Методы H-бесконечности в теории управления

H _∞ (т.е. « H- бесконечность ») методы используются в теории управления для синтеза контроллеров для достижения стабилизации с гарантированной производительностью. Чтобы использоватьметоды H _∞ , разработчик управления выражает проблему управления как задачу математической оптимизации, а затем находит контроллер, который решает эту оптимизацию. Технологии H _∞ имеют преимущество перед классическими методами управления в том, что методы H _∞ легко применимы к задачам, включающим многомерные системы с перекрестной связью между каналами; недостатки H _∞методы включают в себя уровень математического понимания, необходимый для их успешного применения, и потребность в достаточно хорошей модели системы, которой необходимо управлять. Важно помнить, что полученный контроллер является оптимальным только в отношении заданной функции затрат и не обязательно представляет собой лучший контроллер с точки зрения обычных показателей производительности, используемых для оценки контроллеров, таких как время установления, затраченная энергия и т. Д. Кроме того, нелинейные ограничения, такие как насыщенность, обычно не учитываются. Эти методы были введены в теорию управления в конце 1970-х - начале 1980-х годов Джорджем Замесом (минимизация чувствительности), ^[1] Дж. Уильямом Хелтоном (широкополосное согласование) ^[2] и Алленом Танненбаумом.(оптимизация прибыли). ^[3]

Фраза H _∞ управление происходит от имени математического пространства , над которым происходит оптимизация: H _∞ является пространство Харди из матрицы значных функций , которые являются аналитическими и ограничены в открытой правой половины комплексной плоскости , определяемой Re ( s )> 0; в H _∞ норма является максимальным сингулярным значением функции над этим пространством. (Это можно интерпретировать как максимальное усиление в любом направлении и на любой частоте; для систем SISO это фактически максимальная величина частотной характеристики.) H _∞ могут использоваться методы, позволяющие минимизировать влияние возмущения в замкнутом контуре: в зависимости от постановки задачи воздействие будет измеряться либо с точки зрения стабилизации, либо с точки зрения производительности.

Одновременная оптимизация надежной работы и надежной стабилизации затруднена. Один из методов , который приближается к достижению этой цели является H _∞ петли формирования , что позволяет разработчику управления применять классические понятия петли Корректирующей к многофакторном частотной характеристику , чтобы получить хорошую надежную производительность, а затем оптимизирует отклик вблизи полосы пропускания системы для достижения хорошего надежная стабилизация.

Доступно коммерческое программное обеспечение для поддержки синтеза контроллеров H _∞ .

Постановка проблемы [ править ]

Во-первых, процесс должен быть представлен в следующей стандартной конфигурации:

Объект P имеет два входа: экзогенный вход w , который включает опорный сигнал и возмущения, и управляемые переменные u . Есть два выхода: сигналы ошибки z, которые мы хотим минимизировать, и измеряемые переменные v , которые мы используем для управления системой. v используется в K для вычисления управляемых переменных u . Обратите внимание, что все это, как правило, векторы , а P и K - матрицы .

В формулах система:

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} z ​​\\ v \ end {bmatrix}} = \ mathbf {P} (s) \, {\ begin {bmatrix} w \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} P_ {11} (s) & P_ {12} (s) \\ P_ {21} (s) & P_ {22} (s) \ end {bmatrix}} \, {\ begin {bmatrix} w \\ и \ конец {bmatrix}}}$

${\ Displaystyle и = \ mathbf {K} (s) \, v}$

Следовательно, можно выразить зависимость z от w как:

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w}$

Называется нижним дробно-линейным преобразованием , определяется (нижний индекс происходит снизу ):${\displaystyle F_{\ell }}$

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

Следовательно, цель разработки системы управления - найти такой контроллер , который был бы минимизирован согласно норме. То же определение применяется к дизайну элементов управления. Бесконечная норма матрицы передаточной функции определяется как:${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))}$

где - максимальное сингулярное значение матрицы .${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )}$

Достижимая H _∞ норма замкнутой системы в основном задается через матрицу D ₁₁ (когда система P задана в форме ( A , B ₁ , B ₂ , C ₁ , C ₂ , D ₁₁ , D ₁₂ , D ₂₂ , Д ₂₁ )). Есть несколько способов прийти к контроллеру H _∞ :

• Юла-Кучера параметризация замкнутого контура часто приводит к очень контроллеру высокого порядка.
• Подходы, основанные на Риккати, решают 2 уравнения Риккати для поиска регулятора, но требуют нескольких упрощающих предположений.
• Переформулировка уравнения Риккати на основе оптимизации использует линейные матричные неравенства и требует меньшего количества предположений.

См. Также [ править ]

• Харди космос
• H квадрат
• Формирование петли H-бесконечности
• Линейно-квадратично-гауссовское управление (LQG)
• Матрица системы Розенброка

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]