Рациональное разностное уравнение

Рациональное разностное уравнение является нелинейным разностным уравнением вида ^{[1] [2] [3] [4]}

${\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {\ alpha + \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ beta _ {i} x_ {ni}} {A + \ sum _ {i = 0} ^ {k} B_ {i} x_ {ni}}} ~,}$

где начальные условия таковы, что знаменатель никогда не обращается в нуль ни при каком n .${\ displaystyle x_ {0}, x _ {- 1}, \ dots, x _ {- k}}$

Рациональное разностное уравнение первого порядка [ править ]

Рациональное разностное уравнение первого порядка является нелинейным разностным уравнением вида

${\ displaystyle w_ {t + 1} = {\ frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}.}$

Когда и начальное условие являются действительными числами, это разностное уравнение называется разностным уравнением Риккати . ^[3]${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle w_{0}}$

Такое уравнение можно решить, записав нелинейное преобразование другой переменной, которая сама изменяется линейно. Затем можно использовать стандартные методы для решения линейного разностного уравнения в .${\displaystyle w_{t}}$${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle x_{t}}$

Решение уравнения первого порядка [ править ]

Первый подход [ править ]

Один из подходов ^[5] к разработке преобразованной переменной , когда , состоит в том, чтобы написать${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle ad-bc\neq 0}$

${\displaystyle y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}}$

где и и где .${\displaystyle \alpha =(a+d)/c}$${\displaystyle \beta =(ad-bc)/c^{2}}$${\displaystyle w_{t}=y_{t}-d/c}$

Можно показать, что дальнейшее написание дает${\displaystyle y_{t}=x_{t+1}/x_{t}}$

${\displaystyle x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.}$

Второй подход [ править ]

Этот подход ^[6] дает разностное уравнение первого порядка для вместо уравнения второго порядка для случая, когда оно неотрицательно. Напишите подразумевая , где дано и где . Тогда можно показать, что эволюционирует согласно${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle (d-a)^{2}+4bc}$${\displaystyle x_{t}=1/(\eta +w_{t})}$${\displaystyle w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta =(d-a+r)/2c}$${\displaystyle r={\sqrt {(d-a)^{2}+4bc}}}$${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}$

Третий подход [ править ]

Уравнение

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$

также можно решить, рассматривая его как частный случай более общего матричного уравнения

${\displaystyle X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},}$

где все матрицы A, B, C, E и X являются матрицами размера n × n (в данном случае n = 1); решение этого - ^[7]

${\displaystyle X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}}$

где

${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.}$

Заявление [ править ]

В ^[8] показано, что динамическое матричное уравнение Риккати вида

${\displaystyle H_{t-1}=K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,}$

которые могут возникнуть в некоторых задачах оптимального управления с дискретным временем , могут быть решены с использованием второго подхода, описанного выше, если матрица C имеет только на одну строку больше, чем столбец.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Саймонс, Стюарт, "Нелинейное разностное уравнение", Mathematical Gazette 93, ноябрь 2009 г., стр. 500-504.