0} (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}) (1-x_ {0} f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})) ) + \ sum _ {i = 1} ^ {m} g_ {i} (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}) f_ {i} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$

как равенство элементов кольца многочленов . Поскольку переменные являются свободными, это равенство остается в силе, если вместо некоторых переменных подставляются выражения; в частности, из замены следует, что${\ Displaystyle К [x_ {0}, x_ {1}, \ точки, x_ {n}]}$${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {0} = 1 / f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$

${\displaystyle 1=\sum _{i=1}^{m}g_{i}(1/f(x_{1},\dots ,x_{n}),x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

как элементы поля рациональных функций , поля частных кольца многочленов . Более того, единственные выражения, которые встречаются в знаменателях правой части, - это f и степени f , поэтому переписывание этой правой части, чтобы иметь общий знаменатель, приводит к равенству в форме${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle 1={\frac {\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}{f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}}}}$

для некоторого натурального числа r и многочленов . Следовательно${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})^{r}=\sum _{i=1}^{m}h_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$,

который буквально утверждает, что лежит в идеале, порожденном f ₁ , ...., f _m . Это полная версия Nullstellensatz для K [ x ₁ , ..., x _n ].${\displaystyle f^{r}}$

Ссылки [ править ]

• Браунавелл, У. Дейл (2001) [1994], "Уловка Рабиновича" , Энциклопедия математики , EMS Press CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Rabinowitsch, JL (1929), "Zum Hilbertschen Nullstellensatz", Math. Аня. (на немецком языке ), 102 (1): 520, DOI : 10.1007 / BF01782361 , МР  1512592