Разъемные парциальное дифференциальное уравнение (ФДЭ) является тот , который может быть разбит на множество отдельных уравнений меньшей размерности (меньше независимых переменных) методом разделения переменных . Обычно это зависит от проблемы, имеющей особую форму или симметрию . Таким образом, УЧП может быть решено путем решения набора более простых УЧП или даже обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), если проблема может быть разбита на одномерные уравнения.
Наиболее распространенной формой разделения переменных является простое разделение переменных, при котором решение получается путем принятия решения в форме, заданной произведением функций каждой отдельной координаты. Существует особая форма разделения переменных, называемая- разделение переменных, которое достигается записью решения в виде конкретной фиксированной функции координат, умноженной на произведение функций каждой отдельной координаты. Уравнение Лапласа на является примером уравнения в частных производных, которое допускает решения через -разделение переменных; в трехмерном случае используются 6-сферные координаты .
(Это не следует путать со случаем разделимого ОДУ, которое относится к несколько иному классу задач, которые можно разбить на пару интегралов ; см. Разделение переменных .)
Пример
Например, рассмотрим не зависящее от времени уравнение Шредингера
для функции (в безразмерных единицах для простоты). (Аналогично, рассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца .) Если функция в трех измерениях имеет форму
то оказывается, что задачу можно разделить на три одномерных ОДУ для функций , , а также , а окончательное решение можно записать как . (В более общем плане сепарабельные случаи уравнения Шредингера были перечислены Эйзенхартом в 1948 году [1] ).
Рекомендации
- ^ Eisenhart, LP (1948-07-01). «Перечень потенциалов, для которых одночастичные уравнения Шредингера разделимы». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 74 (1): 87–89. DOI : 10.1103 / Physrev.74.87 . ISSN 0031-899X .