Магический квадрат Фройденталя

А \ Б	${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$	${\ displaystyle \ mathbb {H}}$	${\ displaystyle \ mathbb {O}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$	А ₁	А ₂	C ₃	П ₄
${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$	А ₂	А ₂ × А ₂	А ₅	E ₆
${\ displaystyle \ mathbb {H}}$	C ₃	А ₅	D ₆	E ₇
О {\ displaystyle \ mathbb {O}}	П 4	E 6	E 7	E 8

В математике , то Freudenthal квадрат магии (или Фройденталь-Сиськи магический квадрат ) представляет собой конструкцию , в отношении нескольких алгебр Ли (и связанные с ними группы Ли ). Он назван в честь Ганса Фройденталя и Жака Титса , которые независимо разработали эту идею. Он связывает алгебру Ли с парой деления алгебры A , B . Полученные алгебры Ли имеют диаграммы Дынкина согласно таблице справа. «Магия» магического квадрата Фрейденталя состоит в том, что построенная алгебра Ли симметрична относительно A и B., несмотря на то, что исходная конструкция не является симметричной, однако симметричный метод Винберга дает симметричную конструкцию.

Магический квадрат Фрейденталя включает в себя все исключительные группы Ли, кроме G 2 , и предлагает один из возможных подходов для обоснования утверждения о том, что «все исключительные группы Ли существуют благодаря октонионам »: G ₂ сам является группой автоморфизмов октонионов. (Кроме того, она во многом похожа на классическую группу Ли, потому что она является стабилизатором общей 3-формы в 7-мерном векторном пространстве - см. предоднородное векторное пространство ).

Конструкции [ править ]

Смотрите историю для контекста и мотивации. Первоначально они были построены примерно в 1958 году Фройденталем и Титсом, а в последующие годы были разработаны более элегантные формы. ^[1]

Подход Титса [ править ]

Подход Титса, открытый примерно в 1958 г. и опубликованный в ( Tits 1966 ), заключается в следующем.

Связанные с любым нормированном реальным разделением алгебры А (т.е., R, С, Н или О) есть алгебра Джордан , J ₃ ( ), 3 × 3 А - эрмитовы матрицы . Для любой пары ( A , B ) таких алгебр с делением можно определить алгебру Ли

{\ Displaystyle L = \ left ({\ mathfrak {der}} (A) \ oplus {\ mathfrak {der}} (J_ {3} (B)) \ right) \ oplus \ left (A_ {0} \ otimes J_ {3} (B) _ {0} \ right)}

где обозначает алгебру Ли дифференцирования алгебры, а индекс 0 обозначает след свободной части. Алгебра Ли L имеет подалгебру, и она действует естественным образом на . Скобка Ли на (которая не является подалгеброй) не очевидна, но Титс показал, как она может быть определена, и что она дала следующую таблицу компактных алгебр Ли . ${\ displaystyle {\ mathfrak {der}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {der}} (A) \ oplus {\ mathfrak {der}} (J_ {3} (B))}$ ${\ displaystyle A_ {0} \ otimes J_ {3} (B) _ {0}}$ ${\ displaystyle A_ {0} \ otimes J_ {3} (B) _ {0}}$

	B	р	C	ЧАС	О
А	дер (A / B)	0	0	${\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {g}}_{2}$
р	0	${\mathfrak {so}}_{3}$	${\mathfrak {su}}_{3}$	${\mathfrak {sp}}_{3}$	${\mathfrak {f}}_{4}$
C	0	${\mathfrak {su}}_{3}$	${\mathfrak {su}}_{3}\oplus {\mathfrak {su}}_{3}$	${\mathfrak {su}}_{6}$	${\mathfrak {e}}_{6}$
ЧАС	${\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {sp}}_{3}$	${\mathfrak {su}}_{6}$	${\mathfrak {so}}_{12}$	${\mathfrak {e}}_{7}$
О	${\mathfrak {g}}_{2}$	${\mathfrak {f}}_{4}$	${\mathfrak {e}}_{6}$	${\mathfrak {e}}_{7}$	${\mathfrak {e}}_{8}$

По построению строка таблицы с A = R дает , и аналогично наоборот. ${\mathfrak {der}}(J_{3}(B))$

Симметричный метод Винберга [ править ]

«Магия» магический квадрат Фрейденталь, что построенная алгебра Ли симметрична A и B . Это не очевидно из конструкции Титса. Эрнест Винберг дал явно симметричную конструкцию в ( Vinberg 1966 ). Вместо того , чтобы использовать алгебру Джордана, он использует алгебру косоэрмитовых бесследовых матриц с элементами в A ⊗ B , обозначаемые . Винберг определяет структуру алгебры Ли на ${\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)$

{\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)\oplus {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B).

Когда A и B не имеют производных (т.е. R или C ), это просто скобка Ли (коммутатор) на . При наличии дифференцирований они образуют подалгебру, действующую естественным образом, как в конструкции Титса, а свободная от следов коммутаторная скобка на модифицируется выражением со значениями в . ${\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)$ ${\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)$ ${\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)$ ${\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)$

Triality [ править ]

Более поздняя конструкция, разработанная Пьером Рамоном ( Рамонд, 1976 ) и Брюсом Эллисоном ( Эллисон, 1978 ), и разработанная Крисом Бартоном и Энтони Садбери , использует тройственность в форме, разработанной Джоном Фрэнком Адамсом ; это было представлено в ( Barton & Sudbery 2000 ), а в упрощенной форме - в ( Barton & Sudbery 2003 ). В то время как конструкция Винберга основана на группах автоморфизмов алгебры с делением A (или, скорее, их алгебрах Ли дифференцирований), Бартон и Садбери используют группу автоморфизмов соответствующей тройственности. Триальность - это трилинейная карта

A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\to \mathbf {R}

полученный путем взятия трех копий алгебры деления A и использования внутреннего произведения на A для дуализации умножения. Группа автоморфизмов - это подгруппа в SO ( A ₁ ) × SO ( A ₂ ) × SO ( A ₃ ), сохраняющая это трилинейное отображение. Обозначается Tri ( A ). В следующей таблице сравнивается ее алгебра Ли с алгеброй Ли выводов.

А :	р	C	ЧАС	О
${\mathfrak {der}}(A)$	0	0	${\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {g}}_{2}$
${\mathfrak {tri}}(A)$	0	${\mathfrak {u}}_{1}\oplus {\mathfrak {u}}_{1}$	${\mathfrak {sp}}_{1}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {so}}_{8}$

Бартон и Садбери затем отождествляют алгебру Ли магического квадрата, соответствующую ( A , B ), со структурой алгебры Ли на векторном пространстве

{\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)\oplus (A_{1}\otimes B_{1})\oplus (A_{2}\otimes B_{2})\oplus (A_{3}\otimes B_{3}).

Скобка Ли совместима с градуировкой Z ₂ × Z ₂ , с tri ( A ) и tri ( B ) в степени (0,0) и тремя копиями A ⊗ B в степенях (0,1), (1 , 0) и (1,1). Скобка сохраняет tri ( A ) и tri ( B ), и они действуют естественным образом на трех копиях A ⊗ B , как и в других конструкциях, но скобки между этими тремя копиями более ограничены.

Например, когда A и B - октонионы, тройственность соответствует Spin (8), двойное покрытие SO (8), а описание Бартона-Садбери дает

{\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{8}\oplus {\widehat {\mathfrak {so}}}_{8}\oplus (V\otimes {\widehat {V}})\oplus (S_{+}\otimes {\widehat {S}}_{+})\oplus (S_{-}\otimes {\widehat {S}}_{-})

где V, S ₊ и S _- являются тремя 8-мерными представлениями (фундаментальное представление и два спиновых представления ), а объекты со шляпой являются изоморфной копией. ${\mathfrak {so}}_{8}$

Что касается одной из оценок Z ₂ , первые три слагаемых объединяются, чтобы дать, а последние два вместе образуют одно из ее спиновых представлений Δ ₊¹²⁸ (верхний индекс обозначает размерность). Это хорошо известно симметричное разложение по E8 . ${\mathfrak {so}}_{16}$

Конструкция Бартона – Садбери распространяет это на другие алгебры Ли в магическом квадрате. В частности, для исключительных алгебр Ли в последней строке (или столбце) симметричные разложения таковы:

{\mathfrak {f}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{9}\oplus \Delta ^{16}

{\mathfrak {e}}_{6}\cong ({\mathfrak {so}}_{10}\oplus {\mathfrak {u}}_{1})\oplus \Delta ^{32}

{\mathfrak {e}}_{7}\cong ({\mathfrak {so}}_{12}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1})\oplus \Delta _{+}^{64}

{\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{16}\oplus \Delta _{+}^{128}.

Обобщения [ править ]

Разделить композиционные алгебры [ править ]

В дополнение к нормированным алгебрам с делением существуют другие алгебры композиции над R , а именно расщепленные комплексные числа , расщепленные кватернионы и расщепленные октонионы . Если использовать их вместо комплексных чисел, кватернионов и октонионов, получится следующий вариант магического квадрата (где разделенные версии алгебр с делением обозначены тире).

А \ Б	р	C '	ЧАС'	О '
р	${\mathfrak {so}}_{3}$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {f}}_{4(4)}$
C '	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {e}}_{6(6)}$
ЧАС'	${\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {so}}_{6,6}$	${\mathfrak {e}}_{7(7)}$
О '	${\mathfrak {f}}_{4(4)}$	${\mathfrak {e}}_{6(6)}$	${\mathfrak {e}}_{7(7)}$	${\mathfrak {e}}_{8(8)}$

Здесь все алгебры Ли представляют собой расщепленную вещественную форму, за исключением so ₃ , но изменение знака в определении скобки Ли может использоваться для получения расщепленной формы so _2,1 . В частности, для исключительных алгебр Ли максимальные компактные подалгебры следующие:

Разделенная форма	${\mathfrak {f}}_{4(4)}$	${\mathfrak {e}}_{6(6)}$	${\mathfrak {e}}_{7(7)}$	${\mathfrak {e}}_{8(8)}$
Максимально компактный	${\mathfrak {sp}}_{3}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {sp}}_{4}$	${\mathfrak {su}}_{8}$	${\mathfrak {so}}_{16}$

Несимметричная версия магического квадрата также может быть получена путем комбинирования расщепленных алгебр с обычными алгебрами с делением. Согласно Бартону и Садбери, результирующая таблица алгебр Ли выглядит следующим образом.

А \ Б	р	C	ЧАС	О
р	${\mathfrak {so}}_{3}$	${\mathfrak {su}}_{3}$	${\mathfrak {sp}}_{3}$	${\mathfrak {f}}_{4}$
C '	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {C} )$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {H} )$	${\mathfrak {e}}_{6(-26)}$
ЧАС'	${\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )$	${\mathfrak {su}}_{3,3}$	${\mathfrak {so}}_{6}^{*}(\mathbf {H} )$	${\mathfrak {e}}_{7(-25)}$
О '	${\mathfrak {f}}_{4(4)}$	${\mathfrak {e}}_{6(2)}$	${\mathfrak {e}}_{7(-5)}$	${\mathfrak {e}}_{8(-24)}$

Возникающие здесь вещественные исключительные алгебры Ли снова можно описать их максимальными компактными подалгебрами.

Алгебра Ли	${\mathfrak {e}}_{6(2)}$	${\mathfrak {e}}_{6(-26)}$	${\mathfrak {e}}_{7(-5)}$	${\mathfrak {e}}_{7(-25)}$	${\mathfrak {e}}_{8(-24)}$
Максимально компактный	${\mathfrak {su}}_{6}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {f}}_{4}$	${\mathfrak {su}}_{12}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}$	${\mathfrak {e}}_{6}\oplus {\mathfrak {u}}_{1}$	${\mathfrak {e}}_{7}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}$

Произвольные поля [ править ]

Разрезные формы композиции алгебры и алгебры Ли могут быть определены над любым полем K . Это дает следующий магический квадрат.

${\mathfrak {so}}_{3}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {f}}_{4}(\mathbf {K} )$
${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {e}}_{6}(\mathbf {K} )$
${\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {so}}_{12}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {e}}_{7}(\mathbf {K} )$
${\mathfrak {f}}_{4}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {e}}_{6}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {e}}_{7}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {e}}_{8}(\mathbf {K} )$

Здесь есть некоторая двусмысленность, если K не алгебраически замкнуто. В случае K = C это комплексификация магических квадратов Фрейденталя для R, обсуждаемая до сих пор.

Более общие йордановы алгебры [ править ]

Обсуждаемые до сих пор квадраты связаны с йордановыми алгебрами J ₃ ( A ), где A - алгебра с делением. Существуют также йордановы алгебры J _n ( A ) для любого натурального числа n , если A ассоциативна. Они дают расщепленные формы (над любым полем K ) и компактные формы (над R ) обобщенных магических квадратов.

${\mathfrak {so}}_{n}(\mathbf {K} )$	${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}$	${\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {sp}}_{n}$
${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}$	${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}\oplus {\mathfrak {su}}_{n}$	${\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{2n}$
${\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {sp}}_{n}$	${\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{2n}$	${\mathfrak {so}}_{4n}(\mathbf {K} )$

При n = 2 J ₂ ( O ) также является йордановой алгеброй. В компактном случае (над R ) это дает магический квадрат ортогональных алгебр Ли.

А \ Б	р	C	ЧАС	О
р	${\mathfrak {so}}_{2}$	${\mathfrak {so}}_{3}$	${\mathfrak {so}}_{5}$	${\mathfrak {so}}_{9}$
C	${\mathfrak {so}}_{3}$	${\mathfrak {so}}_{4}$	${\mathfrak {so}}_{6}$	${\mathfrak {so}}_{10}$
ЧАС	${\mathfrak {so}}_{5}$	${\mathfrak {so}}_{6}$	${\mathfrak {so}}_{8}$	${\mathfrak {so}}_{12}$
О	${\mathfrak {so}}_{9}$	${\mathfrak {so}}_{10}$	${\mathfrak {so}}_{12}$	${\mathfrak {so}}_{16}$

Последняя строка и столбец здесь являются частью ортогональной алгебры алгебры изотропии в симметрическом разложении исключительных алгебр Ли, упомянутых ранее.

Эти конструкции тесно связаны с эрмитовыми симметричными пространствами - ср. предоднородные векторные пространства .

Симметричные пространства [ править ]

Римановы симметрические пространства , как компактные, так и некомпактные, можно единообразно классифицировать с помощью конструкции магического квадрата в ( Huang & Leung 2011 ) . Неприводимые компактные симметрические пространства, вплоть до конечных покрытий, либо компактная группа Ли просто, грассмановом, A Лагранжев грассманиан , или двойным Лагранжев грассманиан подпространств для нормированного деления алгебры A и B . Аналогичная конструкция дает неприводимые некомпактные симметрические пространства. $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},$

История [ править ]

Проективные плоскости Розенфельда [ править ]

После открытия Рут Муфанг в 1933 году проективной плоскости Кэли или «октонионной проективной плоскости» P ² ( O ), группа симметрии которой является исключительной группой Ли F 4 , и с учетом того, что G 2 является группой автоморфизмов октонионов , Розенфельд (1956) предложил, что оставшиеся исключительные группы Ли E 6 , E 7 и E 8 являются группами изоморфизмов проективных плоскостей над некоторыми алгебрами над октонионами: ^[1]

в bioctonions , C ⊗ O ,
в quateroctonions , Н ⊗ O ,
в octooctonions , O ⊗ O .

Это предложение привлекательно, поскольку существуют некоторые исключительные компактные римановы симметрические пространства с желаемыми группами симметрий и размерность которых совпадает с размерностью предполагаемых проективных плоскостей (dim ( P ² ( K ⊗ K ′)) = 2 dim ( K ) dim ( K ′)), и это дало бы единообразную конструкцию исключительных групп Ли как симметрий естественных объектов (т. Е. Без априорного знания исключительных групп Ли). Римановы симметрические пространства были классифицированы Картаном в 1926 году (метки Картана используются в дальнейшем); подробности см. в классификации , и соответствующие поля:

октонионной проективная плоскость - FII, размер 16 = 2 × 8, F ₄ симметрии, Кэли проективная плоскость Р ² ( О ),
биоктонионная проективная плоскость - EIII, размерность 32 = 2 × 2 × 8, симметрия E ₆ , комплексифицированная проективная плоскость Кэли, P ² ( C ⊗ O ),
" quateroctonionic проективная плоскость " ^[2] - ИЭУ, размер 64 = 2 × 4 × 8, Е ₇ симметрии, Р ² ( Н ⊗ O ),
« октооктонионная проективная плоскость » ^[3] - EVIII, размерность 128 = 2 × 8 × 8, симметрия E ₈ , P ² ( O ⊗ O ).

Сложность этого предложения состоит в том, что хотя октонионы являются алгеброй с делением, и, таким образом, над ними определена проективная плоскость, биоктонионы, кватероктонионы и октооктонионы не являются алгебрами с делением, и, таким образом, обычное определение проективной плоскости не работает. Это может быть разрешено для биоктонионов, в результате чего проективная плоскость представляет собой комплексифицированную плоскость Кэли, но конструкции не работают для кватероктонионов и октооктонионов, и рассматриваемые пространства не подчиняются обычным аксиомам проективных плоскостей ^[1], следовательно, кавычки на «(предполагаемой) проективной плоскости». Однако касательное пространство в каждой точке этих пространств можно отождествить с плоскостью ( H ⊗ O ) ² или ( O ⊗O ) ^{2, что} еще раз подтверждает интуицию о том, что это форма обобщенной проективной плоскости. ^[2]^[3] Соответственно, полученные пространства иногда называют проективными плоскостями Розенфельда и обозначают так, как если бы они были проективными плоскостями. В более широком смысле, эти компактные формы являются эллиптическими проективными плоскостями Розенфельда , а двойственные некомпактные формы - это гиперболические проективные плоскости Розенфельда . Более современное изложение идей Розенфельда можно найти в ( Rosenfeld 1997 ), а краткое замечание об этих «плоскостях» - в ( Besse 1987 , стр. 313–316). ^[4]

Пространства могут быть построены с использованием теории зданий Титса, которая позволяет построить геометрию с любой заданной алгебраической группой в качестве симметрии, но для этого нужно начинать с групп Ли и строить из них геометрию, а не строить геометрию независимо от знание групп Ли. ^[1]

Магический квадрат [ править ]

В то время как на уровне многообразий и групп Ли, построение проективной плоскости P ² ( K ⊗ K ') два нормированных алгебр с делением не работает, соответствующая конструкция на уровне алгебр Ли делает работу. То есть, если разложить алгебру Ли инфинитезимальных изометрий проективной плоскости P ² ( K ) и применить тот же анализ к P ² ( K ⊗ K ′), можно использовать это разложение, которое выполняется, когда P ² ( K ⊗ K ′) на самом деле можно определить как проективную плоскость, какопределение «алгебры Ли магических квадратов» M ( K , K ′). Это определение чисто алгебраическое и справедливо даже без предположения о существовании соответствующего геометрического пространства. Это было независимо сделано примерно в 1958 году в ( Титс, 1966 ) и Фройденталем в серии из 11 статей, начиная с ( Freudenthal, 1954 ) и заканчивая ( Freudenthal, 1963 ), хотя упрощенная конструкция, описанная здесь, принадлежит ( Vinberg 1966 ). ^[1]

См. Также [ править ]

E8 (математика)
E7 (математика)
E6 (математика)
F4 (математика)
G2 (математика)
Тройная система Иордана
Евклидова алгебра Гурвица
Евклидова йорданова алгебра

Примечания [ править ]

^ a b c d e ( Baez 2002 , 4.3 Волшебный квадрат )
^ a b ( Baez 2002 , 4.5 E 7 )
^ a b ( Baez 2002 , 4.6 E 8 )
↑ « Находки этой недели по математической физике - неделя 106 », Джон Баэз, 23 июля 1997 г.

Ссылки [ править ]

Адамс, Джон Франк (1996). Махмуд, Зафер; Мимура, Мамора (ред.). Лекции об исключительных группах Ли . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-00527-0.
Эллисон, Б.Н. (1978). «Структурируемые алгебры». Математика. Энн . 237 (2): 133–156. DOI : 10.1007 / bf01351677 . S2CID 120322064 .
Баэз, Джон С. (2002). «Октонионы» . Бюллетень Американского математического общества . 39 (2): 145–205. arXiv : math / 0105155 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X . ISSN 0273-0979 . Руководство по ремонту 1886087 . S2CID 586512 .- 4.3: Волшебный квадрат
Баэз, Джон С. (2005). "Исправления для Octonions " (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 42 (2): 213–214. DOI : 10.1090 / S0273-0979-05-01052-9 .
Бартон, Швейцария; Садбери, А. (2000). "Магические квадраты алгебр Ли". arXiv : математика / 0001083 .
Бартон, Швейцария; Садбери, А. (2003). «Магические квадраты и матричные модели алгебр Ли». Успехи в математике . 180 (2): 596–647. arXiv : math.RA / 0203010 . DOI : 10.1016 / S0001-8708 (03) 00015-X . S2CID 119621987 .
Бессе, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-15279-8.
Фройденталь, Ганс (1954). "Beziehungen der E ₇ und E ₈ zur Oktavenebene. I". Indagationes Math. (на немецком). 16 : 218–230. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (54) 50032-6 . Руководство по ремонту 0063358 .
Фройденталь, Ганс (1954). "Beziehungen der E ₇ und E ₈ zur Oktavenebene. II". Indagationes Math. (на немецком). 16 : 363–368. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (54) 50045-4 . Руководство по ремонту 0068549 .
Фройденталь, Ганс (1955). "Beziehungen der E ₇ und E ₈ zur Oktavenebene. III". Indagationes Math. (на немецком). 17 : 151–157. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (55) 50020-5 . Руководство по ремонту 0068550 .
Фройденталь, Ганс (1955). "Beziehungen der E ₇ und E ₈ zur Oktavenebene. IV". Indagationes Math. (на немецком). 17 : 277–285. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (55) 50039-4 . Руководство по ремонту 0068551 .
Фройденталь, Ганс (1959). "Beziehungen der E ₇ und E ₈ zur Oktavenebene. V – IX". Indagationes Math. (на немецком). 21 : 165–201, 447–474. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (59) 50019-0 .
Фройденталь, Ганс (1963). "Beziehungen der E 7 und E 8 zur Oktavenebene. X, XI" . Indagationes Math. (на немецком). 25 : 457–471, 472–487. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (63) 50046-8 . Руководство по ремонту 0163203 .
Фройденталь, Ганс (1951), Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie , Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
Freudenthal, Hans (1985), "Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie", Geom. Dedicata , 19 : 7-63, DOI : 10.1007 / bf00233101 , S2CID 121496094 (перепечатка статьи 1951 г.)
Хуанг, Юндун; Леунг, Найчунг Конан (2010). «Единообразное описание компактных симметрических пространств как грассманианов с использованием магического квадрата» (PDF) . Mathematische Annalen . 350 (1): 79–106. DOI : 10.1007 / s00208-010-0549-8 . S2CID 121427210 .
Ландсберг, Дж. М.; Манивел, Л. (2001). «Проективная геометрия волшебного квадрата Фрейденталя». Журнал алгебры . 239 (2): 477–512. arXiv : math.AG/9908039 . DOI : 10.1006 / jabr.2000.8697 . S2CID 16320642 .
Постников М. (1986), Группы Ли и алгебры Ли. Лекции по геометрии. Семестр V , Мир
Пьер Рамонд (1976), Введение в исключительные группы и алгебры Ли , CALT-68-577, Калифорнийский технологический институт, Пасадена.
Розенфельд, Борис А. (1956). «[Геометрическая интерпретация компактных простых групп Ли класса E ]». Докл. Акад. Наук СССР . 106 : 600–603.
Розенфельд, Борис А. (1997). Геометрия групп Ли . Математика и ее приложения. 393 . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. С. xviii + 393. ISBN 978-0-7923-4390-5.
Титс, Жак (1966). «Альтернативы Альжебра, алгебры Жордана и исключительные алгебры Ли » [Альтернативные алгебры, йордановы алгебры и исключительные алгебры Ли]. Indagationes Math. (На французском). 28 : 223-237. DOI : 10.1016 / S1385-7258 (66) 50028-2 . MR 0219578 .
Винберг, Е.Б. (1966). «[Построение исключительных простых алгебр Ли]». Труды сем. Vekt. Тенз. Анальный. (на русском). 13 : 7–9.
Винберг, Е.Б. (2005). «Построение исключительных простых алгебр Ли». Амер. Математика. Soc. Пер . 213 : 241–242.
Йокота, Ичиро (1985). «Несимметрия магического квадрата Фрейденталя». J. Fac. Sci. Shinshu Univ . 20 : 13.

[baez200243-1] ( Baez 2002 , 4.3 Волшебный квадрат )

[baez200245-2] ( Baez 2002 , 4.5 E 7 )

[baez200246-3] ( Baez 2002 , 4.6 E 8 )

[4] « Находки этой недели по математической физике - неделя 106 », Джон Баэз, 23 июля 1997 г.