Матрица системы Розенброка

В прикладной математике матрица системы Розенброка или матрица системы Розенброка линейной инвариантной во времени системы является полезным представлением, связывающим представление в пространстве состояний и форму матрицы передаточной функции . Он был предложен в 1967 году Говардом Х. Розенброком . ^[1]

Определение [ править ]

Рассмотрим динамическую систему

${\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax + Bu,}$

${\ displaystyle y = Cx + Du.}$

Матрица системы Розенброка имеет вид

${\ displaystyle P (s) = {\ begin {pmatrix} sI-A & -B \\ C&D \ end {pmatrix}}.}$

В оригинальной работе Розенброка постоянная матрица может быть полиномом от .${\ displaystyle D}$${\ displaystyle s}$

Передаточная функция между входом и выходом определяется выражением ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle g_ {ij} = {\ frac {\ begin {vmatrix} sI-A & -b_ {i} \\ c_ {j} & d_ {ij} \ end {vmatrix}} {| sI-A |}}}$

где это столбец из и это строка из .${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle c_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle C}$

Основываясь на этом представлении, Розенброк разработал свою версию теста PHB.

Краткая форма [ править ]

Для вычислительных целей более подходящей является краткая форма матрицы системы Розенброка ^{[2], которая} определяется выражением

${\displaystyle P\sim {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}$

Краткая форма матрицы системы Розенброка широко использовалась в методах H-бесконечности в теории управления , где ее также называют упакованной формой; см. команду pck в MATLAB. ^[3] Интерпретацию матрицы системы Розенброка как дробно-линейного преобразования можно найти в. ^[4]

Одним из первых приложений формы Розенброка была разработка эффективного вычислительного метода разложения Калмана , основанного на методе стержневых элементов. Вариант метода Розенброка реализован в команде minreal в Matlab ^[5] и GNU Octave .

Ссылки [ править ]