Псевдодополнение
В математике , особенно в теории порядка , псевдодополнение является одним из обобщений понятия дополнения . В решетке L с нижним элементом 0 говорят, что элемент x ∈ L имеет псевдодополнение , если существует наибольший элемент x * ∈ L со свойством x ∧ x * = 0. Более формально, x * = max{ y € L | х ∧ у = 0 }. Сама решетка L называется решеткой с псевдодополнениями, если каждый элемент L псевдодополнен. Любая решетка с псевдодополнениями обязательно ограничена , т. е. она также имеет единицу. Поскольку псевдодополнение уникально по определению (если оно существует), решетку с псевдодополнениями можно снабдить унарной операцией *, отображающей каждый элемент в его псевдодополнение; эту структуру иногда называют p -алгеброй . [1] [2] Однако этот последний термин может иметь и другие значения в других областях математики.
В p -алгебре L для всех [1] [2]
Множество S ( L ) ≝ { x ** | x ∈ L } называется скелетом L. S ( L ) является ∧- подполурешеткой L и вместе с x ∪ y = ( x ∨ y ) ** = ( x * ∧ y *)* образует булеву алгебру (дополнением в этой алгебре является *). [1] [ 2] В общем, S ( L ) не является подрешеткой L . [2] В дистрибутивной p -алгебре S ( L ) — это набор дополняемых элементов L. [1]
Каждый элемент x со свойством x * = 0 (или, что то же самое, x ** = 1) называется плотным . Каждый элемент вида x ∨ x * плотен. D ( L ) , множество всех плотных элементов в L является фильтром L . [1] [2] Дистрибутивная p -алгебра является булевой тогда и только тогда, когда D ( L ) = {1}. [1]
Относительное псевдодополнение a относительно b — это максимальный элемент c такой, что a ∧ c ≤ b . Эта бинарная операция обозначается a → b . Решетка с псевдодополнением для каждых двух элементов называется импликативной решеткой , или решеткой Брауэра . В общем, импликативная решетка может не иметь минимального элемента. Если такой минимальный элемент существует, то каждое псевдодополнение a * можно определить с использованием относительного псевдодополнения при a → 0. [4]