Автомодельное решение

При изучении дифференциальных уравнений в частных производных , особенно в гидродинамике , автомодельное решение - это форма решения, которая подобна самому себе, если независимые и зависимые переменные соответствующим образом масштабированы. Автомодельные решения появляются всякий раз, когда задача не имеет характерной длины или временного масштаба (например, пограничный слой Блазиуса бесконечной пластины, но не пластины конечной длины). К ним относятся, например, пограничный слой Блазиуса или оболочка Седова – Тейлора . ^{[1] [2]}

Концепция [ править ]

Мощным инструментом в физике является концепция анализа размеров и законов масштабирования. Изучая физические эффекты, присутствующие в системе, мы можем оценить их размер и, следовательно, которыми, например, можно пренебречь. В некоторых случаях система может не иметь фиксированной естественной длины или временной шкалы, в то время как решение зависит от пространства или времени. Затем необходимо построить шкалу, используя пространство или время и другие присутствующие размерные величины, такие как вязкость . Эти конструкции не «угадываются», а сразу выводятся из масштабирования определяющих уравнений.${\ displaystyle \ nu}$

Классификация [ править ]

Нормальное автомодельное решение также называется автомодельным решением первого типа , поскольку для задач конечного размера существует другой тип автомодельного решения, который не может быть получен из анализа размерностей , известный как автомодельное решение. второго рода .

Автомодельное решение второго рода [ править ]

Раннее выявление автомодельных решений второго рода можно найти в задачах о схлопывающихся ударных волнах, проанализированных Г. Гудерли (1942), Львом Ландау и К.П. Станюковичем (1944), ^[3] и распространении ударных волн с помощью короткий импульс, проанализированный Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером ^[4] и Яковом Борисовичем Зельдовичем (1956), которые также впервые отнесли его ко второму виду. ^[5] Полное описание было сделано в 1972 году Григорием Баренблаттом и Яковом Борисовичем Зельдовичем . ^[6]Автомодельное решение второго рода также появляется в различных контекстах , например, в задачах пограничного слоя , подвергнутых малых возмущений, ^[7] , как было определено Keith Стюартсоном , ^[8] Пол А. Либби и Герберт Фокс. ^[9] Вихри Моффатта также являются автомодельным решением второго рода.

Пример - проблема Рэлея [ править ]

Простой пример - полубесконечная область, ограниченная жесткой стенкой и заполненная вязкой жидкостью. ^[10] Когда стена заставляется двигаться с постоянной скоростью в фиксированном направлении (для определенности, скажем, в направлении и рассматриваем только плоскость), можно увидеть, что в задаче не задан выделенный масштаб длины. Это известно как проблема Рэлея . Граничные условия прилипания: ${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x}$${\displaystyle x-y}$

${\displaystyle u=U}$ на ${\displaystyle y=0}$

Кроме того, условие, что пластина не влияет на жидкость на бесконечности, выполняется следующим образом:

${\displaystyle u\rightarrow 0}$как .${\displaystyle y\rightarrow \infty }$

Теперь из уравнений Навье-Стокса

${\displaystyle \rho \left({\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {u}}\right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}{\vec {u}}}$

можно заметить, что этот поток будет прямолинейным , с градиентами в направлении и потоком в направлении, и что член давления не будет иметь тангенциальной составляющей, так что . Тогда компонент уравнений Навье-Стокса принимает вид${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\dfrac {\partial p}{\partial y}}=0}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}=\nu \partial _{y}^{2}{\vec {u}}}$

и аргументы масштабирования могут быть применены, чтобы показать, что

${\displaystyle {\frac {U}{t}}\sim \nu {\frac {U}{y^{2}}}}$

что дает масштабирование координаты как${\displaystyle y}$

${\displaystyle y\sim (\nu t)^{1/2}}$.

Это позволяет составить автомодельный анзац такой, что при безразмерном и безразмерном${\displaystyle f}$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle u=Uf\left(\eta \equiv {\dfrac {y}{(\nu t)^{1/2}}}\right)}$

Вышеупомянутое содержит всю соответствующую физику, и следующим шагом будет решение уравнений, которые во многих случаях будут включать численные методы. Это уравнение

${\displaystyle -\eta f'/2=f''}$

с решением, удовлетворяющим граничным условиям, что

${\displaystyle f=1-\operatorname {erf} (\eta /2)}$ или же ${\displaystyle u=U\left(1-\operatorname {erf} \left(-y/(4\nu t)^{1/2}\right)\right)}$

которое является автомодельным решением первого рода.

Ссылки [ править ]