Метод отклонения откоса

Метод наклона отклонения представляет собой структурный анализ методом для балок и рам , введенных в 1914 году Джордж А. Maney. ^[1] Метод отклонения наклона широко использовался более десяти лет, пока не был разработан метод распределения момента.был развит. В книге «Теория и практика современных каркасных структур», написанной Дж. Б. Джонсоном, К. У. Брайаном и Ф. Е. Турнеором, говорится, что этот метод был впервые разработан «профессором Отто Мором в Германии, а затем независимо разработан профессором Г.А. Мани ». Согласно этой книге, профессор Отто Мор впервые представил этот метод в своей книге «Оценка ферм с жесткими узловыми соединениями» или «Die Berechnung der Fachwerke mit Starren Knotenverbindungen».

Введение [ править ]

Путем составления уравнений отклонения уклона и применения условий равновесия соединения и сдвига вычисляются углы поворота (или углы уклона). Подставляя их обратно в уравнения отклонения откоса, можно легко определить конечные моменты стержня. Деформация элемента происходит из-за изгибающего момента.

Уравнения отклонения откоса [ править ]

Уравнения отклонения откоса также можно записать с использованием коэффициента жесткости и поворота хорды :${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {I_ {ab}} {L_ {ab}}}}$${\ displaystyle \ psi = {\ frac {\ Delta} {L_ {ab}}}}$

Вывод уравнений прогиба откоса [ править ]

Когда простая балка, имеющая длину и жесткость при изгибе, нагружается на каждом конце с моментами по часовой стрелке и , торцевые вращения элементов происходят в одном направлении. Эти углы поворота можно рассчитать с помощью метода единичной силы или закона Дарси.${\ displaystyle L_ {ab}}$${\ displaystyle E_ {ab} I_ {ab}}$${\ displaystyle M_ {ab}}$${\ displaystyle M_ {ba}}$

${\ displaystyle \ theta _ {a} - {\ frac {\ Delta} {L_ {ab}}} = {\ frac {L_ {ab}} {3E_ {ab} I_ {ab}}} M_ {ab} - {\ frac {L_ {ab}} {6E_ {ab} I_ {ab}}} M_ {ba}}$

${\displaystyle \theta _{b}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}=-{\frac {L_{ab}}{6E_{ab}I_{ab}}}M_{ab}+{\frac {L_{ab}}{3E_{ab}I_{ab}}}M_{ba}}$

Переставляя эти уравнения, выводятся уравнения отклонения откоса.

Условия равновесия [ править ]

Совместное равновесие [ править ]

Условия совместного равновесия подразумевают, что каждое сочленение со степенью свободы не должно иметь неуравновешенных моментов, т.е. находиться в равновесии. Следовательно,

${\displaystyle \Sigma \left(M^{f}+M_{member}\right)=\Sigma M_{joint}}$

Здесь - концевые моменты стержня, - фиксированные концевые моменты и - внешние моменты, непосредственно приложенные к соединению.${\displaystyle M_{member}}$${\displaystyle M^{f}}$${\displaystyle M_{joint}}$

Равновесие сдвига [ править ]

Когда в раме есть повороты хорды, необходимо учитывать дополнительные условия равновесия, а именно условия равновесия сдвига.

Пример [ править ]

Пример

Статически неопределимая балка, показанная на рисунке, подлежит анализу.

• Элементы AB, BC, CD имеют одинаковую длину .${\displaystyle L=10\ m}$
• Жесткости при изгибе равны EI, 2EI, EI соответственно.
• Сосредоточенная нагрузка величины действует на расстоянии от опоры А.${\displaystyle P=10\ kN}$${\displaystyle a=3\ m}$
• На БК действует равномерная нагрузка интенсивности .${\displaystyle q=1\ kN/m}$
• Компонент CD загружен в середине своего пролета сосредоточенной массой нагрузки .${\displaystyle P=10\ kN}$

В следующих расчетах моменты и вращения по часовой стрелке положительны.

Степени свободы [ править ]

Углов поворота , , , стыков А, В, С, соответственно принимаются в качестве неизвестных. Повороты хорды отсутствуют по другим причинам, включая оседание опоры.${\displaystyle \theta _{A}}$${\displaystyle \theta _{B}}$${\displaystyle \theta _{C}}$

Фиксированные конечные моменты [ править ]

Фиксированные конечные моменты:

${\displaystyle M_{AB}^{f}=-{\frac {Pab^{2}}{L^{2}}}=-{\frac {10\times 3\times 7^{2}}{10^{2}}}=-14.7\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{BA}^{f}={\frac {Pa^{2}b}{L^{2}}}={\frac {10\times 3^{2}\times 7}{10^{2}}}=6.3\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{BC}^{f}=-{\frac {qL^{2}}{12}}=-{\frac {1\times 10^{2}}{12}}=-8.333\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{CB}^{f}={\frac {qL^{2}}{12}}={\frac {1\times 10^{2}}{12}}=8.333\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{CD}^{f}=-{\frac {PL}{8}}=-{\frac {10\times 10}{8}}=-12.5\mathrm {\,kN\,m} }$

${\displaystyle M_{DC}^{f}={\frac {PL}{8}}={\frac {10\times 10}{8}}=12.5\mathrm {\,kN\,m} }$

Уравнения отклонения откоса [ править ]

Уравнения прогиба склона строятся следующим образом:

${\displaystyle M_{AB}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{A}+2\theta _{B}\right)={\frac {4EI\theta _{A}+2EI\theta _{B}}{L}}}$

${\displaystyle M_{BA}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{A}+4\theta _{B}\right)={\frac {2EI\theta _{A}+4EI\theta _{B}}{L}}}$

${\displaystyle M_{BC}={\frac {2EI}{L}}\left(4\theta _{B}+2\theta _{C}\right)={\frac {8EI\theta _{B}+4EI\theta _{C}}{L}}}$

${\displaystyle M_{CB}={\frac {2EI}{L}}\left(2\theta _{B}+4\theta _{C}\right)={\frac {4EI\theta _{B}+8EI\theta _{C}}{L}}}$

${\displaystyle M_{CD}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{C}\right)={\frac {4EI\theta _{C}}{L}}}$

${\displaystyle M_{DC}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{C}\right)={\frac {2EI\theta _{C}}{L}}}$

Совместные уравнения равновесия [ править ]

Соединения A, B, C должны удовлетворять условию равновесия. Следовательно

${\displaystyle \Sigma M_{A}=M_{AB}+M_{AB}^{f}=0.4EI\theta _{A}+0.2EI\theta _{B}-14.7=0}$

${\displaystyle \Sigma M_{B}=M_{BA}+M_{BA}^{f}+M_{BC}+M_{BC}^{f}=0.2EI\theta _{A}+1.2EI\theta _{B}+0.4EI\theta _{C}-2.033=0}$

${\displaystyle \Sigma M_{C}=M_{CB}+M_{CB}^{f}+M_{CD}+M_{CD}^{f}=0.4EI\theta _{B}+1.2EI\theta _{C}-4.167=0}$

Углы поворота [ править ]

Углы поворота вычисляются из одновременных уравнений выше.

${\displaystyle \theta _{A}={\frac {40.219}{EI}}}$

${\displaystyle \theta _{B}={\frac {-6.937}{EI}}}$

${\displaystyle \theta _{C}={\frac {5.785}{EI}}}$

Конечные моменты участников [ править ]

Подстановка этих значений обратно в уравнения отклонения откоса дает конечные моменты стержня (в кНм):

${\displaystyle M_{AB}=0.4\times 40.219+0.2\times \left(-6.937\right)-14.7=0}$

${\displaystyle M_{BA}=0.2\times 40.219+0.4\times \left(-6.937\right)+6.3=11.57}$

${\displaystyle M_{BC}=0.8\times \left(-6.937\right)+0.4\times 5.785-8.333=-11.57}$

${\displaystyle M_{CB}=0.4\times \left(-6.937\right)+0.8\times 5.785+8.333=10.19}$

${\displaystyle M_{CD}=0.4\times -5.785-12.5=-10.19}$

${\displaystyle M_{DC}=0.2\times -5.785+12.5=13.66}$

См. Также [ править ]

• Теория пучка

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Норрис, Чарльз Хед; Джон Бенсон Уилбур; Сенол Утку (1976). Элементарный структурный анализ (3-е изд.). Макгроу-Хилл. С.  313–326 . ISBN 0-07-047256-4.
• Маккормак, Джек К.; Нельсон, Джеймс К. младший (1997). Структурный анализ: классический и матричный подход (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. С.  430–451 . ISBN 0-673-99753-7.
• Ян, Чан Хён (10.01.2001). Структурный анализ (на корейском языке) (4-е изд.). Сеул: Издательство Cheong Moon Gak. С. 357–389. ISBN 89-7088-709-1. Архивировано из оригинала на 2007-10-08.