Рациональная функция

В математике рациональная функция — это любая функция , которая может быть определена рациональной дробью , то есть алгебраической дробью , в которой и числитель , и знаменатель являются полиномами . Коэффициенты многочленов не обязательно должны быть рациональными числами ; их можно взять в любом поле K . В этом случае говорят о рациональной функции и рациональной дроби над K . Значения переменных можно взять в любом поле L , содержащем K. Тогда область определения функции — это набор значений переменных, для которых знаменатель не равен нулю, а область значений — L .

Множество рациональных функций над полем K есть поле, поле частных кольца полиномиальных функций над K .

Функция называется рациональной тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде${\ Displaystyle е (х)}$

где и являются полиномиальными функциями и не является нулевой функцией . Область определения — это множество всех значений, у которых знаменатель не равен нулю.${\ Displaystyle Р \,}$${\ Displaystyle Q \,}$${\ Displaystyle х \,}$${\ Displaystyle Q \,}$${\ Displaystyle е \,}$${\ Displaystyle х \,}$${\ Displaystyle Q (х) \,}$

Однако, если и имеют непостоянный полиномиальный наибольший общий делитель , то установка и производит рациональную функцию${\ Displaystyle \ textstyle Р}$${\ Displaystyle \ textstyle Q}$ ${\ Displaystyle \ textstyle R}$${\ Displaystyle \ textstyle P = P_ {1} R}$${\ Displaystyle \ textstyle Q = Q_ {1} R}$

Примеры рациональных функций

Рациональная функция степени 2 с графиком степени 3:${\ displaystyle y = {\ frac {x ^ {2} -3x-2} {x ^ {2} -4}}}$