В математике , А пол-локальное кольцо является кольцом , для которого R / J ( R ) является полупростым кольцом , где J ( R ) является радикалом Джекобсоном из R . ( Лам и 2001, §20 ) ( Михалев и 2002, С.7 )
Приведенное выше определение выполняется, если R имеет конечное число максимальных правых идеалов (и конечное число максимальных левых идеалов). Когда R - коммутативное кольцо , обратная импликация также верна, и поэтому определение полулокального для коммутативных колец часто считается «имеющим конечное число максимальных идеалов ».
В некоторой литературе коммутативное полулокальное кольцо в общем случае называется квазипол локальным кольцом , используя полулокальное кольцо для обозначения нётерова кольца с конечным числом максимальных идеалов.
Таким образом, полулокальное кольцо является более общим, чем локальное кольцо , которое имеет только один максимальный идеал (правый / левый / двусторонний).
Примеры
- Любое артиново справа или слева кольцо , любое последовательное кольцо и любое полусовершенное кольцо полу-локально.
- Частное полулокальное кольцо. В частности, если это простая степень, тогда это местное кольцо.
- Конечная прямая сумма полей полулокальное кольцо.
- В случае коммутативных колец с единицей этот пример является прототипом в следующем смысле: китайская теорема об остатках показывает, что для полулокального коммутативного кольца R с единицей и максимальными идеалами m 1 , ..., m n
- .
- (Карта - это естественная проекция). Правая часть представляет собой прямую сумму полей. Здесь мы отмечаем, что ∩ i m i = J ( R ), и мы видим, что R / J ( R ) действительно является полупростым кольцом.
- Классическое кольцо частных для любого коммутативного нётерова кольца является полулокальным кольцом.
- Кольцо эндоморфизмов из артинового модуля является полулокальным кольцом.
- Пол-локальные кольца возникают, например , в алгебраической геометрии , когда (коммутативное) кольцо R является локализован относительно мультипликативно замкнутым подмножеством S = ∩ (R \ р я ) , где р я конечное число простых идеалов .
Учебники
- Лам, Т.Ю. (2001), «7», Первый курс некоммутативных колец , Graduate Texts in Mathematics, 131 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. Xx + 385, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439
- Михалев, Александр В .; Pilz, Günter F., eds. (2002), Краткий справочник по алгебре , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, стр. Xvi + 618, ISBN 0-7923-7072-4, MR 1966155