В математике , модульность гипотеза Серра , введенный Jean-Pierre Серра ( 1975 , 1987 ), утверждает , что нечетное, неприводимым, двумерное представление Галуа над конечным полем возникает из модульной форме. Более сильная версия этой гипотезы определяет вес и уровень модульной формы. Гипотеза в случае уровня 1 была доказана Чандрашекхаром Кхаре в 2005 году [1], а доказательство полной гипотезы было завершено совместно Каре и Жан-Пьером Винтенбергером в 2008 году [2].
Поле | Алгебраическая теория чисел |
---|---|
Предполагается | Жан-Пьер Серр |
Предполагается в | 1975 г. |
Первое доказательство | Чандрашекхар Кхаре Жан-Пьер Винтенбергер |
Первое доказательство в | 2008 г. |
Формулировка
Гипотеза касается абсолютной группы Галуа поля рациональных чисел .
Позволять - абсолютно неприводимое , непрерывное, двумерное представление над конечным полем .
Кроме того, предположим является нечетным, что означает, что изображение комплексного сопряжения имеет определитель -1.
К любой нормированной модульной собственной форме
от уровня , вес , и какой- то персонаж Nebentype
- ,
теорема Шимуры, Делиня и Серра-Делиня присоединяется к представление
где кольцо целых чисел в конечном расширении . Это представление характеризуется условием, что для всех простых чисел, взаимно проста с у нас есть
а также
Редуцируя это представление по модулю максимального идеала дает мод представление из .
Гипотеза Серра утверждает, что для любого представления как и выше, существует модульная собственная форма такой, что
- .
Уровень и вес гипотетической формы явно предположены в статье Серра. Кроме того, он выводит ряд результатов из этой гипотезы, в том числе Великую теорему Ферма и теперь доказанную гипотезу Таниямы – Вейля (или Танияма – Шимура), теперь известную как теорема модульности (хотя из этого следует Последняя теорема Ферма, Серр доказывает это прямо из его гипотезы).
Оптимальный уровень и вес
Сильная форма гипотезы Серра описывает уровень и вес модулярной формы.
Оптимальный уровень - Артиновский дирижер представления, обладающий силой удаленный.
Доказательство
Доказательство случаев уровня 1 и малый вес гипотезы было получено в 2004 году Чондрошекхор Кхаре и Жан Пирр Уинтенбергер , [3] и Луис Dieulefait , [4] независимо друг от друга.
В 2005 году Чандрашекхар Каре получил доказательство гипотезы Серра на уровне 1 [5], а в 2008 году - доказательство полной гипотезы в сотрудничестве с Жан-Пьером Винтенбергером. [6]
Заметки
- ^ Кхаре Чондрошекхор (2006), "Серра модульность гипотеза: уровень один случай", Duke математический журнал , 134 (3): 557-589, DOI : 10,1215 / S0012-7094-06-13434-8.
- ^ Кхаре, Чандрашекхар; Винтенбергер, Жан-Пьер (2009), «Гипотеза Серра о модульности (I)», Inventiones Mathematicae , 178 (3): 485–504, Bibcode : 2009InMat.178..485K , CiteSeerX 10.1.1.518.4611 , doi : 10.1007 / s00222-009-0205-7 а также Кхаре, Чандрашекхар; Винтенбергер, Жан-Пьер (2009), «Гипотеза Серра о модульности (II)», Inventiones Mathematicae , 178 (3): 505–586, Bibcode : 2009InMat.178..505K , CiteSeerX 10.1.1.228.8022 , doi : 10.1007 / s00222-009-0206-6.
- ^ Кхаре, Чандрашекхар; Wintenberger, Жан-Пьер (2009), "О взаимности гипотезы Серра для 2-мерных по модулю р представлений Gal (Q / Q)", Annals математики , 169 (1): 229-253, DOI : 10,4007 / annals.2009.169 .229.
- ^ Dieulefait, Луис (2007), «Случай уровня 1 веса 2 гипотезы Серра» , Revista Matemática Iberoamericana , 23 (3): 1115–1124, arXiv : math / 0412099 , doi : 10.4171 / rmi / 525.
- ^ Khare, Chandrashekhar (2006), "Гипотеза Серра о модульности: случай уровня один", Duke Mathematical Journal , 134 (3): 557–589, DOI : 10.1215 / S0012-7094-06-13434-8.
- ^ Кхаре, Чандрашекхар; Винтенбергер, Жан-Пьер (2009), «Гипотеза Серра о модульности (I)», Inventiones Mathematicae , 178 (3): 485–504, Bibcode : 2009InMat.178..485K , CiteSeerX 10.1.1.518.4611 , doi : 10.1007 / s00222-009-0205-7 а также Кхаре, Чандрашекхар; Винтенбергер, Жан-Пьер (2009), «Гипотеза Серра о модульности (II)», Inventiones Mathematicae , 178 (3): 505–586, Bibcode : 2009InMat.178..505K , CiteSeerX 10.1.1.228.8022 , doi : 10.1007 / s00222-009-0206-6.
Рекомендации
- Серр, Жан-Пьер (1975), "Valeurs propres des opérateurs de Hecke modulo l", Journées Arithmétiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, 1974), Astérisque , 24–25: 109–117, ISSN 0303-1179 , Руководство по ремонту 0382173
- Серра, Жан-Пьер (1987), "Сур ле де modulaires ЗАВЕРЕНИЯ degré 2 - де - Gal ( Q / Q)", Герцог математический журнал , 54 (1): 179-230, DOI : 10,1215 / S0012-7094-87-05413 -5 , ISSN 0012-7094 , MR 0885783
- Stein, William A .; Рибет, Кеннет А. (2001), «Лекции о гипотезах Серра», в Conrad, Brian; Рубин, Карл (ред.), Арифметическая алгебраическая геометрия (Парк-Сити, Юта, 1999) , IAS / Park City Math. Сер., 9 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 143–232, ISBN 978-0-8218-2173-2, Руководство по ремонту 1860042
Внешние ссылки
- Гипотеза Серра о модульности 50-минутная лекция Кена Рибета, прочитанная 25 октября 2007 г. ( слайды PDF, другая версия слайдов PDF)
- Лекции о гипотезах Серра