 | Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
|
Индекс Banzhaf мощности , названный в честь Джона F Банзхаф (первоначально изобретен Лионель Пенроуза в 1946 году , а иногда называемый индексом Пенроуз-Banzhaf , также известный как индекс Banzhaf-Coleman после Джеймса Самуэля Коулмана ), это сила индекс определяется вероятность изменения в исход из в голосовании , где права голоса не обязательно поровну среди избирателей или акционеров .
Чтобы рассчитать силу избирателя с использованием индекса Банцафа, составьте список всех выигравших коалиций, затем подсчитайте критически важных избирателей. Критический избиратель является избирателем , который, если бы он не изменил свой голос от да на нет, будет вызывать меру на провал. Власть избирателя измеряется как доля всех голосов колеблющихся, которые он мог отдать. Есть несколько алгоритмов для вычисления индекса мощности, например методы динамического программирования, методы перечисления и методы Монте-Карло . [1]
Примеры [ править ]
Голосование [ править ]
Простая игра с голосованием [ править ]
Простая игра с голосованием, взятая из книги Филипа Д. Стрэффина из книги « Теория и стратегия игр»: [2]
[6; 4, 3, 2, 1]
Цифры в скобках означают, что для принятия меры требуется 6 голосов, и избиратель A может подать четыре голоса, B - три голоса, C - два и D - один. Победившие группы, с подчеркнутыми колеблющимися избирателями, следующие:
AB , AC , A BC, AB D, AC D, BCD , ABCD
Всего имеется 12 голосов колебания, поэтому по индексу Банцафа власть делится следующим образом:
A = 5/12, B = 3/12, C = 3/12, D = 1/12
Коллегия выборщиков США [ править ]
Рассмотрим Коллегию выборщиков Соединенных Штатов . Каждое состояние имеет больше или меньше власти, чем следующее состояние. Всего подано 538 голосов выборщиков . Большинством голосов 270 голосов. Индекс власти Банцафа будет математическим представлением того, насколько вероятно, что отдельное государство сможет повлиять на голосование. Такой штат, как Калифорния , которому выделено 55 голосов выборщиков, с большей вероятностью изменит голосование, чем такой штат, как Монтана , в котором 3 голоса выборщиков.
Предположим, в Соединенных Штатах проходят президентские выборы между республиканцем (R) и демократом (D). Для простоты предположим, что участвуют только три штата: Калифорния (55 голосов выборщиков), Техас (38 голосов выборщиков) и Нью-Йорк (29 голосов выборщиков).
Возможные исходы выборов:
| Калифорния (55) | Техас (38) | Нью-Йорк (29) | R голосов | D голосов | Государства, которые могут повлиять на голосование |
|---|---|---|---|---|---|
| р | р | р | 122 | 0 | никто |
| р | р | D | 93 | 29 | Калифорния (D выиграет 84–38), Техас (D выиграет 67–55) |
| р | D | р | 84 | 38 | Калифорния (D выиграет 93–29), Нью-Йорк (D выиграет 67–55) |
| р | D | D | 55 | 67 | Техас (R выиграет 93–29), Нью-Йорк (R выиграет 84–38) |
| D | р | р | 67 | 55 | Техас (D выиграет 93–29), Нью-Йорк (D выиграет 84–38) |
| D | р | D | 38 | 84 | Калифорния (R выиграет 93–29), Нью-Йорк (R выиграет 67–55) |
| D | D | р | 29 | 93 | Калифорния (R выиграет 84–38), Техас (R выиграет 67–55) |
| D | D | D | 0 | 122 | никто |
Индекс власти государства Банцафа - это доля возможных результатов, в которых это государство может повлиять на результаты выборов. В этом примере все три состояния имеют одинаковый индекс: 4/12 или 1/3.
Однако если на смену Нью-Йорку придет Джорджия, имеющая всего 16 голосов выборщиков, ситуация кардинально изменится.
| Калифорния (55) | Техас (38) | Грузия (16) | R голосов | D голосов | Государства, которые могут повлиять на голосование |
|---|---|---|---|---|---|
| р | р | р | 109 | 0 | Калифорния (R выиграет 109-0) |
| р | р | D | 93 | 16 | Калифорния (R выиграет 93-16) |
| р | D | р | 71 | 38 | Калифорния (R выиграет 71-38) |
| р | D | D | 55 | 54 | Калифорния (R выиграет 55-54) |
| D | р | р | 54 | 55 | Калифорния (D выиграет 55-54) |
| D | р | D | 38 | 71 | Калифорния (D выиграет 71-38) |
| D | D | р | 16 | 93 | Калифорния (D выиграет 93-16) |
| D | D | D | 0 | 109 | Калифорния (D выиграет 109-0) |
В этом примере индекс Банцафа дает Калифорнии 1, а другим штатам 0, поскольку только Калифорния имеет более половины голосов.
Картель [ править ]
Пять компаний (A, B, C, D, E) подписывают соглашение о создании монополии . Размер рынка составляет X = 54 миллиона единиц в год (например, нефтяных баррелей) для монополии. Максимальная производственная мощность этих компаний составляет A = 44, B = 32, C = 20, D = 8 и E = 4 миллиона единиц в год. Следовательно, существует набор коалиций, способных предоставить 54 миллиона единиц, необходимых для монополии, и набор коалиций, неспособных предоставить это количество. В каждой из достаточных коалиций могут быть необходимые члены (чтобы коалиция обеспечивала требуемую продукцию) и ненужные члены (подчеркнуты в таблице ниже). Даже когда одиниз этих ненужных членов выходит из достаточной коалиции, чтобы коалиция могла обеспечить требуемую продукцию. Однако, когда уходит один необходимый член, достаточной коалиции становится недостаточно. Прибыль монополии, распределяемая между участниками коалиции, составляет 100 миллионов долларов в год.
| Достаточные коалиции | ABCDE , ABCD , ABCE , A BDE , A CDE , A BC , AB D , AB E , AC D , AC E , BC DE , BCD, BCE, ADE, AB и AC |
| Недостаточные коалиции | CDE, BDE, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE, A, B, C, D и E |
Индекс Пенроуза-Банцафа может применяться для расчета значения Шепли , которое обеспечивает основу для распределения прибыли для каждого игрока в игре пропорционально количеству достаточных коалиций, в которых этот игрок необходим. Игрок A необходим для 10 из 16 достаточных коалиций, B необходим для 6, C также для 6, D для 2 и E для 2. Следовательно, A необходим в 38,5% всех случаев (26 = 10 + 6 + 6 + 2 + 2, поэтому 10/26 = 0,385), B - 23,1%, C - 23,1%, D - 7,7% и E - 7,7% (это индексы Банцафа для каждой компании). Распределение 100 миллионов монопольных прибылей по критерию стоимости Шепли должно соответствовать этим пропорциям.
История [ править ]
То, что сегодня известно как индекс мощности Банцафа, было первоначально введено Лайонелом Пенроузом в 1946 году [3] и в значительной степени было забыто. [4] Он был заново изобретен Джоном Ф. Банцафом III в 1965 году [5], но его пришлось заново изобрести еще раз Джеймсу Сэмюэлу Колеману в 1971 году [6], прежде чем он стал частью основной литературы.
Банцаф хотел объективно доказать, что система голосования совета округа Нассау была несправедливой. Как указано в книге «Теория игр и стратегия» , голоса были распределены следующим образом: [2]
- Хемпстед # 1: 9
- Хемпстед № 2: 9
- Северный Хемпстед: 7
- Устричный залив: 3
- Глен Коув: 1
- Лонг-Бич: 1
Это 30 голосов, и для принятия меры требовалось простое большинство в 16 голосов. [а]
В обозначениях Банцафа [Хемпстед №1, Хемпстед №2, Норт-Хемпстед, Ойстер-Бей, Глен-Коув, Лонг-Бич] обозначены AF в [16; 9, 9, 7, 3, 1, 1]
Есть 32 победившие коалиции и 48 голосов колебания:
AB AC BC ABC AB D AB E AB F AC D AC E AC F BC D BC E BC F ABCD ABCE ABCF AB DE AB DF AB EF AC DE AC DF AC EF BC DE BC DF BC EF ABCDE ABCDF ABCEF AB DEF AC DEF BC DEF ABCDEF
Индекс Банцафа дает следующие значения:
- Хемпстед №1 = 16/48
- Хемпстед № 2 = 16/48
- Норт-Хемпстед = 16/48
- Устричный залив = 0/48
- Глен Коув = 0/48
- Лонг-Бич = 0/48
Банцаф утверждал, что порядок голосования, при котором 0% власти предоставляется 16% населения, является несправедливым. [b]
Сегодня [ когда? ] индекс власти Банцафа является общепринятым способом измерения количества голосов, наряду с альтернативным индексом власти Шепли-Шубика . Обе меры были применены к анализу голосования в Совете Европейского Союза . [7]
Однако анализ Банцафа подвергался критике как трактовка голосов как подбрасывание монеты, а эмпирическая модель голосования, а не модель случайного голосования, используемая Банцафом, дает разные результаты. [8]
См. Также [ править ]
- Теория игры
- Метод Пенроуза
- Закон квадратного корня Пенроуза
Примечания [ править ]
- ^ Banzhaf не понимаеткак голосование в Нассау Каунти действительно работал. Первоначально за Хемпстед было подано 24 голоса, в результате чего общее количество голосов составило 36. Затем Хемпстед был ограничен половиной от общего числа, или 18, или 9 для каждого руководителя. Шесть исключенных голосов не были проголосованы, и большинство, необходимое для принятия меры, осталось 19.
- ^ Многие источники утверждают, что Банцаф подал в суд (и выиграл). В первоначальном судебном процессе округа Нассау, Франклин против Мандевилля 57 Misc.2d 1072 (1968), суд Нью-Йорка постановил, что избирателям в Хемпстеде было отказано в равной защите, поскольку, хотя в городе проживало большинство населения, они не имели большинство взвешенных голосов. Взвешенное голосование будет оспариваться в графстве Нассау в течение следующих 25 лет, пока оно не будет отменено.
Ссылки [ править ]
Сноски [ править ]
- Перейти ↑ Matsui & Matsui 2000 .
- ^ a b Straffin 1993 .
- ^ Пенроуз 1946 .
- ^ Felsenthal & Machover 1998 , стр. 5.
- ^ Banzhaf 1965 .
- Перейти ↑ Coleman 1971 .
- ^ Варела и Прадо-Домингес 2012 .
- Перейти ↑ Gelman & Katz 2002 .
Библиография [ править ]
- Банцаф, Джон Ф. (1965). «Взвешенное голосование не работает: математический анализ». Обзор закона Рутгерса . 19 (2): 317–343. ISSN 0036-0465 .
- Коулман, Джеймс С. (1971). «Контроль над коллективами и сила коллектива действовать». В Либермане, Бернхардте (ред.). Социальный выбор . Нью-Йорк: Гордон и Брич. С. 192–225.
- Felsenthal, Dan S .; Machover, Моше (1998). Теория и практика измерения силы голоса, проблемы и парадоксы . Челтенхэм, Англия: Эдвард Элгар.
- ——— (2004). "Априорное право голоса: в чем суть?" (PDF) . Обзор политических исследований . 2 (1): 1-23. DOI : 10.1111 / j.1478-9299.2004.00001.x . ISSN 1478-9302 .
- Гельман, Андрей ; Кац, Джонатан; Tuerlinckx, Фрэнсис (2002). «Математика и статистика голосов» . Статистическая наука . 17 (4): 420–435. DOI : 10,1214 / сс / 1049993201 . ISSN 0883-4237 .
- Лерер, Эхуд (1988). «Аксиоматизация значения Банцафа» (PDF) . Международный журнал теории игр . 17 (2): 89–99. CiteSeerX 10.1.1.362.9991 . DOI : 10.1007 / BF01254541 . ISSN 0020-7276 . Проверено 30 августа 2017 года .
- Мацуи, Томоми; Мацуи, Ясуко (2000). "Обзор алгоритмов расчета показателей мощности взвешенных игр большинства" (PDF) . Журнал Общества исследования операций Японии . 43 (1): 71–86. DOI : 10,15807 / jorsj.43.71 . ISSN 0453-4514 . Проверено 30 августа 2017 года .
- Пенроуз, Лайонел (1946). «Элементарная статистика голосования большинством». Журнал Королевского статистического общества . 109 (1): 53–57. DOI : 10.2307 / 2981392 . ISSN 0964-1998 . JSTOR 2981392 .
- Страффин, Филип Д. (1993). Теория игр и стратегия . Новая математическая библиотека. 36 . Вашингтон: Математическая ассоциация Америки.
- Варела, Диего; Прадо-Домингес, Хавьер (2012). «Переговоры по Лиссабонскому договору: перераспределение, показатели эффективности и мощности» . Чешский экономический обзор . 6 (2): 107–124. ISSN 1802-4696 . Проверено 30 августа 2017 года .
Внешние ссылки [ править ]
 | Использование внешних ссылок в этой статье может не соответствовать политикам или рекомендациям Википедии . ( Май 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
- Онлайн-калькулятор индекса мощности (Томоми Мацуи)
- Banzhaf Power Index Включает оценки индекса власти для Коллегии выборщиков США 1990-х годов.
- Калькулятор силы голосования Perl для индекса Пенроуза.
- Компьютерные алгоритмы анализа силы голосования Веб-алгоритмы анализа силы голосования
- Калькулятор индекса мощности Рассчитывает различные индексы для (множественных) взвешенных игр с голосованием в Интернете. Включает несколько примеров.
- Вычисление индекса мощности Банцафа и индекса мощности Шепли – Шубика с помощью Python и R (Фрэнк Хюттнер)
- Индекс мощности Банцафа на демонстрационном проекте Wolfram Demonstrations Project
