В теории систем управления и различных областях техники матрица передаточной функции или просто передаточная матрица представляет собой обобщение передаточных функций систем с одним входом и одним выходом (SISO) на системы с несколькими входами и несколькими выходами (MIMO). . [1] матрица относится выходы системы на его входы. Это особенно полезная конструкция для линейных систем, не зависящих от времени (LTI), поскольку ее можно выразить через s-плоскость .
В некоторых системах, особенно в тех, которые полностью состоят из пассивных компонентов, может быть неоднозначно, какие переменные являются входными, а какие - выходными. В электротехнике общая схема состоит в том, чтобы собрать все переменные напряжения с одной стороны и все переменные тока с другой, независимо от того, какие входы или выходы. Это приводит к тому, что все элементы передаточной матрицы выражаются в единицах импеданса . Концепция импеданса (и, следовательно, матрицы импеданса) была по аналогии заимствована в других областях энергетики, особенно в механике и акустике.
Многие системы управления охватывают несколько различных энергетических областей. Это требует передаточных матриц с элементами в смешанных единицах. Это необходимо как для описания преобразователей, которые устанавливают связи между доменами, так и для описания системы в целом. Если матрица должна правильно моделировать потоки энергии в системе, для этого необходимо выбрать совместимые переменные.
Общий
Система MIMO с m выходами и n входами представлена матрицей m × n . Каждая запись в матрице имеет форму передаточной функции, связывающей выход со входом. Например, для системы с тремя входами и двумя выходами можно написать:
где u n - входы, y m - выходы, а g mn - передаточные функции. Это может быть записано более кратко в обозначениях матричных операторов как,
где Y - вектор-столбец выходов, G - матрица передаточных функций, а U - вектор-столбец входов.
Во многих случаях рассматриваемая система является линейной инвариантной во времени (LTI) системой. В таких случаях удобно выразить матрицу переноса в терминах преобразования Лапласа (в случае переменных с непрерывным временем ) или z-преобразования (в случае переменных с дискретным временем ) переменных. Это может быть указано в письменной форме, например,
что указывает на то, что переменные и матрица выражены в единицах s , комплексной частотной переменной s-плоскости, возникающей в результате преобразований Лапласа, а не времени. Предполагается, что все примеры в этой статье представлены в этой форме, хотя это явно не указано для краткости. Для систем с дискретным временем s заменяется на z из z-преобразования, но это не имеет значения для последующего анализа. Матрица особенно полезна, когда это правильная рациональная матрица , то есть все ее элементы являются собственными рациональными функциями . В этом случае может применяться представление в пространстве состояний. [2]
В системной инженерии общая матрица передачи G ( s ) системы разбивается на две части: H ( s ), представляющая управляемую систему, и C ( s ), представляющая систему управления. C ( s ) принимает в качестве входов входы G ( s ) и выходы H ( s ) . Выходы C ( s ) образуют входы для H ( s ) . [3]
Электрические системы
В электрических системах часто бывает, что различие между входными и выходными переменными неоднозначно. Они могут быть любыми, в зависимости от обстоятельств и точки зрения. В таких случаях концепция порта (место, где энергия передается от одной системы к другой) может быть более полезной, чем ввод и вывод. Принято определять две переменные для каждого порта ( p ): напряжение на нем ( V p ) и ток, входящий в него ( I p ). Например, матрица передачи двухпортовой сети может быть определена следующим образом:
где z mn называются параметрами импеданса или z- параметрами. Они называются так потому, что измеряются в единицах импеданса и связывают токи порта с напряжением порта. Z-параметры - не единственный способ определения матриц передачи для двухпортовых сетей. Существует шесть основных матриц, которые связывают напряжения и токи, каждая из которых имеет преимущества для определенных топологий системной сети. [4] Однако только два из них могут быть расширены за пределы двух портов до произвольного числа портов. Эти два параметра являются параметрами z и обратными им, параметрами полной проводимости или параметрами y . [5]
Чтобы понять взаимосвязь между напряжениями и токами портов и входами и выходами, рассмотрим простую схему делителя напряжения. Если мы хотим рассматривать только выходное напряжение ( V 2 ), возникающее в результате подачи входного напряжения ( V 1 ), то передаточная функция может быть выражена как
которую можно рассматривать как тривиальный случай трансфер-матрицы размером 1 × 1. Выражение правильно предсказывает выходное напряжение, если нет тока, выходящего из порта 2, но становится все более неточным по мере увеличения нагрузки. Если, однако, мы попытаемся использовать схему в обратном направлении, возбудив ее напряжением на порте 2 и вычислив результирующее напряжение на порте 1, выражение даст совершенно неверный результат даже при отсутствии нагрузки на порту 1. Оно предсказывает большее напряжение на порте 1. порт 1, чем был применен к порту 2, что невозможно с чисто резистивной схемой, подобной этой. Чтобы правильно спрогнозировать поведение схемы, необходимо также учитывать токи, входящие или выходящие из портов, что и делает матрица передачи. [6] Матрица импеданса схемы делителя напряжения:
который полностью описывает его поведение при всех условиях ввода и вывода. [7]
На микроволновых частотах ни одна из передаточных матриц, основанная на напряжениях и токах портов, не удобна для использования на практике. Напряжение трудно измерить напрямую, ток - почти невозможно, а разомкнутые цепи и короткие замыкания, требуемые методикой измерения, не могут быть достигнуты с какой-либо точностью. Для волноводных реализаций напряжение и ток в цепи совершенно бессмысленны. Вместо этого используются передаточные матрицы, использующие различные типы переменных. Это мощности, передаваемые в порт и отраженные от порта, которые легко измеряются в технологии линий передачи, используемых в схемах с распределенными элементами в микроволновом диапазоне. Наиболее известным и широко используемым из таких параметров являются параметры рассеяния или s-параметры. [8]
Механические и другие системы
Концепция импеданса может быть расширена на механическую и другие области с помощью механико-электрической аналогии , следовательно, параметры импеданса и другие формы параметров 2-портовой сети могут быть распространены также на механическую область. Для этого переменного усилия и переменный потока выполнены аналоги напряжения и тока соответственно. Для механических систем при перемещении этими переменными являются сила и скорость соответственно. [9]
Выражение поведения механического компонента как двухпортового или многопортового с передаточной матрицей - полезная вещь, потому что, как и электрические цепи, компонент часто может работать в обратном направлении, и его поведение зависит от нагрузок на входы и выходы. Например, зубчатая передача часто характеризуется просто своим передаточным числом - передаточной функцией SISO. Однако выходной вал коробки передач может вращаться для вращения входного вала, что требует анализа MIMO. В этом примере переменными усилия и расхода являются крутящий момент T и угловая скорость ω соответственно. Матрица переноса по z-параметрам будет выглядеть так:
Однако z-параметры не обязательно являются наиболее удобными для характеристики зубчатых передач. Зубчатая передача является аналогом электрического трансформатора, и h-параметры ( гибридные параметры) лучше описывают трансформаторы, потому что они напрямую включают передаточные числа (аналог передаточных чисел). [10] Передаточная матрица коробки передач в формате h-параметра:
- где
- h 21 - передаточное число зубчатой передачи без нагрузки на выходе,
- h 12 - передаточное число крутящего момента в обратном направлении зубчатой передачи с зажатым входным валом, равное передаточному отношению скоростей переднего хода для идеальной коробки передач,
- h 11 - входное вращательное механическое сопротивление без нагрузки на выходной вал, ноль для идеальной коробки передач, и,
- h 22 - выходное вращательное механическое сопротивление при зажатом входном валу.
Для идеальной зубчатой передачи без потерь (трение, деформация и т. Д.) Это упрощает:
где N - передаточное число. [11]
Преобразователи и приводы
В системе, состоящей из нескольких энергетических доменов, требуются передаточные матрицы, которые могут обрабатывать компоненты с портами в разных доменах. В робототехнике и мехатронике , исполнительные механизмы необходимы. Обычно они состоят из преобразователя, преобразующего, например, сигналы от системы управления в электрической области в движение в механической области. Система управления также требует датчиков, которые обнаруживают движение и преобразуют его обратно в электрическую область через другой преобразователь, чтобы можно было должным образом управлять движением через контур обратной связи. Другие датчики в системе могут быть преобразователями, преобразующими еще другие области энергии в электрические сигналы, такие как оптические, звуковые, тепловые, поток текучей среды и химические. Другое применение - это область механических фильтров, для которых требуются преобразователи между электрической и механической областями в обоих направлениях.
Простым примером является электромагнитный электромеханический привод, управляемый электронным контроллером. Для этого требуется преобразователь с входным портом в электрической области и выходным портом в механической области. Это может быть упрощенно представлено передаточной функцией SISO, но по причинам, аналогичным тем, которые уже были указаны, более точное представление достигается с помощью матрицы передачи MIMO с двумя входами и двумя выходами. В z-параметрах это принимает вид
где F - сила, приложенная к приводу, а v - результирующая скорость привода. Параметры импеданса здесь представляют собой смесь единиц; z 11 - электрический импеданс, z 22 - механический импеданс, а два других - трансимпеданс в гибридной комбинации модулей. [12]
Акустические системы
Акустические системы являются подмножеством динамики жидкостей , и в обоих полях первичные входные и выходные переменные давления , Р , и объемная скорость потока , Q , кроме как в случае звука , проходящего через твердые компоненты. В последнем случае более подходящими являются основные переменные механики, сила и скорость. Пример акустического компонента два порта является фильтром , такими как глушитель на в выхлопной системе . Матричное представление этого может выглядеть так:
Здесь T mn - параметры передачи, также известные как ABCD-параметры . Компонент можно так же легко описать с помощью z-параметров, но параметры передачи имеют математическое преимущество при работе с системой из двух портов, которые соединены каскадом выхода одного порта во входной порт другого. В таких случаях общие параметры передачи находятся просто путем матричного умножения матриц параметров передачи составляющих компонентов. [13]
Совместимые переменные
При работе со смешанными переменными из разных областей энергии необходимо учитывать, какие переменные следует рассматривать как аналогичные. Выбор зависит от того, чего предназначен анализ. Если желательно правильно моделировать потоки энергии во всей системе, тогда пара переменных, произведение которых представляет собой мощность (степенно сопряженные переменные) в одной области энергии, должна отображаться в сопряженные переменные мощности в других областях. Переменные, сопряженные со степенью сопряжения, не уникальны, поэтому необходимо использовать одно и то же отображение переменных во всей системе. [14]
Общее сопоставление (используемое в некоторых примерах в этой статье) сопоставляет переменные усилий (те, которые инициируют действие) из каждого домена вместе и сопоставляет переменные потока (те, которые являются свойством действия) из каждого домена вместе. Каждая пара переменных усилия и потока сопряжена по степеням. Эта система известна как аналог импеданса, потому что отношение усилия к переменной потока в каждой области аналогично электрическому импедансу. [15]
Существуют две другие системы степенного сопряжения для тех же переменных, которые используются. Аналогия подвижности карты механической силы электрического тока , а не напряжения. Эта аналогия широко используется разработчиками механических фильтров, а также часто в аудиоэлектронике. Сопоставление имеет то преимущество, что сохраняет топологию сети по доменам, но не поддерживает сопоставление импедансов. Аналогия Трента классифицирует степенно сопряженные переменные как через переменные, так и через переменные в зависимости от того, действуют ли они через элемент системы или через него. Это в значительной степени заканчивается тем же, что и аналогия с подвижностью, за исключением случая области течения жидкости (включая область акустики). Здесь давление делается аналогично напряжению (как в аналогии импеданса), а не току (как в аналогии мобильности). Тем не менее, сила в механической области является аналогом тока , потому что сила действует через объект. [16]
Есть несколько часто используемых аналогий, в которых пары степенного сопряжения не используются. Для датчиков правильное моделирование потоков энергии может быть не так важно. Датчики часто выделяют в систему лишь крошечные количества энергии. Выбор переменных, которые удобно измерять, особенно тех, которые обнаруживает датчик, может быть более полезным. Так , например, в тепловом сопротивлении аналогии, тепловое сопротивление рассматриваются аналогично электрическое сопротивление, что приводит к разности температур и картирование тепловой энергии к напряжению и току соответственно. Сопряженная с разницей температур мощность - это не тепловая мощность, а, скорее, расход энтропии , который нельзя измерить напрямую. Другая аналогия того же рода имеет место в магнитной области. Это сопоставляет магнитное сопротивление с электрическим сопротивлением, что приводит к сопоставлению магнитного потока с током, а не со скоростью изменения магнитного потока, как это требуется для совместимых переменных. [17]
История
Матричное представление линейных алгебраических уравнений известно давно. Пуанкаре в 1907 году первым описал преобразователь как пару таких уравнений, связывающих электрические переменные (напряжение и ток) с механическими переменными (сила и скорость). Вегель в 1921 году первым выразил эти уравнения в терминах механического сопротивления, а также электрического сопротивления. [18]
Впервые передаточные матрицы для представления системы управления MIMO использовали Боксенбом и Худ в 1950 году, но только для конкретного случая газотурбинных двигателей, которые они изучали для Национального консультативного комитета по аэронавтике . [19] Круикшанк предоставил более прочную основу в 1955 году, но без полной универсальности. Кавана в 1956 г. дал первую полностью общую трактовку, установив матричную взаимосвязь между системой и управлением и предоставив критерии реализуемости системы управления, которая могла бы обеспечить заданное поведение управляемой системы. [20]
Смотрите также
- Трансфер-матричный метод (оптика)
Рекомендации
- ^ Чен, стр. 1038
- ^ Левин, стр. 481
- Чен, стр. 1037–1038.
- Перейти ↑ Kavanagh, p. 350
- ↑ Chen, стр. 54–55.
- Айер, стр. 240
- Бакши и Бакши, стр. 420
- ^ Чома, стр. 197
- ↑ Ян и Ли, стр. 37–38
- ^ Bessai, стр. 4-5
- ^ Нгуен, стр. 271
- Бессай, с. 1
- ^ Busch-Вишняк, стр. 19-20
- ↑ Olsen, стр. 239–240.
- ^ Busch-Вишняк, стр. 20
- Кениг и Блэквелл, стр. 170
- ^ Пирс, стр. 200
- ^ Мунджал, стр. 81 год
- ^ Busch-Вишняк, стр. 18
- ^ Busch-Вишняк, стр. 20
- ^ Busch-Вишняк, стр. 19-20
- ↑ Busch-Vishniac, стр.18, 20
- ^ Пирс, стр. 200
- Перейти ↑ Kavanagh, p. 350
- Бокенхэм и Худ, стр. 581
- Перейти ↑ Kavanagh, pp. 349–350
Библиография
- Бессай, Хорст, Сигналы и системы MIMO , Springer, 2006 ISBN 038727457X .
- Бакши, А.В.; Бакши, UA, Сетевая теория , Технические публикации, 2008 г. ISBN 8184314027 .
- Boksenbom, Aaron S .; Худ, Ричард, «Общий алгебраический метод, применяемый для анализа управления сложными типами двигателей» , NACA Report 980, 1950.
- Буш-Вишняк, Илен Дж., Электромеханические датчики и исполнительные механизмы , Springer, 1999 г. ISBN 038798495X .
- Чен, Вай Кай, Справочник по электротехнике , Academic Press, 2004 г. ISBN 0080477488 .
- Чома, Джон, Электрические сети: теория и анализ , Wiley, 1985. ISBN 0471085286 .
- Cruickshank, AJO, "Матричная формулировка уравнений системы управления", The Matrix and Tensor Quarterly , vol. 5, вып. 3, стр. 76, 1955.
- Айер, TSKV, Теория цепей , Tata McGraw-Hill Education, 1985 ISBN 0074516817 .
- Кавана, Р.Дж., "Применение матричных методов к многопараметрическим системам управления" , Журнал Института Франклина , вып. 262, вып. 5. С. 349–367, ноябрь 1956 г.
- Кениг, Герман Эдвард; Блэквелл, Уильям А., Теория электромеханических систем , McGraw-Hill, 1961 OCLC 564134
- Левин, Уильям С., Справочник по контролю , CRC Press, 1996 ISBN 0849385709 .
- Нгуен, Кэм, Разработка радиочастотных интегральных схем , Wiley, 2015 г. ISBN 1118936485 .
- Олсен А., "Определение характеристик трансформаторов с помощью h-параметров" , IEEE Transactions on Circuit Theory , vol. 13, вып. 2. С. 239–240, июнь 1966 г.
- Пирс, Аллан Д. Акустика: введение в ее физические принципы и приложения , Акустическое общество Америки, 1989 г. ISBN 0883186128 .
- Пуанкаре, Х., "Etude du récepteur téléphonique" , Eclairage Electrique , vol. 50. С. 221–372, 1907.
- Вегель, Р.Л., "Теория магнитомеханических систем применительно к телефонным приемникам и аналогичным структурам" , Журнал Американского института инженеров-электриков , вып. 40. С. 791–802, 1921.
- Ян, Вон Й .; Ли, Сунг К., Системы схем с MATLAB и PSpice , Wiley 2008, ISBN 0470822406 .