В гидродинамике проблема Рэлея, также известная как первая проблема Стокса, - это проблема определения потока, создаваемого внезапным движением бесконечно длинной пластины из состояния покоя, названной в честь лорда Рэлея и сэра Джорджа Стокса . Это считается одной из простейших нестационарных задач, которые имеют точное решение для уравнений Навье-Стокса . Импульсное движение полубесконечной пластины изучал Кейт Стюартсон . [1]
Описание потока [2] [3]
Представьте бесконечно длинную пластину, которая внезапно заставляет двигаться с постоянной скоростью. в направление, которое находится в в бесконечной области жидкости, которая изначально везде находится в состоянии покоя. Несжимаемые уравнения Навье-Стокса сводятся к
где это кинематическая вязкость . Начальное и условие прилипания на стене:
последнее условие связано с тем, что движение на не ощущается в бесконечности. Течение происходит только за счет движения пластины, градиент давления отсутствует.
Автомодельное решение [4]
Задача в целом аналогична одномерной задаче теплопроводности. Следовательно, можно ввести автомодельную переменную
Подставляя это уравнение в частных производных, сводит его к обыкновенному дифференциальному уравнению
с граничными условиями
Решение указанной выше проблемы можно записать в терминах дополнительной функции ошибок
Сила на единицу площади, действующая на пластину, равна
Произвольное движение стены
Вместо использования ступенчатого граничного условия для движения стенки можно задать скорость стенки как произвольную функцию времени, т. Е. . Тогда решение дается формулой [5]
Задача Рэлея в цилиндрической геометрии
Вращающийся цилиндр
Рассмотрим бесконечно длинный цилиндр радиуса внезапно начинает вращаться с угловой скоростью . Тогда скорость в направление дается
где - модифицированная функция Бесселя второго рода. В видерешение приближается к твердому вихрю. Сила на единицу площади, действующая на цилиндр, равна
где - модифицированная функция Бесселя первого рода.
Скользящий цилиндр
Точное решение также доступно, когда цилиндр начинает скользить в осевом направлении с постоянной скоростью. . Если считать, что ось цилиндра находится в направление, то решение дается формулой
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Стюартсона, KT (1951). Об импульсном движении плоской пластины в вязкой жидкости. Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики, 4 (2), 182-198.
- ^ Бэтчелор, Джордж Кейт. Введение в гидродинамику. Издательство Кембриджского университета, 2000.
- ^ Лагерстрем, Пако Аксель. Теория ламинарного течения. Издательство Принстонского университета, 1996.
- ^ Ачесон, Дэвид Дж. Элементарная гидродинамика. Издательство Оксфордского университета, 1990.
- ^ Драйден, Хью Л., Фрэнсис Д. Мурнаган и Гарри Бейтман. Гидродинамика. Нью-Йорк: публикации Dover, 1956.