Круговой турнир

Пример кругового турнира с участием 10 команд

Круговой турнир (или все-хоккейный чемпионат ) является конкурс , в котором каждый участник отвечает всем конкурсантам , в свою очередь. ^[1]^[2] Круговой алгоритм отличается от турнира на выбывание , в котором участники выбывают после определенного количества поражений.

Терминология [ править ]

Термин round-robin происходит от французского слова ruban , что означает « лента ». За долгое время этот термин был искажен и превращен в малиновку . ^[3]^[4]

В едином круговом расписании каждый участник играет с каждым другим игроком один раз. Если каждый участник играет со всеми остальными дважды, это часто называется двойной круговой системой . Этот термин редко используется, когда все участники играют друг с другом более двух раз ^[1], и никогда не используется, когда один участник играет с другими неравное количество раз (как это имеет место почти во всех основных профессиональных спортивных лигах США - см. AFL (1940–41) и Всеамериканская футбольная конференция за исключениями).

В Соединенном Королевстве (UK) круговой турнир называется американским турниром в таких видах спорта, как теннис или бильярд, в которых обычно есть турниры на выбывание , хотя сейчас это редко, если вообще когда-либо, проводится. ^[5]^[6]^[7] По-итальянски это называется girone all'italiana (буквально «трасса в итальянском стиле»). По- сербски это называется системой Бергера ( Бергеров систем , Bergerov sistem ), в честь шахматиста Иоганна Бергера . Круговой турнир с четырьмя игроками иногда называют «четверным» или «четверным». ^[8]

Используйте [ редактировать ]

В видах спорта с большим количеством соревновательных матчей за сезон распространены двойные круговые игры. Большинство футбольных лиг в мире организованы по принципу двойного кругового турнира, в котором каждая команда играет со всеми другими в своей лиге один раз дома, а другой - на выезде. Эта система также используется при квалификации к крупным турнирам, таким как чемпионат мира ФИФА и континентальные турниры (например, чемпионат Европы УЕФА , Золотой кубок КОНКАКАФ ). Также проводятся турниры по круговому мосту , шахматам , шашкам , го , хоккею с шайбой , керлингу и скрэбблу . ВВ 2005 и 2007 годах чемпионат мира по шахматам принял решение о проведении двойного кругового турнира с участием восьми игроков, в котором каждый игрок встречается с каждым другим игроком один раз белым и один раз черным.

В более экстремальном примере KBO лиги в бейсбол играет 16-кратный круговой, с каждой из 10 команд , играющих друг друга 16 раз в общей сложности 144 игр за команду.

Рейтинг групповых турниров обычно определяется количеством выигранных и ничьих матчей с любым из множества критериев тай-брейка.

Часто этапы пула в рамках более широкого турнира проводятся по круговой системе. Примеры с единым циклическим расписанием включают чемпионат мира по футболу , чемпионат Европы по футболу УЕФА и Кубок УЕФА (2004–2009) по футболу, супер регби ( союз регби ) в Южном полушарии во время его прошлых итераций как Super 12 и Super 14 ( но не в более поздних форматах из 15 и 18 команд), Чемпионат мира по крикету в рамках Суперлиги Пакистана и Премьер-лиги Индии , два крупных турнира по крикету Twenty-20 и множество конференций колледжей американского футбола , например, Большая 12 (в настоящее время насчитывает 10 участников). Групповые этапы Лиги чемпионов и Лига Европы и Кубок Либертадорес оспариваются как двойной круговая система , как и большинство баскетбольных лиг за пределами Соединенных Штатов, в том числе регулярного сезона Евролиги (а также его бывшего Top 16 фазы ); Юнайтед лига использовала двойной круговой системе для обоих его 2009 и 2010 сезонов.

В теннисных турнирах по окончании сезона также используется круговой формат до полуфиналов на этапах.

Оценка [ править ]

Преимущества формата [ править ]

Чемпион в круговом турнире - участник, выигравший наибольшее количество игр, за исключением случаев, когда возможны ничьи .

Теоретически круговой турнир - это самый справедливый способ определить чемпиона из известного и фиксированного числа участников. Каждый участник, будь то игрок или команда, имеет равные шансы против всех других оппонентов, потому что нет предварительного распределения участников, которое исключает матч между любой данной парой. Считается, что элемент удачи уменьшается по сравнению с системой нокаута, поскольку одно или два плохих выступления не обязательно должны разрушать шансы спортсмена на окончательную победу. Итоговые записи участников более точны в том смысле, что они представляют результаты за более длительный период времени против одного и того же противодействия.

Система также лучше подходит для ранжирования всех участников, а не только для определения победителя. Это полезно для определения окончательного ранга всех участников, от самого сильного до самого слабого, с целью квалификации для другого этапа или соревнования, а также для получения призовых денег.

В командных видах спорта чемпионы высшей лиги (по круговой системе) обычно считаются «лучшей» командой в стране, а не обладателями кубков (на выбывание ).

Более того, в турнирах, таких как чемпионаты мира по футболу FIFA или ICC, этап первого раунда, состоящий из ряда мини-круговых игр между группами по 4 команды, защищает от возможности того, что команда проехала, возможно, тысячи миль, только чтобы вылететь после всего лишь одного бедняка производительность в прямой нокаут-системе. Одна, две, а иногда и три лучшие команды в этих группах затем переходят к стадии плей-офф до конца турнира.

В кругу смерти (см. Ниже) возможно, что чемпион не выйдет из кругового турнира, даже если нет ничьей. Однако в большинстве видов спорта есть система тай-брейков, которая решает эту проблему.

Недостатки формата [ править ]

Раунд-робины могут быть слишком длинными по сравнению с другими типами турниров, а игры, запланированные на более позднее время, могут не иметь существенного значения. Они также могут потребовать процедуры разрешения конфликтов.

Турниры по швейцарской системе пытаются объединить элементы кругового формата и форматов на выбывание, чтобы обеспечить достойного чемпиона, использующего меньшее количество раундов, чем при круговом, при этом допускаются ничьи и поражения.

Продолжительность турнира [ править ]

Главный недостаток кругового турнира - время, необходимое для его завершения. В отличие от турниров на выбывание, где половина участников выбывает после каждого раунда, в круговой системе требуется на один раунд меньше, чем количество участников. Например, турнир с участием 16 команд может быть завершен всего за 4 раунда (т.е. 15 матчей) в формате на выбывание ( single elimination ); формат турнира с двойным выбыванием требует 30 (или 31) матча, но для кругового турнира потребуется 15 раундов (то есть 120 матчей) для завершения, если каждый участник встретится друг с другом один раз.

Другие проблемы связаны с разницей между теоретической справедливостью кругового формата и практикой на реальном мероприятии. Поскольку победитель постепенно достигается через несколько раундов игры, команды, которые плохо выступают и которые могли быть быстро выброшены из борьбы за титул, вынуждены играть оставшиеся игры. Таким образом, игры проводятся в конце соревнования между конкурентами, и у них нет шансов на успех. Более того, в некоторых более поздних матчах один участник, которому еще есть за что играть, будет объединяться с другим, у которого его нет. У одного из участников также может быть возможность сыграть с сильнейшими соперниками в круговой системе в быстрой последовательности, в то время как другие будут играть с ними периодически с более слабым соперником. Эта асимметрия означает, что игра с одними и теми же противниками не обязательно полностью равноправна.

Также нет запланированного финального матча-показа, если (по совпадению) два участника не встретятся в последнем матче турнира, и результат этого матча определяет чемпионство. Ярким примером такого события стал матч 26 мая 1989 года между « Арсеналом» и « Ливерпулем» .

Квалифицированные команды [ править ]

Дополнительные проблемы возникают, когда круговой алгоритм используется в качестве квалификационного раунда в более крупном турнире. Участник, уже прошедший квалификацию в следующий этап перед своей последней игрой, может либо не сильно стараться (чтобы сохранить ресурсы для следующего этапа), либо даже намеренно проиграть (если запланированный соперник следующего этапа для квалификации, занявшей более низкое место, считается легче, чем на более высокий).

Четыре пары на Олимпийских играх 2012 года. Женский парный бадминтон , прошедшие квалификацию в следующий раунд, были исключены из соревнований за попытку проиграть на этапе круговой системы, чтобы избежать соотечественников и более сильных соперников. ^[9] Этап круговой системы на Олимпийских играх был новым введением, и эти потенциальные проблемы были хорошо известны до турнира; изменения были внесены до следующих Олимпийских игр, чтобы предотвратить повторение этих событий.

Круг смерти [ править ]

Еще один недостаток, особенно в небольших круговых играх, - это «круг смерти», когда команды не могут быть разделены по результатам личных встреч. В круговой системе с тремя командами, где A побеждает B, B побеждает C, а C побеждает A, все три участника будут иметь рекорд из одной победы и одного поражения, и для разделения команд необходимо будет использовать тай-брейк. ^[10] Это классно произошло во время чемпионата мира по футболу 1994 года в группе E , где все четыре команды закончили с рекордом: одна победа, одна ничья и одно поражение. Это явление аналогично парадоксу Кондорсе в теории голосования.

Алгоритм планирования [ править ]

Если - количество участников, чистый круговой турнир требует игр. Если равно, то в каждом из раундов игры могут проводиться одновременно при наличии достаточных ресурсов (например, кортов для теннисного турнира). Если он нечетный, будут проводиться раунды, в каждом из которых будут игры, и у одного участника не будет игр в этом раунде. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {n} {2}} \ end {matrix}} (n-1)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle (п-1)}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {n} {2}} \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {n-1} {2}} \ end {matrix}}}$

Метод круга [ править ]

Круговой метод - это стандартный алгоритм для создания расписания кругового турнира. Всем участникам присваиваются номера, а затем они попадают в пары в первом раунде:

Раунд 1. (1 играет 14, 2 играет 13, ...)
1	2	3	4	5	6	7
14	13	12	11	10	9	8

Затем один из участников в первом или последнем столбце таблицы фиксируется (номер один в этом примере), а остальные поворачиваются по часовой стрелке на одну позицию.

Раунд 2. (1 играет 13, 14 играет 12, ...)
1	14	2	3	4	5	6
13	12	11	10	9	8	7

Раунд 3. (1 играет 12, 13 играет 11, ...)
1	13	14	2	3	4	5
12	11	10	9	8	7	6

Это повторяется до тех пор, пока вы почти не вернетесь в исходное положение:

13 тур (1 играет 2, 3 играет 14, ...)
1	3	4	5	6	7	8
2	14	13	12	11	10	9

Чтобы увидеть, что - с четным числом конкурентов - этот алгоритм реализует каждую возможную их комбинацию (эквивалентно, что все реализованные пары попарно различны), мы рассуждаем следующим образом. ${\ displaystyle n}$

Во-первых, алгоритм, очевидно, реализует каждую пару конкурентов, если один из них равен (неподвижный конкурент). ${\ displaystyle 1}$

Затем, для пар, не участвующих в соревнованиях, пусть их расстояние равно количеству поворотов, которые необходимо выполнить для того, чтобы один участник занял позицию, которую занимал другой. ${\ displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle к <{\ гидроразрыва {п} {2}}}$

В данном примере ( ) имеет расстояние до и до и расстояние до и до . ${\ displaystyle n = 14}$ ${\ displaystyle 2}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle 3}$ ${\ displaystyle 14}$ ${\ displaystyle 6}$ ${\ displaystyle 8}$ ${\ displaystyle 9}$

В раунде не крайняя левая позиция (не включая ) может быть занята участниками только на фиксированной дистанции. В раунде примера на второй позиции, против которой играет участник , их расстояние равно . В первом раунде , эта позиция удерживаются конкурентами и , также имеющие расстояние и т.д. Аналогично, следующая позиция ( против в круглом , против в круглом и т.д.) может иметь место только distance- конкурентов. ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle 2}$ ${\ displaystyle 13}$ ${\ displaystyle 2}$ ${\ displaystyle 2}$ ${\ displaystyle 14}$ ${\ displaystyle 12}$ ${\ displaystyle 2}$ ${\ displaystyle 3}$ ${\ displaystyle 12}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle 2}$ ${\ displaystyle 11}$ ${\ displaystyle 2}$ ${\ displaystyle 4}$

Для каждого есть ровно пары расстояний . Есть раунды, и все они реализуют одну дистанционную пару в одной и той же позиции. Ясно, что эти пары попарно различны. Вывод состоит в том, что каждая дистанционная пара реализована. ${\ Displaystyle к <{\ гидроразрыва {п} {2}}}$ ${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle n-1}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$

Это верно для любого , следовательно, каждая пара реализуется. ${\ displaystyle k}$

Если количество участников нечетное, может быть добавлен фиктивный участник, чей запланированный противник в данном раунде не играет и получает прощание . Таким образом, расписание может быть рассчитано, как если бы манекен был обычным игроком, фиксированным или вращающимся. Вместо поворота одной позиции любое число, относительно простое с которым, будет сгенерировано полное расписание. Верхний и нижний ряды могут указывать дома / на выезде в спорте, белый / черный в шахматах. ${\ Displaystyle (п-1)}$ , так далее.; для обеспечения справедливости раунды должны чередоваться, поскольку участник 1 всегда находится в первом ряду. Если, скажем, участники 3 и 8 не смогли завершить свое приспособление в третьем раунде, его нужно было бы перенести на другие раунды, поскольку оба спортсмена уже столкнулись бы с другими соперниками в этих раундах. Более сложные ограничения планирования могут потребовать более сложных алгоритмов. ^[11] Это расписание применяется в шахматных и шашечных турнирах по быстрым играм, где игроки физически перемещаются вокруг стола. Во Франции это называется Carousel система -Berger (Système Rutch-Berger). ^[12]

Расписание также можно использовать для «асинхронных» круговых турниров, где все игры проходят в разное время (например, потому что есть только одно место). В каждом раунде игры проходят слева направо, от первого до последнего. Когда количество участников ровное, это расписание хорошо работает с точки зрения качества и справедливости, таких как количество отдыха между играми. С другой стороны, когда количество участников нечетное, это не так хорошо, и другой график лучше в отношении этих мер. ^[13]

Таблицы Бергера [ править ]

В качестве альтернативы таблицы Бергера, ^[14] названные в честь австрийского шахматного мастера Иоганна Бергера , широко используются при планировании турниров. Бергер опубликовал спаривание таблицы в его два Schach-Jahrbücher (шахматы Однолетние), ^[15]^[16] с должным учетом его изобретатель Ричард Schurig. ^[17]^[18]

1 тур	1–14	2–13	3–12	4–11	5–10	6–9	7–8
Раунд 2	14–8	9–7	10–6	11–5	12–4	13–3	1–2
3 тур	2–14	3–1	4–13	5–12	6–11	7–10	8–9
...	...
13 тур	7–14	8–6	9–5	10–4	11–3	12–2	13–1

Это составляет график, в котором игрок 14 занимает фиксированную позицию, а все остальные игроки меняются местами по часовой стрелке . Это расписание легко создается вручную. Чтобы построить следующий раунд, последний игрок, номер 8 в первом раунде, перемещается во главе стола, за ним следует игрок 9 против игрока 7, игрок 10 против 6, пока игрок 1 против игрока 2. Арифметически это равняется добавление к предыдущей строке, за исключением player . Когда результат сложения больше чем , вычтите . ${\ displaystyle {\ frac {n} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {2}}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle (п-1)}$ ${\ displaystyle ({\ frac {n} {2}} - 1)}$

Это расписание также может быть представлено в виде таблицы (n-1, n-1), отражающей раунд, в котором игроки встречаются друг с другом. Например, игрок 7 играет против игрока 11 в раунде 4. Если игрок встречается с самим собой, это означает прощание или игру против игрока n. Все игры в раунде представляют собой диагональ в таблице.

Диагональная схема
×	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1													1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2												1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
3											1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4										1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5									1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
6								1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
7							1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
8						1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
9					1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
10				1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
11			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
12		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
13	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Расписание Round Robin
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1	2
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1	2	3
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	1	2	3	4
6	6	7	8	9	10	11	12	13	1	2	3	4	5
7	7	8	9	10	11	12	13	1	2	3	4	5	6
8	8	9	10	11	12	13	1	2	3	4	5	6	7
9	9	10	11	12	13	1	2	3	4	5	6	7	8
10	10	11	12	13	1	2	3	4	5	6	7	8	9
11	11	12	13	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
12	12	13	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
13	13	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Приведенное выше расписание также можно представить в виде графика, как показано ниже:

Диаграмма диапазона расписания циклического перебора

И график, и расписание были описаны Эдуардом Лукасом в ^[19] как развлекательная математическая головоломка. Лукас, который описывает этот метод как простой и гениальный , приписывает решение Феликсу Валецки, учителю в лицее Кондорсе . Лукас также предложил альтернативное решение в виде скользящей головоломки .

Оригинальная конструкция таблиц сопряжения Ричарда Шурига (1886 г.) [ править ]

Для 7 или 8 игроков Шуриг ^[18] строит стол с вертикальными и горизонтальными рядами следующим образом: ${\ displaystyle n / 2}$ ${\ displaystyle n-1}$

1.	Круглый	1	2	3	4
2.	,	5	6	7	1
3.	,	2	3	4	5
4.	,	6	7	1	2
5.	,	3	4	5	6
6.	,	7	1	2	3
7.	,	4	5	6	7

Затем создается вторая таблица (с отсчетом от конца), как показано ниже:

1.	Круглый	. 1	. 7	. 6	. 5
2.	,	. 5	. 4	. 3	. 2
3.	,	. 2	. 1	. 7	. 6
4.	,	. 6	. 5	. 4	. 3
5.	,	. 3	. 2	. 1	. 7
6.	,	. 7	. 6	. 5	. 4
7.	,	. 4	. 3	. 2	. 1

Объединяя приведенные выше таблицы, мы получаем:

1.	Круглый	1, 1	2, 7	3, 6	4, 5
2.	,	5, 5	6, 4	7, 3	1, 2
3.	,	2, 2	3, 1	4, 7	5, 6
4.	,	6, 6	7, 5	1, 4	2, 3
5.	,	3, 3	4, 2	5, 1	6, 7
6.	,	7, 7	1, 6	2, 5	3, 4
7.	,	4, 4	5, 3	6, 2	7, 1

Затем обновляется первый столбец: если четный, то номер игрока поочередно заменяется на первую и вторую позиции, тогда как если нечетный, вместо него используется до свидания. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Таблицы пар были опубликованы в качестве приложения, касающегося организации проведения мастер-турниров. Шуриг не представил ни доказательства, ни мотивации своего алгоритма. Для получения дополнительных исторических сведений см. Аренс. ^[20]

См. Также [ править ]

Система рейтингов в групповых турнирах , включая подробные сведения о системах разделения ставок
Комбинаторный дизайн , сбалансированный турнирный дизайн порядка n (BTD ( n ))
Турнир (теория графов) , математическая модель кругового турнира
Другие турнирные системы:
- Турнир по швейцарской системе
  - Турнир по системе Мак-Магона , разновидность швейцарской системы, которая включает в себя предварительные рейтинги, чтобы предотвратить раннее формирование односторонних пар
- Турнир на выбывание
  - Система плей-офф Shaughnessy , тип турнира на выбывание с участием четырех команд.
- Турнир с двойным выбыванием
- Система McIntyre , серия форматов турниров, сочетающих в себе особенности турниров с одним и двумя выбываниями.
Мост:
- Повторяющиеся движения моста
Шахматы:
- Список круговых шахматных турниров
- Система Схевенингена , где каждый член одной команды играет с каждым членом другой.
Голосование:
- Метод Кондорсе
- Критерий Кондорсе

Ссылки [ править ]

^ a b Третий новый международный словарь английского языка Вебстера, Несокращенный (1971, G. & C. Merriam Co), стр.1980.
^ Оркатт, Уильям Дана (1895). Официальный бюллетень по лаун-теннису . 2 . Нью-Йорк: редакторы. С. 1, 3.
^ Стрехлов, Ричард А; Райт, Сью Эллен, ред. (1993). Стандартизация терминологии для улучшения коммуникации: практика, прикладная теория и результаты . 1166 . ASTM. С. 336–337. ISBN 0-8031-1493-1.
^ Словарь фраз и басен Брюера . Нью-Йорк: издательство Harper & Brother Publishers. п. 786.
^ «Глоссарий терминов, используемых в связи с бильярдом» . Бильярд ежемесячно . Английская ассоциация любителей бильярда. Февраль 1912 года. Американский турнир: турнир, в котором каждый игрок должен по очереди встречаться с каждым другим игроком.
^ Союзники. «Американский турнир» . Словарь Чемберса 21 века . Союзные издатели. п. 38. ISBN 978-0550106254. Проверено 1 августа 2012 года .
Перейти ↑ Mead, Shepherd (1977). Как добиться успеха в теннисе, не прилагая особых усилий: легкий теннисный способ делать все то, чему вас не научит ни один теннисист . Маккей. п. 130. ISBN 9780679507499. Проверено 1 августа 2012 года .
^ «Введение в турниры с рейтингом USCF» (PDF) . Шахматная федерация США . 23 февраля 2006 г.
^ «Восемь олимпийских игроков в бадминтон дисквалифицированы за« игры в броски » » . Хранитель . 1 августа 2012 . Проверено 1 августа 2012 года .
^ "UC Berkeley Quiz Bowl: Как составлять графики" . www.ocf.berkeley.edu .
^ Диниц, Джефф (13 ноября 2004). «Составление расписаний лиг и турниров» (PDF) . Домашняя страница Джеффа Диница . Колледж Маунт-Сент-Мэри: ТЕОРИЯ ГРАФИКИ, ДЕНЬ 48.
↑ Le livre de l'arbitre: édition 2008 (PDF) (на французском языке). Fédération Française des Échecs. п. 56. ISBN 978-2-915853-01-8.
^ Suksompong, Warut (2016). «Планирование асинхронных круговых турниров». Письма об исследованиях операций . 44 (1): 96–100. arXiv : 1804.04504 . DOI : 10.1016 / j.orl.2015.12.008 . S2CID 4931332 .
^ Table de Berger (на французском) , примеры круговых расписаний до 30 участников.
^ Бергер, Иоганн (1893). Schach-Jahrbuch für 1892/93 (на немецком языке). Лейпциг. OCLC 651254787 .
^ Бергер, Иоганн (1899). Schach-Jahrbuch für 1899/1900: fortsetzung des schach-jahrbuches für 1892/93 (на немецком языке). Лейпциг. С. 21–27. OCLC 651254792 .
^ Ричард Schurig (на французском языке)
^ a b Шуриг, Ричард (1886). "Die Paarung der Theilnehmer eines Turniers". Deutsche Schachzeitung (на немецком языке). 41 : 134–137. OCLC 556959107 .
^ Лукас, Эдуард (1883). "Les jeux de demoiselles" . Récréations Mathématiques (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. С. 161–197.
^ Аренс, Вильгельм (1901). "Anordnungs Probleme, Aufgabe 2". Mathematische Unterhaltungen und Spiele (на немецком языке). Лейпциг: BG Teubner. ковчег: / 13960 / t2w37mv93.

Внешние ссылки [ править ]

Круговая дискуссионная доска - ссылка на дискуссионное сообщество и расписание (сбалансированное, циклическое, первое соответствие, вист).
Таблицы циклической системы (оценка - программа)
Бесплатная печать круглых скобок

[Webster-1] Третий новый международный словарь английского языка Вебстера, Несокращенный (1971, G. & C. Merriam Co), стр.1980.

[2] Оркатт, Уильям Дана (1895). Официальный бюллетень по лаун-теннису . 2 . Нью-Йорк: редакторы. С. 1, 3.

[3] Стрехлов, Ричард А; Райт, Сью Эллен, ред. (1993). Стандартизация терминологии для улучшения коммуникации: практика, прикладная теория и результаты . 1166 . ASTM. С. 336–337. ISBN 0-8031-1493-1.

[4] Словарь фраз и басен Брюера . Нью-Йорк: издательство Harper & Brother Publishers. п. 786.

[5] «Глоссарий терминов, используемых в связи с бильярдом» . Бильярд ежемесячно . Английская ассоциация любителей бильярда. Февраль 1912 года. Американский турнир: турнир, в котором каждый игрок должен по очереди встречаться с каждым другим игроком.

[Allied-6] Союзники. «Американский турнир» . Словарь Чемберса 21 века . Союзные издатели. п. 38. ISBN 978-0550106254. Проверено 1 августа 2012 года .

[Mead1977-7] Перейти ↑ Mead, Shepherd (1977). Как добиться успеха в теннисе, не прилагая особых усилий: легкий теннисный способ делать все то, чему вас не научит ни один теннисист . Маккей. п. 130. ISBN 9780679507499. Проверено 1 августа 2012 года .

[8] «Введение в турниры с рейтингом USCF» (PDF) . Шахматная федерация США . 23 февраля 2006 г.

[9] «Восемь олимпийских игроков в бадминтон дисквалифицированы за« игры в броски » » . Хранитель . 1 августа 2012 . Проверено 1 августа 2012 года .

[10] "UC Berkeley Quiz Bowl: Как составлять графики" . www.ocf.berkeley.edu .

[11] Диниц, Джефф (13 ноября 2004). «Составление расписаний лиг и турниров» (PDF) . Домашняя страница Джеффа Диница . Колледж Маунт-Сент-Мэри: ТЕОРИЯ ГРАФИКИ, ДЕНЬ 48.

[12] Le livre de l'arbitre: édition 2008 (PDF) (на французском языке). Fédération Française des Échecs. п. 56. ISBN 978-2-915853-01-8.

[13] Suksompong, Warut (2016). «Планирование асинхронных круговых турниров». Письма об исследованиях операций . 44 (1): 96–100. arXiv : 1804.04504 . DOI : 10.1016 / j.orl.2015.12.008 . S2CID 4931332 .

[14] Table de Berger (на французском) , примеры круговых расписаний до 30 участников.

[15] Бергер, Иоганн (1893). Schach-Jahrbuch für 1892/93 (на немецком языке). Лейпциг. OCLC 651254787 .

[16] Бергер, Иоганн (1899). Schach-Jahrbuch für 1899/1900: fortsetzung des schach-jahrbuches für 1892/93 (на немецком языке). Лейпциг. С. 21–27. OCLC 651254792 .

[17] Ричард Schurig (на французском языке)

[SchurigTables-18] Шуриг, Ричард (1886). "Die Paarung der Theilnehmer eines Turniers". Deutsche Schachzeitung (на немецком языке). 41 : 134–137. OCLC 556959107 .

[19] Лукас, Эдуард (1883). "Les jeux de demoiselles" . Récréations Mathématiques (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. С. 161–197.

[20] Аренс, Вильгельм (1901). "Anordnungs Probleme, Aufgabe 2". Mathematische Unterhaltungen und Spiele (на немецком языке). Лейпциг: BG Teubner. ковчег: / 13960 / t2w37mv93.

[1]