Уравнение скорости влажности почвы

Уравнение скорости влажности почвы ^[1] описывает скорость, с которой вода движется вертикально через почву под действием силы тяжести и капиллярности, процесса, известного как инфильтрация . Уравнение является другой формой уравнения Ричардсона / Ричардса . ^{[2] [3]} Ключевым отличием является то, что зависимой переменной является положение фронта смачивания , которое является функцией времени, содержания воды и свойств среды. Уравнение скорости влажности почвы состоит из двух членов. Первый термин, подобный адвекции, был разработан для моделирования поверхностной инфильтрации ^[4] и был распространен на уровень грунтовых вод ^[5].${\ displaystyle z}$что было проверено с использованием данных, собранных в экспериментальной колонке, построенной по образцу знаменитого эксперимента Чайлдса и Пуловассилиса (1962) ^[6], и против точных решений. ^{[7] [1]}

Уравнение скорости влажности почвы [ править ]

Уравнение скорости влажности почвы ^[1] или SMVE является альтернативной интерпретацией уравнения Ричардса, в котором зависимой переменной является положение z фронта увлажнения с определенным содержанием влаги во времени.${\ displaystyle \ theta}$

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

куда:

${\displaystyle z}$ - вертикальная координата [L] (положительная вниз),

${\displaystyle \theta }$это содержание воды в почве в точке [-]

${\displaystyle K(\theta )}$ненасыщенная гидравлическая проводимость [LT ⁻¹ ],

${\displaystyle \psi (\theta )}$- напор капиллярного давления [L] (отрицательный для ненасыщенного грунта),

${\displaystyle D(\theta )}$- коэффициент диффузии воды в почве, который определяется как:, [L ² T]${\displaystyle K(\theta )\partial \psi /\partial \theta }$

${\displaystyle t}$это время [Т].

Первый член в правой части SMVE называется термином, подобным адвекции, а второй член - термином, подобным диффузии. Подобный адвекции член уравнения скорости почвенной влаги особенно полезен для расчета продвижения фронтов смачивания жидкости, проникающей в ненасыщенную пористую среду при комбинированном действии силы тяжести и капиллярности, поскольку оно может быть преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение, пренебрегая диффузией. -подобный термин. ^[5], и это позволяет избежать проблемы репрезентативного элементарного объема за счет использования тонкой дискретизации содержания воды и метода решения.

Это уравнение было преобразовано в набор из трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) ^[5] с использованием метода прямых ^[8] для преобразования частных производных в правой части уравнения в соответствующие конечно-разностные формы. Эти три ODE представляют динамику инфильтрации воды, падающих пробок и капиллярных грунтовых вод соответственно.

Вывод [ править ]

Этот вывод одномерного уравнения скорости влажности почвы ^[1] для расчета вертикального потока воды в вадозной зоне начинается с сохранения массы для ненасыщенной пористой среды без источников или стоков:${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+{\frac {\partial q}{\partial z}}=0.}$

Далее вставим ненасыщенный поток Бэкингема – Дарси: ^[9]

${\displaystyle q=-K(\theta ){\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}+K(\theta ),}$

что дает уравнение Ричардса ^[2] в смешанной форме, поскольку оно включает как содержание воды, так и напор капилляра :${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K(\theta )\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right)\right]}$.

Применяя цепное правило дифференцирования к правой части уравнения Ричардса:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t)){\frac {\partial }{\partial z}}\psi (\theta (z,t))+K(\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\psi (\theta (z,t))-{\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t))}$.

Предполагая, что определяющие соотношения для ненасыщенной гидравлической проводимости и капиллярности почвы являются исключительно функциями содержания воды и , соответственно:${\displaystyle K=K(\theta )}$${\displaystyle \psi =\psi (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=K'(\theta )\psi '(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+K(\theta )\left[\psi ''(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial z^{2}}}\right]-K'(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}}$.

Это уравнение неявно определяет функцию, которая описывает положение определенного содержания влаги в почве с использованием конечной дискретизации содержания влаги. Использование теоремы о неявной функции , которая по циклическому правилу требовала деления обеих частей этого уравнения на, чтобы выполнить изменение переменной, в результате чего:${\displaystyle Z_{R}(\theta ,t)}$${\displaystyle {-\partial \theta }/{\partial z}}$

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}+K'(\theta )}$,

который можно записать как:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-K(\theta )\left[\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}\right]}$.

Вставка определения коэффициента диффузии воды в почве:

${\displaystyle D(\theta )\equiv K(\theta ){\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$

в предыдущее уравнение дает:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Если мы рассмотрим скорость конкретного содержания воды , то мы можем записать уравнение в форме уравнения скорости влажности почвы :${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Физическое значение [ править ]

Записанное в форме содержания влаги, одномерное уравнение Ричардса имеет вид ^[10]

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(D(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial K(\theta )}{\partial z}}}$

Где D ( θ ) [L ² / T] - «коэффициент диффузии воды в почве», как определено ранее.

Обратите внимание, что при использовании в качестве зависимой переменной физическая интерпретация затруднена, потому что все факторы, влияющие на дивергенцию потока, заключены в члене коэффициента диффузии почвенной влаги . Однако в SMVE три фактора, управляющие потоком, представлены в отдельных терминах, имеющих физическое значение.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle D(\theta )}$

Основные допущения, использованные при выводе уравнения скорости влажности почвы, таковы и не являются чрезмерно ограничивающими. Аналитические и экспериментальные результаты показывают, что эти предположения приемлемы в большинстве условий естественных почв. В этом случае уравнение скорости влажности почвы эквивалентно одномерному уравнению Ричардса, хотя и с изменением зависимой переменной. Такая замена зависимой переменной удобна тем, что снижает сложность задачи, поскольку по сравнению с уравнением Ричардса${\displaystyle K=K(\theta )}$${\displaystyle \psi =\psi (\theta )}$, что требует расчета дивергенции потока, SMVE представляет собой расчет потока, а не расчет дивергенции. Первый член в правой части SMVE представляет два скалярных фактора потока, гравитацию и интегрированную капиллярность фронта смачивания. Рассматривая именно этот термин, SMVE становится:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]}$

где - градиент напора капилляра, который управляет потоком, а оставшийся член проводимости представляет собой способность силы тяжести проводить поток через почву. Этот термин отвечает за истинную адвекцию воды через почву под действием силы тяжести и капиллярности. По сути, это называется «адвекционным» термином.${\displaystyle {\partial \psi (\theta )}/{\partial z}}$${\displaystyle K'(\theta )}$

Пренебрегая гравитацией и скалярной капиллярностью фронта смачивания, мы можем рассматривать только второй член в правой части SMVE. В этом случае уравнение скорости влажности почвы принимает следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}}$

Этот термин поразительно похож на второй закон диффузии Фика . По этой причине этот термин называется «диффузионным» термином SMVE.

Этот термин представляет собой поток, обусловленный формой фронта смачивания , деленный на пространственный градиент головки капилляра . Глядя на этот термин, похожий на диффузию, резонно спросить, когда этим термином можно пренебречь? Первый ответ заключается в том, что этот член будет равен нулю при первой производной , потому что вторая производная будет равна нулю. Одним из примеров, когда это происходит, является случай равновесного гидростатического профиля влажности, когда z определяется как положительное направление вверх. Это физически реалистичный результат, поскольку известно, что равновесный гидростатический профиль влажности не создает флюсов.${\displaystyle -D(\theta ){\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}}$${\displaystyle {\partial \psi /\partial z}}$${\displaystyle <\partial \psi /\partial z=C}$${\displaystyle \partial \psi /\partial z=-1}$

Другой случай, когда член, подобный диффузии, будет почти равен нулю, - это в случае резких фронтов смачивания, когда знаменатель члена , подобного диффузии , приводит к исчезновению члена. Примечательно, что острые фронты смачивания, как известно, трудно разрешить и точно решить с помощью традиционных средств решения численных уравнений Ричардса. ^[11]${\displaystyle \partial \psi /\partial z\to \infty }$

Наконец, в случае сухих почв, имеет тенденцию к , в результате чего коэффициент диффузии воды в почве также стремится к нулю. В этом случае термин, подобный диффузии, не приведет к возникновению потока.${\displaystyle K(\theta )}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle D(\theta )}$

Сравнение с точными решениями уравнения Ричардса для инфильтрации в идеализированных почвах, разработанных Россом и Парланжем (1994) ^[12], показало ^[1], что действительно, пренебрежение термином, подобным диффузии, привело к точности> 99% вычисленной совокупной инфильтрации. Этот результат указывает на то, что подобный адвекции член SMVE, преобразованный в обыкновенное дифференциальное уравнение с использованием метода линий, является точным ODE-решением проблемы инфильтрации. Это согласуется с результатом, опубликованным Ogden et al. ^[5] который обнаружил ошибки при моделировании совокупной инфильтрации 0,3% с использованием 263 см тропических осадков в течение 8-месячного моделирования для проведения моделирования инфильтрации, которое сравнивало решение SMVE, подобное адвекции, с численным решением уравнения Ричардса.

Решение [ править ]

Адвективный член SMVE может быть решен с использованием метода линий и дискретизации конечного содержания влаги . Это решение SMVE-подобного члену адвекции заменяет одномерное уравнение Ричардса PDE набором из трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ODE). Эти три ODE:

Фронты проникновения [ править ]

Как показано на Фигуре 1, вода, просачивающаяся на поверхность земли, может протекать через поровое пространство между и . Использование метода линий для преобразования термина, подобного адвекции SMVE, в ODE:${\displaystyle \theta _{d}}$${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.}$

Учитывая, что любая затопленная глубина воды на поверхности земли равна , используется предположение Грина и Ампта (1911) ^[13] ,${\displaystyle h_{p}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}},}$

представляет градиент капиллярного напора, который управляет потоком в дискретизации или «бункере». Следовательно, уравнение конечной влажности в случае фронтов инфильтрации имеет следующий вид:${\displaystyle j^{th}}$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).}$

Падающие слизни [ править ]

После прекращения дождя и проникновения всей поверхностной воды вода в емкостях, содержащих фронты инфильтрации, отрывается от поверхности земли. Предполагая, что капиллярность на передней и задней кромках этой «падающей пробки» воды уравновешена, тогда вода проходит через среду с возрастающей проводимостью, связанной с бункером:${\displaystyle j^{\text{th}}\ \Delta \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}}$.

Такой подход к решению бескапиллярного решения очень похож на приближение кинематических волн.

Капиллярные фронты подземных вод [ править ]

В этом случае поток воды в бункер происходит между бункерами j и i . Следовательно, в контексте метода линий :${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},}$

и

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}}$

что дает:

${\displaystyle \left({\frac {dH}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).}$

Обратите внимание на «-1» в скобках, обозначающее тот факт, что сила тяжести и капиллярность действуют в противоположных направлениях. Работоспособность этого уравнения была проверена ^[7] с помощью колоночного эксперимента, проведенного после этого Чайлдсом и Пуловассилисом (1962). ^[6] Результаты этой проверки показали, что метод расчета потока зоны аэрации с конечным содержанием воды работает сравнимо с численным решением уравнения Ричардса. На фото показан аппарат. Данные из этого эксперимента в столбце доступны, если щелкнуть этот DOI с горячей ссылкой . Эти данные полезны для оценки моделей динамики приповерхностного уровня грунтовых вод.

Примечательно, что термин, подобный адвекции SMVE, решенный с использованием метода конечной влажности, полностью избавляет от необходимости оценивать удельный урожай . Расчет удельной урожайности по мере приближения уровня грунтовых вод к поверхности земли затруднен из-за моей нелинейности. Однако SMVE, решенный с использованием дискретизации конечной влажности, по существу делает это автоматически в случае динамического приповерхностного уровня грунтовых вод.

Уведомление и награды [ править ]

Работа по уравнению скорости влажности почвы была выделена редактором в выпуске J. Adv. Моделирование земных систем, когда статья была впервые опубликована, и находится в общественном достоянии. Статью может бесплатно скачать здесь любой желающий. Документ, описывающий решение с конечным содержанием влаги для адвективного члена уравнения скорости почвенной влаги, был отобран для получения награды за лучшую бумагу 2015 года от первых членов Международной ассоциации гидрогеологов .

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Видео YouTube о решении на основе SMVE было замедлено во время дождя, чтобы подчеркнуть поведение, с фиксированным уровнем грунтовых вод на 1,0 м и эвапотранспирацией из корневой зоны 0,5 м