Число Смита

В теории чисел , число Смит является составным числом , для которого, в той или иной системе счисления , то сумма его цифр равна сумме цифр в его простые множители в данной системе счисления . В случае чисел, которые не являются бесквадратными , факторизация записывается без показателей, записывая повторяющийся множитель столько раз, сколько необходимо.

Номера Смита назвал Альберт Вилански из Университета Лихай , когда он заметил свойство в номере телефона (493-7775) своего шурина Гарольда Смита:

4937775 = 3 ¹ 5 ² 65837 ¹

пока

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 · 1 + 5 · 2 + (6 + 5 + 8 + 3 + 7) · 1 = 42

в базе 10 . ^[1]

Математическое определение [ править ]

Позвольте быть натуральным числом. Для базы , пусть функция будет цифрой суммы n в базе . Натуральное число имеет целочисленную факторизацию${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$${\ Displaystyle F_ {b} (п)}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle n = \ prod _ {\ stackrel {p \ mid n} {p {\ text {prime}}}} p ^ {v_ {p} (n)}}$

и является числом Смита, если

${\ displaystyle F_ {b} (n) = \ sum _ {\ stackrel {p \ mid n} {p {\ text {prime}}}} v_ {p} (n) F_ {b} (p)}$

где есть р-адическое нормирование из .${\ displaystyle v_ {p} (n)}$${\ displaystyle n}$

Например, в базе 10 378 = 2 ¹ 3 ³ 7 ¹ является числом Смита, поскольку 3 + 7 + 8 = 2 · 1 + 3 · 3 + 7 · 1, а 22 = 2 ¹ 11 ¹ - это число Смита, потому что 2 + 2 = 2 · 1 + (1 + 1) · 1

Первые несколько чисел Смита в базе 10 :

4 , 22 , 27 , 58 , 85 , 94 , 121 , 166 , 202 , 265 , 274 , 319 , 346 , 355 , 378 , 382 , 391 , 438 , 454 , 483 , 517 , 526 , 535 , 562 , 576 , 588 , 627 , 634, 636 , 645 , 648 , 654 , 663 , 666 , 690 , 706 , 728 , 729 , 762 , 778 , 825 , 852 , 861 , 895 , 913 , 915 , 922 , 958 , 985 , 1086… (последовательность A006753 в OEIS )

Свойства [ править ]

WL McDaniel в 1987 году доказал, что чисел Смита бесконечно много. ^{[1] [2]} Количество чисел Смита в базе 10 ниже 10 ⁿ для n = 1,2, ... равно:

1, 6, 49, 376, 3294, 29928, 278411, 2632758, 25154060, 241882509,… (последовательность A104170 в OEIS )

Два последовательных числа Смита (например, 728 и 729 или 2964 и 2965) называются братьями Смит . ^[3] Неизвестно, сколько сейчас братьев Смитов. Начальные элементы наименьшего n -набора Смита (то есть n последовательных чисел Смита) по основанию 10 для n = 1, 2, ... следующие: ^[4]

4, 728, 73615, 4463535, 15966114, 2050918644, 164736913905,… (последовательность A059754 в OEIS )

Числа Смита могут быть построены из разложенных на множители . Наибольшее известное число Смита в базе 10 по состоянию на 2010 год ^[update]:

9 × R ₁₀₃₁ × (10 ⁴⁵⁹⁴ + 3 × 10 ²²⁹⁷ + 1) ¹⁴⁷⁶ × 10 ^{3 913 210}

где R ₁₀₃₁ - повторная единица, равная (10 ¹⁰³¹ -1) / 9.

См. Также [ править ]

• Равноцифровое число

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гарднер, Мартин (1988). Плитки Пенроуза для тайных шифров . С. 299–300.
• Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Kluwer Academic. стр.  32 -36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001 .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Число Смита» . MathWorld .
• Шьям Сандер Гупта, « Увлекательные числа Смита» .
• Copeland, Ed . «4937775 - Числа Смита» . Numberphile . Брэди Харан .