В гидродинамике проблема Стокса, также известная как вторая проблема Стокса или иногда называемая пограничным слоем Стокса или Осциллирующим пограничным слоем, представляет собой проблему определения потока, создаваемого колеблющейся твердой поверхностью, названной в честь сэра Джорджа Стокса . Это считается одной из простейших нестационарных задач, которые имеют точное решение для уравнений Навье-Стокса . [1] [2] В турбулентном потоке это все еще называют пограничным слоем Стокса, но теперь приходится полагаться на эксперименты , численное моделирование или приближенные методы. чтобы получить полезную информацию о потоке.
Описание потока [3] [4]
Рассмотрим бесконечно длинную пластину, которая колеблется со скоростью в направление, которое находится в в бесконечной области жидкости, где - частота колебаний. Несжимаемые уравнения Навье-Стокса сводятся к
где это кинематическая вязкость . Градиент давления не входит в проблему. Первоначальное условие прилипания к стене:
а второе граничное условие связано с тем, что движение при не ощущается в бесконечности. Течение происходит только за счет движения пластины, градиент давления отсутствует.
Решение [5] [6]
Начальное условие не требуется из-за периодичности. Поскольку и уравнение, и граничные условия линейны, скорость может быть записана как действительная часть некоторой комплексной функции
так как .
Подстановка этого в уравнение в частных производных сводит его к обыкновенному дифференциальному уравнению
с граничными условиями
Решение вышеуказанной проблемы:
Возмущение, создаваемое колеблющейся пластиной, распространяется как поперечная волна через жидкость, но сильно затухает за счет экспоненциального множителя. Глубина проникновения этой волны уменьшается с частотой колебаний, но увеличивается с кинематической вязкостью жидкости.
Сила на единицу площади, действующая на пластину со стороны жидкости, равна
Между колебанием пластины и создаваемой силой существует фазовый сдвиг.
Колебания завихренности вблизи границы
Важное наблюдение из решения Стокса для осциллирующего потока Стокса состоит в том, что колебания завихренности ограничиваются тонким пограничным слоем и экспоненциально затухают при удалении от стенки. [7] Это наблюдение справедливо и для случая турбулентного пограничного слоя. Вне пограничного слоя Стокса, который часто составляет основную часть объема жидкости, колебаниями завихренности можно пренебречь. В хорошем приближении колебания скорости потока являются безвихревыми вне пограничного слоя, и теория потенциального потока может быть применена к колебательной части движения. Это значительно упрощает решение этих проблем потока и часто применяется в областях безвихревого потока звуковых волн и волн на воде .
Жидкость ограничена верхней стенкой
Если область жидкости ограничена верхней неподвижной стенкой, расположенной на высоте , скорость потока определяется выражением
где .
Течение из-за колеблющегося градиента давления около плоской жесткой пластины
Случай для колеблющегося потока в дальней зоне с неподвижной пластиной может быть легко построен на основе предыдущего решения для колеблющейся пластины с использованием линейной суперпозиции решений. Рассмотрим равномерное колебание скорости далеко от пластины и исчезающая скорость на пластине . В отличие от неподвижной жидкости в исходной задаче, здесь градиент давления на бесконечности должен быть гармонической функцией времени. Решение тогда дается
которая равна нулю на стенке z = 0 , что соответствует условию прилипания для покоящейся стенки. Эта ситуация часто встречается в звуковых волнах у твердой стенки или при движении жидкости у морского дна в водных волнах . Завихренность колеблющегося потока у неподвижной стенки равна завихренности колеблющейся пластины, но противоположного знака.
Задача Стокса в цилиндрической геометрии
Крутильные колебания
Рассмотрим бесконечно длинный цилиндр радиуса проявляющие крутильные колебания с угловой скоростью где это частота. Затем скорость после начальной переходной фазы приближается к [8]
где - модифицированная функция Бесселя второго рода. Это решение может быть выражено действительным аргументом [9] как:
где
а также являются функциями Кельвина ик безразмерному колебательному числу Рейнольдса, определяемому как , существование кинематическая вязкость.
Осевые колебания
Если цилиндр колеблется в осевом направлении со скоростью , то поле скорости равно
где - модифицированная функция Бесселя второго рода.
Течение Стокса-Куэтта [10]
В потоке Куэтта вместо поступательного движения одной из пластин будет совершаться колебание одной плоскости. Если у нас есть нижняя стенка в состоянии покоя на и верхняя стенка на совершает колебательное движение со скоростью , то поле скорости определяется выражением
Сила трения на единицу площади на движущейся плоскости равна а на неподвижной плоскости - .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Wang, CY (1991). «Точные решения стационарных уравнений Навье-Стокса». Ежегодный обзор гидромеханики . 23 : 159–177. Bibcode : 1991AnRFM..23..159W . DOI : 10.1146 / annurev.fl.23.010191.001111 .
- ↑ Ландау и Лифшиц (1987), стр. 83–85.
- ^ Бэтчелор, Джордж Кейт. Введение в гидродинамику. Издательство Кембриджского университета, 2000.
- ^ Лагерстрем, Пако Аксель. Теория ламинарного течения. Издательство Принстонского университета, 1996.
- ^ Ачесон, Дэвид Дж. Элементарная гидродинамика. Издательство Оксфордского университета, 1990.
- ↑ Ландау, Лев Давидович и Евгений Михайлович Лифшиц. «Гидравлическая механика». (1987).
- ^ Филлипс (1977), стр. 46.
- ^ Дразин, Филип Г. и Норман Райли . Уравнения Навье – Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Издательство Кембриджского университета, 2006.
- ^ Риверо, М .; Garzón, F .; Núñez, J .; Фигероа, А. "Исследование потока, вызванного круговым цилиндром, совершающим крутильные колебания". Европейский журнал механики - B / Жидкости . 78 : 245–251. DOI : 10.1016 / j.euromechflu.2019.08.002 .
- Перейти ↑ Landau, LD, & Sykes, JB (1987). Гидромеханика: Том 6. С. 88.