Индекс силы Шепли – Шубика

Индекс силы Шепли-Шубика был сформулирован Ллойдом Шепли и Мартином Шубиком в 1954 году для измерения силы игроков в игре с голосованием. ^[1] Индекс часто обнаруживает удивительное распределение мощности, которое не очевидно на поверхности.

Составляющие системы голосования, такие как законодательные органы, руководители, акционеры, отдельные законодатели и т. Д., Могут рассматриваться как игроки в игре n игроков . Игроки с одинаковыми предпочтениями формируют коалиции. Любая коалиция, имеющая достаточно голосов для принятия законопроекта или избрания кандидата, называется победившей, а остальные - проигрышной. Основываясь на оценке Шепли , Шепли и Шубик пришли к выводу, что сила коалиции не просто пропорциональна ее размеру.

Сила коалиции (или игрока) измеряется долей возможных последовательностей голосования, в которых эта коалиция дает решающий голос, то есть голос, который первым гарантирует прохождение или неудачу. ^[2]

Индекс силы нормализован между 0 и 1. Степень 0 означает, что коалиция вообще не влияет на исход игры; а степень 1 означает, что коалиция определяет исход своим голосованием. Также сумма сил всех игроков всегда равна 1.

Есть несколько алгоритмов для вычисления индекса мощности, например методы динамического программирования, методы перечисления и методы Монте-Карло. ^[3]

С тех пор, как Шепли и Шубик опубликовали свою статью, для математического изучения индекса силы Шепли-Шубика использовались несколько аксиоматических подходов, при этом наиболее широко использовались аксиома анонимности, аксиома нулевого игрока, аксиома эффективности и аксиома передачи. Однако они подвергались критике, особенно аксиома переноса, которая привела к предложению других аксиом в качестве замены. ^[4]

Примеры [ править ]

Предположим, что решения принимаются большинством голосов в органе, состоящем из A, B, C, D, которые имеют 3, 2, 1 и 1 голос соответственно. Порог большинства голосов - 4. Всего 4! = 24 возможных порядка голосования для этих участников:

A B CD	А Б DC	A C BD	A C DB	A D BC	A D CB
B A CD	B A DC	BC A D	BC D A	BD A C	BD C A
C A BD	C A DB	CB A D	CB D A	CD A B	CD B A
D A BC	D A CB	DB A C	DB C A	DC A B	DC B A

Для каждой последовательности голосования основной избиратель - тот избиратель, который первым повысил совокупную сумму до 4 или более - выделен жирным шрифтом. Здесь A играет ключевую роль в 12 из 24 последовательностей. Следовательно, A имеет индекс мощности 1/2. Остальные имеют индекс мощности 1/6. Любопытно, что B имеет не больше власти, чем C и D. Если учесть, что голос A определяет результат, если остальные не объединятся против A, становится ясно, что B, C, D играют идентичные роли. Это отражается на показателях мощности.

Предположим, что в другом органе с голосованием по правилу большинства с членами, в котором один сильный член имеет голоса, а остальные члены имеют по одному голосу. В этом случае сильный член имеет индекс мощности (если только в этом случае индекс мощности не равен ). Обратите внимание, что это больше, чем доля голосов, которыми располагает сильный член. Действительно, этот сильный член имеет лишь небольшую часть голосов. Рассмотрим, например, компанию, у которой находится 1000 голосующих акций в обращении. Один крупный акционер владеет 400 акциями, а 600 другим акционерам - по 1 акции. Это соответствует и ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {k} {n + 1}}}$ ${\ Displaystyle к> п + 1}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {k} {n + k}}}$ ${\ displaystyle n = 600}$ ${\ displaystyle k = 400}$ . В этом случае индекс власти крупного акционера составляет примерно 0,666 (или 66,6%), хотя этот акционер владеет только 40% акций. У остальных 600 акционеров индекс власти менее 0,0006 (или 0,06%). Таким образом, крупный акционер имеет более чем в 1000 раз больше прав голоса, чем каждый другой акционер, при этом владея только 400 раз большим количеством акций. ^[1]

Математически это можно вывести следующим образом. Обратите внимание, что большинство достигается, если за него поданы хотя бы голоса. Если сильный член явно обладает всей властью, поскольку в этом случае (т. Е. Голоса одного сильного члена соответствуют порогу большинства). Предположим теперь, что в случайно выбранной последовательности голосования сильный член голосует как th член. Это означает, что после того, как первый член проголосовал, голоса были поданы «за», а после того, как первые члены проголосовали, голоса были поданы «за». Голос сильного члена имеет решающее значение, если первый не соответствует порогу большинства, а второй - нет. То есть , и . Мы можем переписать это условие как ${\ Displaystyle т (п, к) = \ влево \ lfloor {\ dfrac {п + к} {2}} \ right \ rfloor +1}$ ${\ Displaystyle к \ GEQ п + 1}$ ${\ Displaystyle к \ geq t (п, к)}$ ${\ Displaystyle к \ Leq п + 1}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r-1}$ ${\ displaystyle r-1}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r-1 + k}$ ${\ Displaystyle г-1 <т (п, к)}$ ${\ Displaystyle г-1 + к \ geq t (п, к)}$ ${\ Displaystyle т (п, к) + 1-к \ Leq г <т (п, к) +1}$ . Обратите внимание, что наше условие гарантирует, что и (т. Е. Все допустимые значения допустимы). Таким образом, сильный член является ключевым избирателем, если принимает одно из значений до, но не включая . Поскольку каждое из возможных значений связано с одним и тем же числом последовательностей голосования, это означает, что сильный член является основным избирателем во фракции последовательностей голосования. То есть индекс силы сильного члена равен . ${\ Displaystyle к \ Leq п + 1}$ ${\ Displaystyle 1 \ Leq T (п, к) + 1-к}$ ${\ Displaystyle т (п, к) +1 \ Leq п + 2}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle т (п, к) + 1-к}$ ${\ Displaystyle т (п, к) +1}$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {k} {n + 1}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {k} {n + 1}}}$

Приложения [ править ]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Февраль 2019 )

Индекс был применен для анализа голосования в Совете Европейского Союза . ^[5]

Индекс применен для анализа голосования в Совете Безопасности ООН.. Совет Безопасности ООН состоит из пятнадцати государств-членов, из которых пять (Соединенные Штаты Америки, Россия, Китай, Франция и Великобритания) являются постоянными членами Совета. Чтобы предложение было принято в Совете, ему нужна поддержка каждого постоянного члена и поддержка четырех непостоянных членов. Это эквивалентно голосующему органу, в котором пять постоянных членов имеют восемь голосов каждый, десять других членов имеют по одному голосу, а квота составляет сорок четыре голоса, так как тогда будет пятьдесят голосов, поэтому вам понадобятся все пять постоянных членов. членов, а затем еще четыре голоса за принятие предложения. Обратите внимание, что непостоянный член имеет решающее значение в перестановке тогда и только тогда, когда он находится на девятой позиции для голосования и все пять постоянных членов уже проголосовали.Предположим, что у нас есть перестановка, в которой непостоянный член является стержневым. Затем есть три непостоянных члена и пять постоянных, которые должны появиться перед этим ключевым членом в этой перестановке. Следовательно, есть ${\ displaystyle \ textstyle {\ binom {9} {3}}}$ способов выбора этих членов и так 8! × разные порядки членов перед основным избирателем. Тогда было бы 6! способы выбора оставшихся избирателей после основного избирателя. Так как их всего 15! Перестановки 15 избирателей, индекс мощности Шепли-Шубик из непостоянного члена является: . Следовательно, индекс силы постоянного члена составляет . ${\ displaystyle \ textstyle {\ binom {9} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ binom {9} {3}} (8!) (6!)} {15!}} = {\ frac {4} {2145}}}$ ${\frac {421}{2145}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b Шепли, LS; Шубик, М. (1954). «Метод оценки распределения власти в системе комитетов». Обзор американской политической науки . 48 (3): 787–792. DOI : 10.2307 / 1951053 . hdl : 10338.dmlcz / 143361 . JSTOR 1951053 .
^ Ху, Xingwei (2006). "Асимметричный индекс мощности Шепли-Шубика". Международный журнал теории игр . 34 (2): 229–240. DOI : 10.1007 / s00182-006-0011-Z .
^ Мацуи, Томоми; Мацуи, Ясуко (2000). "Обзор алгоритмов расчета показателей мощности взвешенных игр большинства" (PDF) . J. Oper. Res. Soc. Япония . 43 (1): 71–86. .
^ Ларуэль, Анник; Федерико, Валенсиано (2001). "Индексы Шепли-Шубика и Банцафа в новой математике исследования операций". Математика исследования операций . 26 (1): 89–95. DOI : 10.1287 / moor.26.1.89.10589 .
^ Варела, Диего; Прадо-Домингес, Хавьер (01.01.2012). «Переговоры по Лиссабонскому договору: перераспределение, показатели эффективности и мощности» . Чешское экономическое обозрение . 6 (2): 107–124.

Внешние ссылки [ править ]

Онлайн-калькулятор индекса мощности (Томоми Мацуи)
Компьютерные алгоритмы анализа силы голосования Веб-алгоритмы анализа силы голосования
Калькулятор индекса мощности Вычисляет различные индексы для (множественных) взвешенных онлайн-игр с голосованием. Включает несколько примеров.
Вычисление индекса мощности Шепли-Шубика и индекса мощности Банцафа с помощью Python и R (Фрэнк Хюттнер)

[Shapley1954-1] Шепли, LS; Шубик, М. (1954). «Метод оценки распределения власти в системе комитетов». Обзор американской политической науки . 48 (3): 787–792. DOI : 10.2307 / 1951053 . hdl : 10338.dmlcz / 143361 . JSTOR 1951053 .

[2] Ху, Xingwei (2006). "Асимметричный индекс мощности Шепли-Шубика". Международный журнал теории игр . 34 (2): 229–240. DOI : 10.1007 / s00182-006-0011-Z .

[3] Мацуи, Томоми; Мацуи, Ясуко (2000). "Обзор алгоритмов расчета показателей мощности взвешенных игр большинства" (PDF) . J. Oper. Res. Soc. Япония . 43 (1): 71–86. .

[4] Ларуэль, Анник; Федерико, Валенсиано (2001). "Индексы Шепли-Шубика и Банцафа в новой математике исследования операций". Математика исследования операций . 26 (1): 89–95. DOI : 10.1287 / moor.26.1.89.10589 .

[5] Варела, Диего; Прадо-Домингес, Хавьер (01.01.2012). «Переговоры по Лиссабонскому договору: перераспределение, показатели эффективности и мощности» . Чешское экономическое обозрение . 6 (2): 107–124.

[1]