Время нарастания

В электронике , при описании напряжения или токе ступенчатой функции , время нарастания этого время принимается сигналом к изменению от заданного низкого значения до заданного высокого значения. ^[1] Эти значения могут быть выражены как отношения ^[2] или, что то же самое, как проценты ^{[3] по} отношению к заданному эталонному значению. В аналоговой электронике и цифровой электроники ^{[ править ]} , эти проценты , как правило , 10% и 90% (или , что эквивалентно 0,1 и 0,9) высоты шага вывода: ^[4] однако обычно используются другие значения. ^[5] Для приложений в теории управления, согласно Левину (1996 , стр. 158), время нарастания определяется как « время, необходимое для того, чтобы отклик увеличился с x% до y% от его окончательного значения », с 0% до 100% время нарастания обычно для систем второго порядка с недостаточным демпфированием , от 5% до 95% для систем с критическим демпфированием и от 10% до 90% для систем с избыточным демпфированием . ^[6] Согласно Орвилеру (1969 , стр. 22), термин «время нарастания» применяется как к положительной, так и к отрицательной переходной характеристике., даже если отображаемое отрицательное отклонение обычно называют временем падения . ^[7]

Обзор [ править ]

Время нарастания - это аналоговый параметр, имеющий фундаментальное значение в высокоскоростной электронике , поскольку он является мерой способности схемы реагировать на быстрые входные сигналы. ^[8] Было приложено много усилий, чтобы сократить время нарастания цепей, генераторов, а также оборудования для измерения и передачи данных. Эти сокращения, как правило, связаны с исследованиями более быстрых электронных устройств и с методами уменьшения параметров паразитных цепей (в основном, емкости и индуктивности). Для приложений, выходящих за пределы области высокоскоростной электроники , иногда желательно длительное (по сравнению с достижимым уровнем техники) время нарастания: примерами являются диммированиесвета, где более длительное время нарастания приводит, среди прочего, к более длительному сроку службы лампы, или к управлению аналоговыми сигналами цифровыми с помощью аналогового переключателя , где более длительное время нарастания означает меньшее емкостное сквозное соединение , и, следовательно, более низкий уровень шума связи с линиями управляемого аналогового сигнала.

Факторы, влияющие на время нарастания [ править ]

Для данного выхода системы время нарастания зависит как от времени нарастания входного сигнала, так и от характеристик системы . ^[9]

Например, значения времени нарастания в резистивной цепи в первую очередь связаны с паразитной емкостью и индуктивностью . Поскольку каждая цепь имеет не только сопротивление , но также емкость и индуктивность , задержка напряжения и / или тока на нагрузке очевидна до тех пор, пока не будет достигнуто установившееся состояние . В чистой RC-цепи время нарастания выхода (от 10% до 90%) приблизительно равно 2,2 RC . ^[10]

Альтернативные определения [ править ]

Иногда используются другие определения времени нарастания, помимо определения, данного в Федеральном стандарте 1037C (1997 , стр. R-22), и его небольшого обобщения, данного Левином (1996 , стр. 158): ^[11] эти альтернативные определения отличаются от стандарта не только рассматриваемыми референтными уровнями. Например, иногда используется временной интервал, графически соответствующий точкам пересечения касательной, проведенной через точку 50% отклика ступенчатой ​​функции. ^[12] Другое определение, введенное Элмором (1948 , стр. 57), ^[13], использует концепции из статистики и теории вероятностей . Учитывая ступенчатую реакцию V ( t ) , он переопределяет время задержки t _D как первый момент своей первой производной V ′ ( t ) , т.е.

${\ displaystyle t_ {D} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} tV ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} V ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t}}.}$

Наконец, он определяет время нарастания t _r , используя второй момент

${\ displaystyle t_ {r} ^ {2} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} (t-t_ {D}) ^ {2} V ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} V ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t}} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad t_ {r} = {\ sqrt {\ frac {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} (t-t_ {D}) ^ {2} V ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t} {\ int _ {0 } ^ {+ \ infty} V ^ {\ prime} (t) \ mathrm {d} t}}}}$

Время подъема модельных систем [ править ]

Обозначение [ править ]

Здесь перечислены все обозначения и предположения, необходимые для анализа.

• Следуя Levine ( 1996 , стр. 158, 2011 , 9-3 (313)), мы определяем x% как процентное низкое значение и y% как процентное высокое значение относительно эталонного значения сигнала, время нарастания которого должно быть оценено. .
• t ₁ - это время, в которое выходной сигнал анализируемой системы находится на уровне x% от установившегося значения, а t _{2 -} время, когда он находится на уровне y% , оба измеряются в секундах .
• t _r - время нарастания анализируемой системы, измеряемое в секундах. По определению,

${\ displaystyle t_ {r} = t_ {2} -t_ {1}.}$

• f _L - нижняя граничная частота (точка -3 дБ) анализируемой системы, измеренная в герцах .
• f _H - верхняя граничная частота (точка -3 дБ) анализируемой системы, измеренная в герцах.
• h ( t ) - импульсная характеристика анализируемой системы во временной области.
• H ( ω ) - частотная характеристика анализируемой системы в частотной области.
• Полоса пропускания определяется как

${\ displaystyle BW = f_ {H} -f_ {L} \,}$

и поскольку нижняя частота среза f _L обычно на несколько десятков лет ниже, чем более высокая частота среза f _H ,

${\ displaystyle BW \ cong f_ {H} \,}$

• Все анализируемые здесь системы имеют частотную характеристику, которая простирается до 0 (системы нижних частот), поэтому

${\ displaystyle f_ {L} = 0 \, \ Longleftrightarrow \, f_ {H} = BW}$ точно.

• Для простоты все системы, проанализированные в разделе « Простые примеры расчета времени нарастания », представляют собой электрические сети с единичным усилением , и все сигналы рассматриваются как напряжения : входной сигнал является ступенчатой ​​функцией от V ₀ вольт , и это означает, что

${\ displaystyle {\ frac {V (t_ {1})} {V_ {0}}} = {\ frac {x \%} {100}} \ qquad {\ frac {V (t_ {2})} { V_ {0}}} = {\ frac {y \%} {100}}}$

• ζ - коэффициент демпфирования, а ω ₀ - собственная частота данной системы второго порядка .

Простые примеры расчета времени нарастания [ править ]

Целью этого раздела является расчет времени нарастания переходной характеристики для некоторых простых систем:

Система отклика по Гауссу [ править ]

Говорят, что система имеет гауссову характеристику, если она характеризуется следующей частотной характеристикой

${\displaystyle |H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}}$

где σ  > 0 - постоянная ^[14], связанная с высокой частотой среза следующим соотношением:

${\displaystyle f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .}$

Даже если этот вид частотной характеристики не реализуемы с помощью причинного фильтра , ^[15] его полезность заключается в том , что поведение каскадного соединения из фильтров нижних частот первого порядка более близко приближается поведение этой системы , как количество каскадных этапов асимптотически поднимается до бесконечности . ^[16] Соответствующий импульсный отклик можно рассчитать с помощью обратного преобразования Фурье показанного частотного отклика.

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}}$

Применяя непосредственно определение ступенчатой ​​характеристики ,

${\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].}$

Чтобы определить время нарастания системы от 10% до 90%, необходимо решить для времени два следующих уравнения:

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],}$

Используя известные свойства функции ошибок , находится значение t  = -  t ₁  =  t ₂ : поскольку t _r  =  t ₂  -  t ₁  = 2 t ,

${\displaystyle t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\mathrm {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},}$

и наконец

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.}$^[17]

Одноступенчатая RC-сеть нижних частот [ править ]

Для простой одностадийной нижней частот сети RC , ^[18] 10% до 90% время нарастания пропорционально время сети постоянной τ  =  RC :

${\displaystyle t_{r}\cong 2.197\tau \,}$

Константа пропорциональности может быть получена из знания переходной характеристики сети на входной сигнал функции единичного шага с амплитудой V ₀ :

${\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}$

Решение на время

${\displaystyle {\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},}$

и наконец,

${\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)}$

Поскольку t ₁ и t ₂ таковы, что

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,}$

Решая эти уравнения, находим аналитическое выражение для t ₁ и t ₂ :

${\displaystyle t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})}$

${\displaystyle t_{2}=\tau \ln {10}\,}$

Таким образом, время нарастания пропорционально постоянной времени: ^[19]

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197}$

Теперь, отмечая, что

${\displaystyle \tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$^[20]

тогда

${\displaystyle t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},}$

и поскольку высокочастотная отсечка равна ширине полосы,

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.}$^[17]

Наконец, обратите внимание, что если вместо этого рассматривается время нарастания от 20% до 80%, t _r становится:

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}}$

Одноступенчатая низкочастотная сеть LR [ править ]

Даже для простой одностадийной нижних частот сети RL, 10% до 90% время нарастания пропорционально времени сети постоянной τ  =  ^L / _R . Формальное доказательство этого утверждения проводится точно так же, как показано в предыдущем разделе: единственное различие между окончательными выражениями для времени нарастания связано с различием в выражениях для постоянной времени τ двух различных схем, что в данном случае приводит к к следующему результату

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197}$

Время нарастания затухающих систем второго порядка [ править ]

Согласно Левину (1996 , стр. 158), для систем с недостаточным демпфированием, используемых в теории управления, время нарастания обычно определяется как время, за которое форма волны изменяется от 0% до 100% от своего окончательного значения: ^[6] соответственно, время нарастания от 0 до 100% недемпфированной системы 2-го порядка имеет следующий вид: ^[21]

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]}$

Квадратичная аппроксимация для нормализованного времени нарастания для системы второго порядка, шаг ответа , нет нулей есть:

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12\,}$

где ζ - коэффициент демпфирования, а ω ₀ - собственная частота сети.

Время нарастания каскадных блоков [ править ]

Рассмотрим систему, состоящую из n каскадных невзаимодействующих блоков, каждый из которых имеет время нарастания t _{r i} , i  = 1, ..., n , и не имеет перерегулирования в их переходной характеристике : предположим также, что входной сигнал первого блока имеет время нарастания, значение которого равно т _{г S} . ^[22] После этого его выходной сигнал имеет время нарастания t _{r 0,} равное

${\displaystyle t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}}$

Согласно Valley & Wallman (1948 , стр. 77–78), этот результат является следствием центральной предельной теоремы и был доказан Уоллманом (1950) : ^{[23] [24],} однако представлен подробный анализ проблемы. от Petitt & McWhorter (1961 , §4-9, стр. 107-115), ^[25] , который также кредитовать Elmore (1948) , как и первый , чтобы доказать предыдущую формулу на несколько строгой основе. ^[26]

См. Также [ править ]

• Время падения
• Частотный отклик
• Импульсивный ответ
• Шаговый ответ
• Время установления

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]