Уравнения Навье – Стокса

В физике , в уравнения Навье-Стокса ( / п æ v J eɪ ы т oʊ к с / ) представляют собой набор дифференциальных уравнений , описывающих движение вязкой жидкости веществ, названных в честь французского инженера и физика Навье и Англо-ирландский физик и математик Джордж Габриэль Стоукс .

Уравнения Навье – Стокса математически выражают сохранение импульса и массы для ньютоновских жидкостей . Иногда они сопровождаются уравнением состояния, связывающим давление , температуру и плотность . ^[1] Они возникают в результате применения второго закона Исаака Ньютона к движению жидкости вместе с предположением, что напряжение в жидкости является суммой диффузного вязкого члена (пропорционального градиенту скорости) и давлениятермин - следовательно, описывающий вязкое течение . Разница между ними и тесно связанными уравнениями Эйлера состоит в том, что уравнения Навье – Стокса учитывают вязкость, тогда как уравнения Эйлера моделируют только невязкое течение . В результате уравнения Навье – Стокса представляют собой параболическое уравнение и поэтому обладают лучшими аналитическими свойствами за счет меньшей математической структуры (например, они никогда не могут быть полностью интегрируемыми ).

Уравнения Навье – Стокса полезны, потому что они описывают физику многих явлений, представляющих научный и технический интерес. Их можно использовать для моделирования погоды, океанских течений , потока воды в трубе и потока воздуха вокруг крыла . Уравнения Навье – Стокса в их полной и упрощенной формах помогают при проектировании самолетов и автомобилей, изучении кровотока, проектировании электростанций, анализе загрязнения и многом другом. В сочетании с уравнениями Максвелла их можно использовать для моделирования и изучения магнитогидродинамики .

Уравнения Навье – Стокса также представляют большой интерес в чисто математическом смысле. Несмотря на их широкий спектр практического использования, еще не доказано, всегда ли гладкие решения существуют в трех измерениях, т. Е. Они бесконечно дифференцируемы (или даже просто ограничены) во всех точках области . Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса . Математический институт Клея назвал это один из семи наиболее важных открытых проблем математики и предложил США $ 1 млн приз за решением или контрпример. ^{[2] [3]}

Скорость потока [ править ]

Решение уравнений - скорость потока . Это векторное поле - в каждую точку жидкости в любой момент временного интервала оно дает вектор, направление и величина которого соответствуют скорости жидкости в этой точке пространства и в данный момент времени. Обычно он изучается в трех пространственных измерениях и одном временном измерении, хотя двух (пространственные) измерения и стационарные случаи часто используются в качестве моделей, а многомерные аналоги изучаются как в чистой, так и в прикладной математике. После расчета поля скорости другие представляющие интерес величины, такие как давление или температура, могут быть найдены с помощью динамических уравнений и соотношений. Это отличается от того, что обычно можно увидеть вклассическая механика , где решениями обычно являются траектории движения частицы или отклонения сплошной среды . Для жидкости больше смысла изучение скорости, а не положения; однако для целей визуализации можно вычислить различные траектории . В частности, линии тока векторного поля, интерпретируемые как скорость потока, представляют собой пути, по которым будет перемещаться безмассовая частица жидкости. Эти траектории представляют собой интегральные кривые , производная которых в каждой точке равна векторному полю, и они могут визуально представлять поведение векторного поля в определенный момент времени.

Общие уравнения континуума [ править ]

Уравнение импульса Навье – Стокса может быть получено как частный вид уравнения импульса Коши , общая конвективная форма которого имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {u}} {Dt}} = {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {g}}$

устанавливая тензор напряжения Коши σ как сумму члена вязкости τ ( девиаторное напряжение ) и члена давления - p I (объемное напряжение), мы получаем

куда

• D/Dtявляется производным материалом , определяется как∂/∂ т+ u ⋅ ∇ ,
• ρ - плотность,
• u - скорость потока,
• ∇ ⋅ - дивергенция ,
• p - давление ,
• т является время ,
• τ - тензор девиаторных напряжений , имеющий порядок 2,
• g представляет собой ускорения тела, действующие на континуум, например гравитацию , инерционные ускорения , электростатические ускорения и т. д.

В этой форме очевидно, что в предположении невязкой жидкости - отсутствия девиаторного напряжения - уравнения Коши сводятся к уравнениям Эйлера .

Предполагая сохранение массы, мы можем использовать уравнение неразрывности массы (или просто уравнение неразрывности),

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ набла \ cdot (\ rho \, \ mathbf {u}) = 0}$

прийти к сохранению формы уравнений движения. Часто пишут: ^[4]

где ⊗ - внешний продукт :

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\mathrm {T} }.}$

Левая часть уравнения описывает ускорение и может состоять из зависящих от времени и конвективных составляющих (а также эффектов неинерциальных координат, если они есть). Правая часть уравнения представляет собой сумму гидростатических эффектов, расхождения девиаторных напряжений и сил тела (таких как сила тяжести).

Все нерелятивистские уравнения баланса, такие как уравнения Навье – Стокса, можно вывести, начав с уравнений Коши и задав тензор напряжений через определяющее соотношение . Выражая тензор девиаторных (сдвиговых) напряжений через вязкость и градиент скорости жидкости и предполагая постоянную вязкость, приведенные выше уравнения Коши приведут к приведенным ниже уравнениям Навье – Стокса.

Конвективное ускорение [ править ]

Важной особенностью уравнения Коши и, следовательно, всех других уравнений континуума (включая Эйлера и Навье – Стокса) является наличие конвективного ускорения: эффект ускорения потока по отношению к пространству. Хотя отдельные частицы жидкости действительно испытывают зависящее от времени ускорение, конвективное ускорение поля потока является пространственным эффектом, одним из примеров которого является ускорение жидкости в сопле.

Сжимаемый поток [ править ]

Замечание: здесь тензор напряжений Коши обозначается σ (вместо τ, как это было в общих уравнениях сплошной среды и в сечении несжимаемого потока ).

Уравнение сжимаемого импульса Навье – Стокса получается из следующих предположений о тензоре напряжений Коши: ^[5]

• напряжение является галилеевым инвариантом : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения - это тензорный градиент ∇ u .
• напряжение линейно по этой переменной: σ (∇ u ) = C  : (∇ u ) , где C - тензор четвертого порядка, представляющий константу пропорциональности, называемую тензором вязкости или упругости , и: - произведение с двумя точками .
• жидкость считается изотропной , как в случае с газами и простыми жидкостями, и, следовательно, V является изотропным тензором; кроме того, поскольку тензор напряжений является симметричным, с помощью разложения Гельмгольца он может быть выражен через два скалярных параметра Ламе , объемную вязкость λ и динамическую вязкость μ , как это обычно бывает при линейной упругости :

где I - тождественный тензор, ε (∇ u ) ≡1/2∇ u +1/2(∇ u ) ^T - тензор скорости деформации, а ∇ · u - скорость расширения потока. Таким образом, это разложение можно явно определить как:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$

Поскольку след тензора скорости деформации в трех измерениях:

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$

След тензора напряжений в трех измерениях принимает следующий вид:

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$

Таким образом, альтернативно разложив тензор напряжений на изотропную и девиаторную части, как обычно в гидродинамике: ^[6]

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$

Вводя вторую вязкость ζ ,

${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$

мы приходим к линейному определяющему уравнению в форме, обычно применяемой в теплогидравлике : ^[5]

И вторая вязкость ζ, и динамическая вязкость μ не обязательно должны быть постоянными - как правило, они зависят от плотности, друг от друга (вязкость выражается в давлении), а в сжимаемых потоках также от температуры. Любое уравнение, объясняющее один из этих коэффициентов переноса в переменных сохранения, называется уравнением состояния . ^[7]

Наиболее общие уравнения Навье-Стокса становятся

В большинстве случаев вторую вязкость ζ можно считать постоянной. Влияние объемной вязкости ζ заключается в том, что механическое давление не эквивалентно термодинамическому давлению : ^[8] Поскольку

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$

обычно вводится модифицированное давление

${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$

удалить член, соответствующий второй вязкости. Этой разницей обычно пренебрегают, иногда явно предполагая ζ = 0 , но она может повлиять на поглощение и затухание звука и ударные волны. ^[9] При таком упрощении уравнения Навье-Стокса становятся

Если также предполагается, что динамическая вязкость μ постоянна, уравнения можно дополнительно упростить. Путь вычисления дивергенции тензора напряжений, так как дивергенции тензора ∇ U является ∇ ² U и дивергенция тензора (∇ U ) ^Т является ∇ (∇ · U ) , один , наконец , поступает к сжимаемому (наиболее общем) навьему Уравнение движения Стокса: ^[10]

куда D/Dtэто материал производной . Левая часть меняет форму сохранения уравнения движения Навье – Стокса:

Объемная вязкость считается постоянной, в противном случае ее не следует вычитать из последней производной. Член конвективного ускорения можно также записать как

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2}}$,

где вектор (∇ × u ) × u известен как вектор Лэмба .

В частном случае несжимаемого потока давление ограничивает поток, так что объем жидких элементов остается постоянным: изохорный поток, приводящий к соленоидальному полю скорости с ∇ · u = 0. ^[11]

Несжимаемый поток [ править ]

Уравнение Навье – Стокса для импульса несжимаемой жидкости является результатом следующих предположений о тензоре напряжений Коши: ^[5]

• напряжение является галилеевым инвариантом : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения - это тензорный градиент ∇ u .
• предполагается, что жидкость изотропна , как в случае с газами и простыми жидкостями, и, следовательно, τ - изотропный тензор; кроме того, поскольку тензор девиаторных напряжений может быть выражен через динамическую вязкость μ :

куда

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$

- тензор скорости деформации . Таким образом, это разложение может быть объяснено как: ^[5]

Динамическая вязкость μ не обязательно должна быть постоянной - в несжимаемых потоках она может зависеть от плотности и давления. Любое уравнение, объясняющее один из этих коэффициентов переноса в консервативных переменных , называется уравнением состояния . ^[7]

Дивергенция девиаторного напряжения определяется по формуле:

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$

поскольку ∇ ⋅ u = 0 для несжимаемой жидкости.

Несжимаемость исключает волны плотности и давления, такие как звуковые или ударные волны , поэтому это упрощение бесполезно, если эти явления представляют интерес. Предположение о несжимаемом потоке обычно хорошо работает со всеми жидкостями при низких числах Маха (скажем, примерно до 0,3 Маха), например, для моделирования воздушного ветра при нормальных температурах. ^[12] Для несжимаемых (однородная плотность ρ ₀ ) течений имеет место тождество:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p=\nabla \left({\frac {p}{\rho _{0}}}\right)\equiv \nabla w}$

где w - удельная (в смысле единицы массы ) термодинамическая работа , член внутреннего источника. Тогда несжимаемые уравнения Навье – Стокса лучше всего визуализировать, разделив на плотность:

где 𝜈 =μ/ρ ₀называется кинематической вязкостью .

Стоит понять значение каждого члена (сравните с уравнением импульса Коши ):

${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Variation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convection}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}\overbrace {-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$

Член высшего порядка, а именно дивергенция касательного напряжения ∇ · τ , просто сводится к векторному члену лапласиана μ ∇ ² u . ^[13] Этот лапласовский термин можно интерпретировать как разницу между скоростью в точке и средней скоростью в небольшом окружающем объеме. Это означает, что - для ньютоновской жидкости - вязкость действует как диффузия количества движения во многом так же, как и теплопроводность . Фактически, пренебрегая членом конвекции, несжимаемые уравнения Навье – Стокса приводят к векторному уравнению диффузии (а именно уравнениям Стокса), но в целом конвективный член присутствует, поэтому несжимаемые уравнения Навье – Стокса относятся к классу уравнений конвекции – диффузии .

В обычном случае, когда внешнее поле является консервативным полем :

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi }$

путем определения гидравлического напора :

${\displaystyle h\equiv w+\varphi }$

наконец, можно объединить весь источник в один член, придя к несжимаемому уравнению Навье – Стокса с консервативным внешним полем:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}$

Несжимаемые уравнения Навье – Стокса с консервативным внешним полем являются фундаментальным уравнением гидравлики . Область для этих уравнений обычно представляет собой 3 или менее евклидово пространство , для которого обычно устанавливается ортогональная система координат, чтобы явить систему скалярных уравнений в частных производных, которая должна быть решена. В 3-х мерных ортогональных системах координат есть 3: декартова , цилиндрическая и сферическая.. Выражение векторного уравнения Навье – Стокса в декартовых координатах довольно просто и не сильно зависит от количества измерений используемого евклидова пространства, как и для членов первого порядка (таких как вариационные и конвективные) также в недекартовы ортогональные системы координат. Но для членов более высокого порядка (два, возникающих из-за дивергенции девиаторного напряжения, которые отличают уравнения Навье – Стокса от уравнений Эйлера), требуется некоторое тензорное исчисление для вывода выражения в недекартовых ортогональных системах координат.

Уравнение несжимаемой жидкости Навье – Стокса является составным и представляет собой сумму двух ортогональных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}}$

где Π ^S и Π ^I - соленоидальные и безвихревые проекционные операторы, удовлетворяющие условию Π ^S + Π ^I = 1, а f ^S и f ^I - неконсервативные и консервативные части объемной силы. Этот результат следует из теоремы Гельмгольца (также известной как основная теорема векторного исчисления). Первое уравнение представляет собой управляющее уравнение для скорости без давления, а второе уравнение для давления является функционалом скорости и связано с уравнением Пуассона для давления.

Явный функциональный вид оператора проектирования в 3D находится из теоремы Гельмгольца:

${\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dV',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}}$

с аналогичной структурой в 2D. Таким образом, основное уравнение представляет собой интегро-дифференциальное уравнение, подобное закону Кулона и Био – Савара , не удобное для численных расчетов.

Эквивалентная слабая или вариационная форма уравнения, которая, как было доказано, дает то же решение для скорости, что и уравнение Навье – Стокса ^[14], имеет вид

${\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}$

для бездивергентных пробных функций w, удовлетворяющих подходящим граничным условиям. Здесь проекции достигаются за счет ортогональности соленоидального и безвихревого функциональных пространств. Дискретная форма этого в высшей степени подходит для расчета методом конечных элементов бездивергентного потока, как мы увидим в следующем разделе. Там можно будет ответить на вопрос «Как определить задачи, связанные с давлением (Пуазейля), с помощью управляющего уравнения без давления?».

Отсутствие сил давления в основном уравнении скорости показывает, что уравнение не является динамическим, а скорее кинематическим уравнением, в котором условие отсутствия дивергенции играет роль уравнения сохранения. Все это, казалось бы, опровергает частые утверждения о том, что несжимаемое давление обеспечивает условие отсутствия расходимости.

Вариационная форма несжимаемых уравнений Навье – Стокса [ править ]

Сильная форма [ править ]

Рассмотрим несжимаемые уравнения Навье – Стокса для ньютоновской жидкости постоянной плотности ρ в области

${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)}$

с границей

${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},}$

являющиеся Γ _D и Γ _N частями границы, на которых применяются граничные условия Дирихле и Неймана соответственно ( Γ _D ∩ Γ _N = ∅ ): ^[15]

${\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}-\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)={\boldsymbol {f}}&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {g}}&{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\\sigma ({\boldsymbol {u}},p){\boldsymbol {\hat {n}}}={\boldsymbol {h}}&{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}(0)={\boldsymbol {u}}_{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}$

U представляет собой скорость жидкости, р давления жидкости, F данного термина форсирования, п внешнего направленное единичного вектора нормали кГ _N и σ ( у , р )тензор вязких напряженийопределяются следующим образом: ^[15]

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)=-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}}).}$

Пусть μ является динамическая вязкость жидкости, я второго порядка единичный тензор и ε ( U ) от тензора скорости деформации определяется следующим образом: ^[15]

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})={\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)+\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)^{\mathrm {T} }\right).}$

Функции g и h задаются граничными данными Дирихле и Неймана, а u ₀ является начальным условием . Первое уравнение представляет собой уравнение баланса количества движения, а второе представляет собой уравнение сохранения массы , а именно уравнение неразрывности . Предполагая постоянную динамическую вязкость, используя векторную идентичность

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla {\boldsymbol {f}}\right)^{\mathrm {T} }=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {f}})}$

и используя сохранение массы, расходимость тензора полного напряжения в уравнении количества движения также может быть выражена как: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)&=\nabla \cdot {\bigl (}-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}}){\bigr )}=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)+\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)^{\mathrm {T} }\right)\right]\\[5pt]&=-\nabla p+\mu \left(\Delta {\boldsymbol {u}}+\nabla \cdot \left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)^{\mathrm {T} }\right)=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta {\boldsymbol {u}}+\nabla \underbrace {(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}})} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta {\boldsymbol {u}}.\end{aligned}}}$

Кроме того, обратите внимание, что граничные условия Неймана можно переформулировать как: ^[15]

${\displaystyle \sigma ({\boldsymbol {u}},p){\boldsymbol {\hat {n}}}={\bigl (}-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}}){\bigr )}{\boldsymbol {\hat {n}}}=-p{\boldsymbol {\hat {n}}}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}.}$

Слабая форма [ править ]

Чтобы найти вариационную форму уравнений Навье – Стокса, сначала рассмотрим уравнение импульса ^[15]

${\displaystyle \rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}-\mu \Delta {\boldsymbol {u}}+\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}+\nabla p={\boldsymbol {f}}}$

умножьте его на пробную функцию v , определенную в подходящем пространстве V , и проинтегрируйте оба члена относительно области Ω : ^[15]

${\displaystyle \int _{\Omega }\rho {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}\cdot {\boldsymbol {v}}-\int _{\Omega }\mu \Delta {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\nabla p\cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Omega }{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}}$

Противоинтегрирование по частям диффузионного члена и члена давления и с использованием теоремы Гаусса: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\int _{\Omega }\mu \Delta {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}&=\int _{\Omega }\mu \nabla {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}-\int _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}\cdot {\boldsymbol {v}}\\[5pt]\int _{\Omega }\nabla p\cdot {\boldsymbol {v}}&=-\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\partial \Omega }p{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\hat {n}}}\end{aligned}}}$

Используя эти отношения, получаем: ^[15]

${\displaystyle \int _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\mu \nabla {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}-\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Omega }{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}\quad \forall {\boldsymbol {v}}\in V.}$

Таким же образом уравнение неразрывности умножается на пробную функцию q, принадлежащую пространству Q, и интегрируется в области Ω : ^[15]

${\displaystyle \int _{\Omega }q\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0.\quad \forall q\in Q.}$

Космические функции выбираются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{{\boldsymbol {v}}\in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\[5pt]Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}}$

Учитывая, что пробная функция v обращается в нуль на границе Дирихле, и учитывая условие Неймана, интеграл на границе можно переписать следующим образом: ^[15]

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}=\underbrace {\int _{\Gamma _{D}}\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}} _{{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int _{\Gamma _{N}}\underbrace {\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)} _{={\boldsymbol {h}}{\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Gamma _{N}}{\boldsymbol {h}}\cdot {\boldsymbol {v}}.}$

Имея это в виду, слабая формулировка уравнений Навье – Стокса выражается следующим образом: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{find }}{\boldsymbol {u}}\in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\mu \nabla {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}-\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Omega }{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Gamma _{N}}{\boldsymbol {h}}\cdot {\boldsymbol {v}}\quad \forall {\boldsymbol {v}}\in V,\\\displaystyle \int _{\Omega }q\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Дискретная скорость [ править ]

При разбиении проблемной области и определении базисных функций на разбитой области дискретная форма основного уравнения имеет вид

${\displaystyle \left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).}$

Желательно выбирать базисные функции, которые отражают существенную особенность несжимаемого потока - элементы должны быть недивергентными. Хотя скорость представляет собой интересующую нас переменную, существование функции тока или векторного потенциала необходимо по теореме Гельмгольца. Кроме того, чтобы определить поток жидкости в отсутствие градиента давления, можно указать разность значений функции тока в двухмерном канале или линейный интеграл тангенциальной составляющей векторного потенциала вокруг канала в трехмерном пространстве, при этом поток задается по теореме Стокса . В дальнейшем обсуждение будет ограничено 2D.

Далее мы ограничиваем обсуждение непрерывными конечными элементами Эрмита, которые имеют степени свободы не менее первой производной. С его помощью можно извлечь большое количество потенциальных треугольных и прямоугольных элементов из литературы по гибке пластин . У этих элементов есть производные как компоненты градиента. В 2D градиент и ротор скаляра явно ортогональны, что определяется выражениями

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathrm {T} },\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$

Использование непрерывных элементов изгиба пластин, замена производных степеней свободы и изменение знака соответствующей дает множество семейств элементов функции тока.

Взятие ротора скалярных элементов функции тока дает бездивергентные элементы скорости. ^{[16] [17]} Требование, чтобы элементы функции тока были непрерывными, гарантирует, что нормальная составляющая скорости является непрерывной на границах раздела элементов, все, что необходимо для устранения расхождения на этих границах раздела.

Граничные условия применить просто. Функция тока постоянна на непроточных поверхностях с условиями скорости прилипания на поверхностях. Различия потоковых функций в открытых каналах определяют поток. На открытых границах не требуется никаких граничных условий, хотя для некоторых задач могут использоваться согласованные значения. Все это условия Дирихле.

Решаемые алгебраические уравнения просты в установке, но, разумеется, они нелинейны , что требует повторения линеаризованных уравнений.

Аналогичные соображения применимы к трехмерным измерениям, но расширение из 2D не происходит сразу из-за векторной природы потенциала, и не существует простой связи между градиентом и изгибом, как это было в случае с 2D.

Восстановление давления [ править ]

Восстановить давление из поля скоростей легко. Дискретное слабое уравнение для градиента давления:

${\displaystyle (\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)}$

где функции тест / вес являются безвихревыми. Можно использовать любой соответствующий скалярный конечный элемент. Однако поле градиента давления также может представлять интерес. В этом случае для давления можно использовать скалярные элементы Эрмита. Для тестовых / весовых функций g _{i следует} выбрать элементы вектора безвихрения, полученные из градиента элемента давления.

Неинерциальная система отсчета [ править ]

Вращающаяся система отсчета вводит некоторые интересные псевдосилы в уравнения через член материальной производной . Рассмотрим стационарную инерциальную систему отсчета K и неинерциальную систему отсчета K ′ , которая перемещается со скоростью U ( t ) и вращается с угловой скоростью Ω ( t ) относительно неподвижной системы отсчета. Уравнение Навье – Стокса, наблюдаемое в неинерциальной системе отсчета, при этом принимает вид

Здесь x и u измеряются в неинерциальной системе отсчета. Первый член в скобках представляет ускорение Кориолиса , второй член связан с центробежным ускорением , третий член связан с линейным ускорением K ' относительно K, а четвертый член связан с угловым ускорением K' относительно K .

Другие уравнения [ править ]

Уравнения Навье – Стокса представляют собой строгое утверждение баланса количества движения. Чтобы полностью описать поток жидкости, требуется дополнительная информация, в зависимости от сделанных предположений. Эта дополнительная информация может включать в себя граничные данные ( отсутствие проскальзывания , поверхность капилляра и т.д.), сохранение массы, баланс энергии и / или уравнение состояния .

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости [ править ]

Независимо от предположений о потоке, обычно необходимо заявление о сохранении массы . Это достигается с помощью уравнения неразрывности массы , представленного в наиболее общем виде как:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

или, используя производную по существу :

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )=0.}$

Для несжимаемой жидкости плотность вдоль линии потока остается постоянной во времени,

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=0.}$

следовательно, дивергенция скорости все время равна нулю:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Функция потока для несжимаемой 2D жидкости [ править ]

Использование ротора несжимаемого уравнения Навье – Стокса приводит к устранению давления. Это особенно легко увидеть, если предполагается двумерный декартов поток (как в вырожденном трехмерном случае с u _z = 0 и никакой зависимости чего-либо от z ), где уравнения сводятся к:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}$

Дифференцируя первое по y , второе по x и вычитая полученные уравнения, вы исключите давление и любую консервативную силу . Для несжимаемого потока определение функции тока ψ через

${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

приводит к безусловному удовлетворению непрерывности массы (при условии, что функция тока непрерывна), а затем несжимаемый ньютоновский 2D импульс и сохранение массы сжимаются в одно уравнение:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$

где ∇ ⁴ является 2D бигармонической оператора и ν представляет собой кинематическая вязкость , ν =μ/ρ. Мы также можем выразить это компактно, используя определитель Якоби :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .}$

Это единственное уравнение вместе с соответствующими граничными условиями описывает двухмерный поток жидкости, принимая в качестве параметра только кинематическую вязкость. Обратите внимание, что уравнение для ползучего потока получается, когда левая сторона считается нулевой.

В осесимметричном потоке другая формулировка функции тока, называемая функцией тока Стокса , может использоваться для описания составляющих скорости несжимаемого потока с помощью одной скалярной функции.

Несжимаемое уравнение Навье – Стокса - это дифференциально-алгебраическое уравнение , имеющее неудобную особенность, заключающуюся в отсутствии явного механизма для увеличения давления во времени. Следовательно, было затрачено много усилий, чтобы полностью или частично устранить нагрузку на вычислительный процесс. Формулировка функции тока исключает давление, но только в двух измерениях и за счет введения более высоких производных и исключения скорости, которая является основной интересующей переменной.

Свойства [ править ]

Нелинейность [ править ]

Уравнения Навье – Стокса в общем случае являются нелинейными уравнениями в частных производных и поэтому остаются почти в каждой реальной ситуации. ^{[18] [19]} В некоторых случаях, таких как одномерный поток и поток Стокса (или ползущий поток), уравнения могут быть упрощены до линейных уравнений. Нелинейность затрудняет или делает невозможным решение большинства проблем и является основным фактором турбулентности , моделируемой уравнениями.

Нелинейность возникает из-за конвективного ускорения, которое представляет собой ускорение, связанное с изменением скорости относительно положения. Следовательно, любой конвективный поток, турбулентный или нет, будет иметь нелинейность. Примером конвективного, но ламинарного (нетурбулентного) потока может быть прохождение вязкой жидкости (например, нефти) через небольшое сужающееся сопло . Такие потоки, независимо от того, разрешимы они или нет, часто можно досконально изучить и понять. ^[20]

Турбулентность [ править ]

Турбулентность - это зависящее от времени хаотическое поведение, наблюдаемое во многих потоках жидкости. Обычно считается, что это связано с инерцией жидкости в целом: кульминацией зависящего от времени и конвективного ускорения; следовательно, потоки, в которых инерционные эффекты малы, имеют тенденцию быть ламинарными (число Рейнольдса количественно определяет, насколько поток зависит от инерции). Считается, хотя и не известно с уверенностью, что уравнения Навье – Стокса правильно описывают турбулентность. ^[21]

Численное решение уравнений Навье – Стокса для турбулентного потока чрезвычайно сложно, и из-за существенно различающихся масштабов длины смешения, которые используются в турбулентном потоке, устойчивое решение этого требует такого мелкого разрешения сетки, что время вычислений становится значительным. невозможно для расчета или прямого численного моделирования . Попытки решить турбулентный поток с использованием ламинарного решателя обычно приводят к нестационарному по времени решению, которое не может сходиться надлежащим образом. Чтобы противостоять этому, в практической вычислительной гидродинамике используются усредненные по времени уравнения, такие как усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (RANS), дополненные моделями турбулентности.(CFD) приложения при моделировании турбулентных потоков. Некоторые модели включают модели Спаларта – Аллмараса , k - ω , k - ε и SST , которые добавляют множество дополнительных уравнений для замыкания уравнений RANS. Моделирование больших вихрей (LES) также может использоваться для численного решения этих уравнений. Этот подход является более дорогостоящим в вычислительном отношении - по времени и памяти компьютера - чем RANS, но дает лучшие результаты, поскольку он явно разрешает большие турбулентные масштабы.

Применимость [ править ]

Вместе с дополнительными уравнениями (например, сохранения массы) и хорошо сформулированными граничными условиями уравнения Навье – Стокса, кажется, точно моделируют движение жидкости; даже турбулентные потоки кажутся (в среднем) согласующимися с наблюдениями в реальном мире.

Уравнения Навье – Стокса предполагают, что исследуемая жидкость является континуумом (она бесконечно делима и не состоит из таких частиц, как атомы или молекулы) и не движется с релятивистскими скоростями . В очень малых масштабах или в экстремальных условиях реальные жидкости, состоящие из дискретных молекул, будут давать результаты, отличные от результатов сплошных жидкостей, моделируемых уравнениями Навье – Стокса. Например, капиллярность внутренних слоев жидкостей проявляется при течении с большими градиентами. ^[22] При большом числе Кнудсена в задаче уравнение Больцмана может быть подходящей заменой. ^{[23] В} противном случае, возможно, придется прибегнуть кмолекулярная динамика или различные гибридные методы. ^[24]

Еще одно ограничение - это просто сложный характер уравнений. Существуют проверенные временем формулировки для обычных семейств жидкостей, но применение уравнений Навье – Стокса к менее распространенным семействам имеет тенденцию приводить к очень сложным формулировкам и часто открывать исследовательские проблемы. По этой причине эти уравнения обычно пишутся для ньютоновских жидкостей, где модель вязкости является линейной ; По-настоящему общих моделей течения других жидкостей (например, крови) не существует. ^[25]

Применение к конкретным проблемам [ править ]

Уравнения Навье – Стокса, даже если они написаны явно для конкретных жидкостей, носят довольно общий характер, и их правильное применение к конкретным задачам может быть очень разнообразным. Частично это связано с тем, что существует огромное множество проблем, которые можно смоделировать, от самых простых, таких как распределение статического давления, до таких сложных, как многофазный поток, вызываемый поверхностным натяжением .

Как правило, применение к конкретным проблемам начинается с некоторых предположений о потоке и формулировки начальных / граничных условий, за этим может следовать масштабный анализ для дальнейшего упрощения проблемы.

Параллельный поток [ править ]

Предположим установившийся, параллельный, одномерный, неконвективный поток под давлением между параллельными пластинами, результирующая масштабная (безразмерная) краевая задача будет следующей:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.}$

Граничным условием является условие прилипания . Эта проблема легко решается для поля течения:

${\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.}$

С этого момента можно легко получить больше интересующих величин, таких как сила вязкого сопротивления или чистый расход.

Радиальный поток [ править ]

Сложности могут возникнуть, когда проблема станет немного сложнее. На первый взгляд скромным поворотом в параллельном потоке выше был бы радиальный поток между параллельными пластинами; это связано с конвекцией и, следовательно, с нелинейностью. Поле скорости может быть представлено функцией f ( z ), которая должна удовлетворять:

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.}$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение получается, когда записываются уравнения Навье – Стокса и применяются предположения о потоке (дополнительно вычисляется градиент давления). Нелинейное слагаемое делает это очень трудная задачу решить аналитический (длительное неявное решение может быть найдено , который включает в себя эллиптические интегралы и корни кубических многочленов ). Проблемы с фактическим существованием решений возникают при R > 1,41 (приблизительно; это не √ 2 ), где параметр R представляет собой число Рейнольдса с соответствующим образом выбранным масштабом. ^[26]Это пример предположений о потоках, теряющих свою применимость, и пример сложности потоков с «высокими» числами Рейнольдса. ^[26]

Конвекция [ править ]

Тип естественной конвекции, которую можно описать уравнением Навье – Стокса, - это конвекция Рэлея – Бенара . Это одно из наиболее часто изучаемых явлений конвекции из-за его аналитической и экспериментальной доступности.

Точные решения уравнений Навье – Стокса [ править ]

Существуют некоторые точные решения уравнений Навье – Стокса. Примеры вырожденных случаев-с нелинейными членами в уравнениях Навье-Стокса равны нулю-в течение Пуазейля , Куэтта и колебательное стоксово пограничный слой . А кроме того , более интересных примеров, решение полных нелинейных уравнений, существует, например, поток Джефри-Гамель , Кармана закрученного потока , поток точки торможения , Ландау-Squire струи , и Тейлор Зеленый вихря . ^{[27] [28] [29]}Обратите внимание, что существование этих точных решений не означает, что они стабильны: турбулентность может развиваться при более высоких числах Рейнольдса.

При дополнительных предположениях составные части можно разделить. ^[30]

Трехмерное стационарное вихревое решение [ править ]

Стационарный пример без особенностей получается при рассмотрении потока вдоль линий расслоения Хопфа . Пусть r будет постоянным радиусом внутренней катушки. Один набор решений дается: ^[32]

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}}$

для произвольных констант A и B . Это решение в невязком газе (сжимаемой жидкости), плотность, скорость и давление которого стремятся к нулю вдали от начала координат. (Обратите внимание, что это не решение проблемы Clay Millennium, потому что это относится к несжимаемым жидкостям, где ρ является константой, и не имеет отношения к уникальности уравнений Навье – Стокса в отношении каких-либо свойств турбулентности .) Это также стоит того. указывая на то, что компоненты вектора скорости в точности совпадают с компонентами четверной параметризации Пифагора . Для того же поля скорости возможны другие варианты плотности и давления:

Диаграммы Вильда [ править ]

Диаграммы Вильда - это бухгалтерские графики, которые соответствуют уравнениям Навье – Стокса через разложение по теории возмущений фундаментальной механики сплошной среды . Подобно диаграммам Фейнмана в квантовой теории поля , эти диаграммы являются расширением техники Келдыша для неравновесных процессов в гидродинамике. Другими словами, эти диаграммы присваивают графики (часто) турбулентным явлениям в турбулентных жидкостях, позволяя коррелированным и взаимодействующим частицам жидкости подчиняться стохастическим процессам, связанным с псевдослучайными функциями.в вероятностных распределениях . ^[33]

Представления в 3D [ править ]